立体几何的动态问题翻折问题

立体几何的动态问题之二

———翻折问题

立体几何动态问题的基本类型：

点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等

一、面动问题（翻折问题）：

（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论

一线：垂直于折痕的线即DF ⊥AE .

五结论：

1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；

折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2）∠D 'HF 是二面角D '-H -F 的平面角；

3）D '在底面上的投影一定射线DF 上；

' 为半径的圆； 4) 点D ' 的轨迹是以H 为圆心，DH 5）面AD'E 绕

AE 翻折形成两个同底的圆锥. 二、翻折问题题目呈现：

（一）翻折过程中的范围与最值问题

1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，

CD=CB= 且AD ⊥AB ，

现将△ABD 沿对角线BD 翻折成∆A ' BD ，则在∆A ' BD 折起至转到平面BCD 的过程中，直线A ' C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .

D

A

B

解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A

A

C

运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan ∠A ' CB =

。 3

C

【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误

1

进行分析，找出错误的原因。 2

2、2015年10月浙江省学业水平考试18）. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是

A. (

π, π) B. (π, π]

C. (

π, π] D. (

π, 2π)

分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。

方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE, 找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：

FH 2+FC 2-CH 2543cos ∠FHC ==-CH 2，有≤CH ≤2FH

FC 434B

⎡11⎤

∴cos ∠CFH ∈⎢-, ⎥异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(π, π]

32 ⎣22⎦

方法三：向量基底法：

1 1 1

BE FC =(BA +BD ) FC =BA FC =(BF +FA ) FC

222

1⎡11⎤

cos =cos ∈⎢-, ⎥

2⎣22⎦

方法四：建系：

3、（2015年浙江·理8）如图，已知∆ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将∆ACD 折成

∆A 'CD ，所成二面角A '-CD -B 的平面角为α，则 （ B ）

A. ∠A 'DB ≤α B. ∠A 'DB ≥αC. ∠A 'CB ≥α D. ∠A 'CB ≤α

方法一：特殊值

方法二：定义法作出二面角，在进行比较。

方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。

4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD

翻折，若在翻折过程

中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( A )

⎛22⎤ C ．3，2 3] D ．(2，4] ⎝2⎦

方法一：利用特殊确定极端值

方法二：在∆DAB 中利用余弦定理转化为∠BDA 的函数求解。

方法三：取BC 的中点E, 连接EA,ED 在∆DEA 中利用两边之和大于第三边求解。

（二）翻折之后的求值问题

A ．(03] B.

5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起至A 'DE ，如图所示，若A 'CD 为正三角形，则ED 与平面A 'DC 所成角的余弦值是

6、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD 中，

AB =2，AD =4，点E 在线段AD 上且AE =3，现分别沿BE , CE 将∆ABE , ∆DCE 翻折，

使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D -EC -B 的余弦值为 ( D ) A ．

4567 B ． C ． D ． 5678

⇒

B

三、课后练习

1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。将∆ABD 沿矩形的对角线BD

所

在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B ） A. 存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直. B. 存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直. C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.

D. 对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直

D

B B

2（2009年浙江17）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外) 上一动点，现将 AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC, 在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是__(,1) _____.

3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E

现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H

在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点H

所形成轨迹的长度为___π___.

4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在

1

2

2

线段AB ，AD 上，AE =EB =AF =FD =4．沿直线EF 将∆AEF 翻

3

折成∆A ' EF ，使平面A ' EF ⊥平面BEF ．点M , N 分别在线段FD , BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ' 重合，则线段FM 的长为________

B

5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2，AD =4，

点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. (Ⅰ) 求证: CD⊥BE ;

(Ⅱ) 求线段BH 的长度；

(Ⅲ) 求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.

A D

A E

B

F

H

D

F

17. 解：（1）由于BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ，又由于CD ⊥DE ，BH DE =H ，

∴CD ⊥平面D B E ，∴CD ⊥BE .

法一：（2）设BH =h ，EH =k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：

⎧⎧BE 2=BH 2+EH 25=h 2+k 2⎧h =2

，可解得， ⇒⎨2⎨⎨22222222

⎩k =1⎩BF =BH +FH =BH +FG +GH ⎩9=2+h +(2-k )

∴线段BH 的长度为2.

（2）延长BA 交EF 于点M ，因为AE :BF =MA :MB =1:3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的，∴点A 到平面EFCD 的距离为，而AF =，直

1

323

线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为

2. 39

法二：（2）如图，过点E 作ER ∥DC ，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，分别以ER 、ED 、

ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点B (0, y , z )(y >0, z >0) ，

由于F (2, 2, 0) ，BE =5，BF =3，

⎧y 2+z 2=5, ⎧y =1, ∴⎨解得于是B (0, 1, 2) ，所以线段BH 的长度为2. ⎨22

z =2, 4+(y -2) +z =9⎩⎩

（3）从而FB =(-2, -1, 2) ，

故EA =

212872

=(-, -, ) ，FA =FE +EA =(-, -, ) ，

333333

设平面EFCD 的一个法向量为n =(0, 0, 1) ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，

则sin θ2. 39

立体几何的动态问题之三

———最值、范围问题

1、（2006年浙江·理14）正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .

2、（2008年浙江·理10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 （ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线

A

3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球O 是棱长为1 的正方体

A

C ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为

4、

（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，M 为正方形ABCD

对角线的交点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM 与直线MP 所成角为45°，则点P

形成的轨迹为 ( ) A ．椭圆的一部分

B ．抛物线的一部分

B

A

· C C

C ．双曲线的一部分 D . 圆的一部分

5（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射

击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m，AC ＝25 m，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)

6（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )

A ．直线 B ．抛物线C ．椭圆 D ．双曲线的一支

式题 （1）如图，平面α的斜线AB 交α于B 点，且与α所成的角为θ，π

平面α内有一动点C 满足∠BAC ＝，若动点C 的轨迹为椭圆，则θ的

6

取值范围为________．

(2)在正四面体ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是棱CD 上的一个动点，若直线MN 与BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是________．

7、(2014年7月浙江学考第25题) 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1D 1、C 1D 1的中 点，Ｎ为线段B 1C 的中点，若Ｐ、M 分别为D 1B 、EF 的动

点，则PM+PN的最小值为

8、（16届嘉兴一模·文15）边长为1的正方体

ABCD -A 1B 1C 1D 1将其对角线AC 1与平面α垂直，则正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1在平面

α上的投影面积为．

9、（16届高考模拟卷·理）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是 ．

10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径

为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．

32-222-623-62-22

B ． C ． D ．

3663

11、（16届宁波一模·理14）在∆ABC 中，∠BAC =10︒, ∠ACB =30︒ ，将直线BC 绕AC 旋转得到B 1C ，直线AC 绕AB 旋转得到AC 1，则在所有旋转过程中，直线B 1C 与直线AC 1所成角的取值范围为____ ．

12、（16届金华十校一模·理14）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD =6，BC =2，且

AB AC

==2，则V 四面体ABCD 的最大值为 BD CD

A . 6

B

.

C

.

D . 8

13、（15年上海高考题改编）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD =6, BC =2， AB +BD =AC +CD =t (t =[7, +∞)) ，则V 四面体ABCD 最大值的取值范围是 A. 27, +∞ B. [3, +∞) C. 22, +∞ D. [2, +∞)

[)

[)

【答案】B. 【解析】

试题分析：设∠ADC =θ，设AB =2，则由题意AD =BD =1，在空间图形中，设A 'B =t ，

A 'D 2+DB 2-AB 212+12-t 22-t 2

==在∆A 'CB 中，cos ∠A 'DB =，

2A 'D ⨯DB 2⨯1⨯12

在空间图形中，过A '作AN ⊥DC ，过B 作BM ⊥DC ，垂足分别为N ，M ， 过N 作NP //MB ，连结A 'P ，∴NP ⊥DC ，

则∠A 'NP 就是二面角A '-CD -B 的平面角，∴∠A 'NP =α，

在Rt ∆A 'ND 中，DN =A 'D cos ∠A 'DC =cos θ，A 'N =A 'D sin ∠A 'DC =sin θ， 同理，BM =PN =sin θ，DM =cos θ，故BP =MN =2cos θ， 显然BP ⊥面A 'NP ，故BP ⊥A 'P ，

在Rt ∆A 'BP 中，A 'P 2=A 'B 2-BP 2=t 2-(2cosθ) 2=t 2-4cos 2θ， 在∆A 'NP 中，

A 'N 2+NP 2-A 'P 2sin 2θ+sin 2θ-(t 2-4cos 2θ)

cos α=cos ∠A 'NP ==

2A 'N ⨯NP 2sin θ⨯

sin θ