平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题

李新林

汕头市第一中学 515031

对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。

在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。

一、点点对称

定理1 平面上一点M (x , y ) 关于点P (x 0, y 0) 的对称点为M ' (2x 0-x , 2y 0-y ) ，

特别地，点

M (x , y ) 关于点P (0, 0) 的对称点为M ' (-x , -y ) 。

证明：显然

P (x 0, y 0) 为线段MM

'

的中点，设

M ' (x ' , y ' ) ，由中点坐标公式有：

⎧x +x '

' x =⎪⎧x =2x 0-x ' ⎪02 ，即 ，故M (2x 0-x , 2y 0-y ) 。 ⎨⎨' '

⎩y =2y 0-y ⎪y 0=y +y

⎪2⎩

例１ 若点

A 关于点B (-2, 1) 的对称点为C (4, 2) ，求点A 的坐标。

解：设

A (x , y ) ，由定理１有A (2⨯(-2) -4, 2⨯1-2) ，即A (-8, 0) 。

二、点线对称

定理1 平面上一点M (x 0, y 0) 关于直线l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 的对称点为：

M ' (x 0-

2A (Ax 0+By 0+C ) 2A (Ax 0+By 0+C )

, y -) 。 0

A 2+B 2A 2+B 2

A ≠0, B ≠0的情况。

'

证明：先证明一般情况，即M (x , y )

如图（一）, 设M ' (x , y ) ，线段MM

交直线l 于点

对称，故Q (x Q , y Q ) 为线段

Q (x Q , y Q ) ，由点M (x 0, y 0) 与点M ' (x , y ) 关于直线l

MM

'

的中点且MM

'

⊥l ，

X 于是有：

x 0+x ⎧x =y 0-y 1B ⎪Q

2=-= 且， ⎨A y 0+y x -x A 0⎪y Q =-

B 2⎩

y 0+y ⎧x 0+x A ⋅+B ⋅+C =0⎪⎪22又点Q (x Q , y Q ) 在直线l 上，故有：⎨ ，

y 0-y B

⎪=⎪x -x A 0⎩

2A (Ax 0+By 0+C ) ⎧

x =x -0⎪A 2+B 2

解此二元一次方程组得：⎨ ，

2A (Ax 0+By 0+C )

⎪y =y 0-

A 2+B 2⎩

即

M ' (x 0-

2A (Ax 0+By 0+C ) 2A (Ax 0+By 0+C )

, y -) 。 02222

A +B A +B

至于

A =0, B ≠0与A ≠0, B =0的情况比较简单，证明略。

特别地，有如下几种特殊情况：

（1） 平面上一点（2） 平面上一点（3） 平面上一点（4） 平面上一点（5） 平面上一点

M (x 0, y 0) 关于x 轴的对称点为：(x 0, -y 0) ； M (x 0, y 0) 关于y 轴的对称点为：(-x 0, y 0) ；

M (x 0, y 0) 关于直线x =a 的对称点为：(2a -x 0, y 0) ； M (x 0, y 0) 关于直线y =b 的对称点为：(x 0, 2b -y 0) ； M (x 0, y 0) 关于直线y =x 的对称点为：(y 0, x 0) ；

y =-x 的对称点为：(-y 0, -x 0) ；

（6） 平面上一点M (x 0, y 0) 关于直线（7） 平面上一点M (x 0, y 0) 关于直线（8） 平面上一点M (x 0, y 0) 关于直线

特别地，点

y =x +b 的对称点为：(y 0-b , x 0+b ) ；

y =-x +b 的对称点为：(-y 0-b , -x 0+b )

M (x , y ) 关于点P (0, 0) 的对称点为M ' (-x , -y ) 。

(x -x 0) 2(y -y 0) 2

若直线x +y +z =0, 与椭圆C :+=1 22

a b

有公共点，则有：(Aa )

2

+(Bb ) 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2

(x -x 0) 2(y -y 0) 2

+=1 可令x =x 0+a cos 证明：由C :θ，y =y 0+b sin θa 2b 2

代入l :

θ) +B (y 0+b sin θ) +C =0 Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 得：A (x 0+a cos

Aa cos θ+Bb sin θ=-(A x 0+B y 0+C )

（其中ϕ为辅助角） (Aa ) 2+(Bb ) 2sin(θ+ϕ) =-(A x 0+B y 0+C ) ，

整理得： 即：

又

s i n θ(+ϕ) ≤1,

2

∴

-(Ax 0+By 0+C ) (Aa ) +(Bb )

2

2

≤1

即：(Aa )

+(Bb ) 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2

特别地，当

x 0=0, y 0=0时，有

2

2

推论

x 2y 2

1 若直线l :Ax +By +C =0, (A +B ≠0) 与椭圆C :2+2=1有公共点，则有：

a b

(Aa ) 2+(Bb ) 2≥C 2

对于定理1，若令a

=b =r ，则有

定理2 若直线l :公共点，则有：(Ar )

2

Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 与圆C :(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=r 2有

+(Br ) 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2，整理得

r 2(A 2+B 2) ≥(Ax 0+By 0+C ) 2

特别地，当

x 0=0, y 0=0时，有

Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 与圆C :x 2+y 2=r 2有公共点，

推论2 若直线l :则有：

r 2(A 2+B 2) ≥C 2

下面略举数例说明其应用。 一、 求点到直线的距离 例１ 求点

P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 的距离。 P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 的距离为d

，构造以点

解：设点

P (x 0, y 0) 为圆心，r 为半径的动圆C :(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=r 2，显然，当直线 l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 与动圆C :(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=r 2有公共点时，

点

P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 的距离d

为半径r 的最小值，

即d

=r min ，由定理2知：r 2(A 2+B 2) ≥(Ax 0+By 0+C ) 2，即：

Ax 0+By 0+C

A +B

2

2

≤r ，

故d =

Ax 0+By 0+C

A +B

2

2

即点

P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0, (A 2+B 2≠0) 的距离为

d =

Ax 0+By 0+C

A +B

2

2

此即平面解析几何中点到直线的距离公式。 二、 求最值、函数的值域

例１ 若

x , y ∈R , 且(x -2) 2+y 2=3，则

y

x

的最大值为（ ）

A ．

12

B ．

33 C ． D ．3 33

（1990年全国高考试题）

解：设

y

=k ，得直线kx -y =0，由定理１得3(k 2+1) ≥(2k ) 2，解得：、 x

y

≤，故选（D ） x

-≤k ≤，即-3≤

例２ 求函数

y =

3+2cos x +sin x

的值域。

1+2cos x +3sin x =u ，cos x =v ，代入y =

解：设sin x

3+2cos x +sin x 3+2v +u

得：y =

1+2cos x +3sin x 1+2v +3u

整理得(3y -1) u +2(y -1) v +(y -3)

=0，又u 2+v 2=1

=0与关于u , v 的圆u 2+v 2=1有公共点。

关于u , v 的直线(3y -1) u +2(y -1) v +(y -3) 由推论2得：(3y -1) 解得：⎨y

2

+[2(y -1)]2≥(y -3) 2

⎧

⎫1

y ≤-或y ≥1⎬

3⎩⎭

即所求函数

y =

3+2cos x +sin x ⎧⎫1

的值域为⎨y y ≤-或y ≥1⎬。

1+2cos x +3sin x 3⎩⎭

例３ 已知平面上两定点一点，求

A (-1, 0), B (1, 0) ，P (x , y ) 为圆C :(x -3) 2+(y -4) 2=4上任

PA +PB

22

的最大值与最小值。

解：依题意有

PA +PB =(x +1) 2+y 2+(x -1) 2+y 2=2(x 2+y 2) +2 ①

又由C :(x -3)

2

2

22

2

+(y -4) 2=4得x 2+y 2=6x +8y -21，代入①得：

PA +PB =2(x 2+y 2) +2=2(6x +8y -21) +2=12x +16y -40

令

PA +PB =t ，有12x +16y -40=t ，即12x +16y -(40+t ) =0

x , y 的直线12x +16y -(40+t ) =0与关于x , y 的圆(x -3) 2+(y -4) 2=4有公共点。

2

22

关于

由定理2得：4(12 故

+162) ≥[12⨯3+16⨯4-(40+t )]2解得：20≤t ≤100

PA +PB

22

的最大值与最小值分别为20与40。

x 2y 2x +y -1+=1，（x , y ∈R ) ，求例４ 已知椭圆C :的最大值。 94y +2

解：令t

=

x +y -1

，整理得x +(1-t ) y -(2t +1) =0

y +2

x 2y 2

+=1，（x , y ∈R ) 有公共点。 关于x , y 的直线x +(1-t ) y -(2t +1) =0与椭圆C :94

由推论１得：9+4(1-t )

2

≥[-(2t +1)]2，解得：t ≤1

故

x +y -1

的最大值为１。

y +2

例５ （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数

z ，使得实数x , y 满足：

{

又关于

x +y +z =5xy +yz +xz =3

解：由

x +y +z =5得：x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +xz ) =25 ①

xy +yz +xz =3，代入①得：x 2+y 2+z 2=19，即x 2+y 2=19-z 2 x , y 的直线x +y +(z -5) =0与关于x , y 的圆x 2+y 2=19-z 2有公共点。

2

由推论２得：(19-z 解得：3z

2

)(12+12) ≥(z -5) 2

13 3

-10z -13≤0，即：-1≤z ≤

13。 3

故最大的实数

z 为

三、 求代数式的范围 例１ 若

x , y ∈R , x 2+(y -1) 2=1，且x +y +d ≥0恒成立，求d

的取值范围。

解：由已知得d ≥-(x +y ) ，设-(x +y ) =k ，得直线(x +y ) +k =0，

由定理２得：(1即-(x +故d

2

+12) ≥(1+k ) 2，解得：--1≤k ≤2-1，即k max =2-1,

y ) max =2-1, 又d ≥-(x +y ) ，

x 2-2xy +2y 2=2, (x , y ∈R ) ，求3x -5y 的取值范围。

x 2-2xy +2y 2=2, (x , y ∈R ) 可得(x -y ) 2+y 2=2 ①

≥2-1。

例２ 已知

解：由令

x -y =u ，y =v ，代入①得：u 2+v 2=2

又令t =3x -5y ，将x -y =u ，y =v 代入t =3x -5y 得：t =3(u +v ) -5v

-t =0

-t =0与关于u , v 的圆u 2+v 2=2有公共点，

即3u -2v

关于u , v 的直线3u -2v 由推论２得：2[3解得：-例３ 若

2

+(-2) 2]≥(-t ) 2

26≤t ≤26，即-26≤3x -5y ≤26

2222

x , y ∈R ，且(log（a >0且a ≠1） a (ay ) ，a x ) +(loga y ) =log a (ax ) +log

求log a (xy ) 的范围。 解：令log a 并化简得：u

2

2222

x =u ，log a y =v 代入(loga (ay ) a x ) +(loga y ) =log a (ax ) +log

+v 2=2+2u +2v ，即(u -1) 2+(v -1) 2=4

又令log a (xy ) =t ，则有t =log a x +log a y =u +v ，即u +v -t =0

+v -t =0与关于u , v 的圆(u -1) 2+(v -1) 2=4有公共点，

关于u , v 的直线u 由定理２得：4(1即2-2

2

+12) ≥(1+1-t ) 2，解得2-2≤t ≤2+22

≤log 2(xy ) ≤2+22

例４ 设a , b , c 满足方程组

{

a 2-bc -8a +7=0①

22 ，若a , b , c ∈R ，试求a 的取值范围。 b +c +bc -6a +6=0 ②

（1986年全国高中数学联赛试题） 解：由②—①得：b +c 由①+②得：b

2

=±(a -1) ，即b +c ±(1-a ) =0，

+c 2=-a 2+6a -6

=0与关于b , c 的圆b 2+c 2=-a 2+6a -6有公共点。

关于b , c 的直线b +c ±(1-a ) 由推论２得： 解得：1≤

(-a 2+6a -6)(12+12) ≥[±(1-a )]2

a ≤9

a ≤9。

故a 的取值范围为1≤

四、解方程组及证明不等式 例１ 已知：(x -3)

2

+(y +2) 2≤25, x , y ∈R , 求证：-16≤6x -8y ≤84

证明：设6x -8y 关于

=k ，有6x -8y -k =0，

x , y 的直线6x -8y -k =0与关于x , y 的圆(x -3) 2+(y +2) 2=25, 有公共点。

2

由定理2得：25(6解得：-16≤k

+82) ≥[6⨯3+(-8) ⨯(-2) -k ]2

≤84，即-16≤6x -8y ≤84

2

例２ 实数m , n , x , y ∈R ，且m

证明：设mx 关于

+n 2=a , x 2+y 2=b ，求证|mx +ny |≤ab 。

+ny =k ，有mx +ny -k =0，

x , y 的直线mx +ny -k =0与关于x , y 的圆x 2+y 2=b 有公共点。

2

由推论２得：b (m 又m 故

2

+n 2) ≥k 2

+n 2=a , 所以有ab ≥k 2

k ≤ab ，即|mx +ny |≤ab

a 2

x , y , z ∈R , 且满足①x +y +z =a (a >0), ②x +y +z =

2

2

2

2

例３ ，

证明

x , y , z 都不是负数，也不能大于

2a 。（1957年北京市数学竞赛题） 3

证明：由①得

y +z +(x -a ) =0(a >0), 由②得

a 2

y +z =-x 2，

2

2

2

关于

y , z 的直线y +z +(x -a ) =0(a >0), 与关于y , z 的圆

a 2

y +z =-x 2有公共点。

2

2

2

a 2

-x 2) (12+12) ≥(x -a ) 2 由推论２得：(2

解得：3x 故0≤

2

-2ax ≤0，又a >0，

2a 2a 2a 2a

, 0≤z ≤，同理，0≤y ≤，所以，x , y , z 都不是负数，也不能大于。

3333

x ≤

例４ 已知

x , y , z ∈R , 且满足x +y +z =0, xyz =1，

证明

x , y , z 中至少有一个大于

证明：由

3

2

。（1991年“曙光杯”数学竞赛题）

xyz =1知x , y , z 中至少有一个为正数，不妨设z >0

又由

x +y +z =0, 得：x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +xz ) =0 ①

由

xyz =1得xy =

1

，代入①得： z

x 2+y 2+z 2+

22+2yz +2xz =0，即(x -z ) 2+(y -z ) 2=z 2- z z

2

有公共点。 z

关于

x , y 的直线x +y +z =0, 与关于x , y 的圆(x -z ) 2+(y -z ) 2=z 2-

由定理２得：(z

2

2

-)(12+12) ≥(-z -z +z ) 2 z

442

，即： z ≥ ② z z

解得：

z 2≤2z 2-

又

z >0，由②得：z 3≥3，故z ≥4=3

323273

>= 882

所以

x , y , z 中至少有一个大于

3

2

。

例５ 若∆ABC 中，三边为a , b , c ，且

{

b +c =8①

2 试确定∆ABC 的形状。 bc =a -12a +52 ②

（1989年“缙云杯”数学邀请赛试题）

解：由①+②得：b

２

2

+c 2=-2a 2+24a -40

关于b , c 的直线b +c -8由推论２得： 解得：a

2

=0与关于b , c 的圆b 2+c 2=-2a 2+24a -40有公共点。

(-2a 2+24a -40)(12+12) ≥(-8) 2

-12a +36≤0，即(a -6) 2≤0，a =6代入①、②得：b =c =4

所以∆ABC 为等腰三角形。

例６ 求三个实数

x , y , z 使得它们满足方程组

x +3y +z =13{24x +9y +z -2x +15y +3z =82

2

2

2

①

②

解：由①可得：2x +3y +(z -13) =0

由②可得：

51

(y -) 2(x -) 2

+=1

17721772

-z -3z -z -3z 249

关于

x , y 的直线2x +3y +(z -13) =0与关于x , y 的椭圆

51

(y -) 2(x -) 2

+=1有公共点。

17721772

-z -3z -z -3z 249

17721772

-z -3z -z -3z

152由定理１得：2⨯+32⨯≥(2⨯-3⨯+z -13) 2

4946

化简得：

z 2-8z +16≤0，即(z -4) 2≤0，z =4代入①、②得：x =3, y =1

x =3, y =1，z =4

故所求三个实数分别为