中学三角函数公式推导
三角函数基础
一、
诱导公式(k ∈Z )。 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限。 (一)sin(2k π+α) =sin α c o s (k 2π+α=)
c αo k 2π+α=) s t a n (t αa n k 2π+α=) c o t (t a απ(+α=) n c o t
t c αo
(二)sin(π+α) =-sin α cos(π+α) =-cos α t a n π(+α=)
c αo t
(三)sin(-α) =-sin α cos(-α) =cos α tan(-α) =-tan α cot(-α) =-cot α (四)sin(π-α) =sin α cos(π-α) =-cos α t a n π(-α=) -t a απ(-α=) -c αo t n c o t (五)sin(2π-α) =-sin α c o s (π2-α=) (六)sin((七)sin(
c αo π2-α=) - s tan(2π-α) =-tan α c o t (
t c αo
π
2
-α) =cos α+α) =cos α
π
cos(-α) =sin αt a -α=)
22
ππ
c αo t
2
3π
(八)sin(
23π
(九)sin(
2
只需抓住以下三个特点,即可由左边写出右边: (1) 诱导公式右边都是角α的三角函数;
cos(+α) =-sin αt a +α=) -c αo t c o +α=) -t αa n
222 3π3π3π
-α) =-cos αc o -α=) -s αi n t a -α=) c αo t c o -α=) t αa n
222 3π3π3π
+α) =-cos αc o +α=) s αi n tan(+α) =-cot αc o +α=) -t αa n
222
ππ
cot(-α) =tan α
2
π
π
(2) 判断函数名是否改变。判断依据:括号内与α相加减的角,若为
ππ
的偶数倍,则函数名不变;若为22
的奇数倍,则正变余,余变正(只能弦、切、割内部变换。如,只能正弦变余弦,余弦变正弦,不能
由弦变切或割);
(3) 判断正、负号。判断依据:将α看作锐角时,左边的函数值该取什么符号(正号或负号),就在右边的
函数名前加上同样的符号。
二、 正弦定理和余弦定理都是描述∆ABC 边角关系的非常重要的定理。
如图所示:任意∆ABC 中,∠A , ∠B , ∠C 所对的边分别为a , b , c ,则
a b c
===2R (R 为∆ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
b 2+c 2-a 2222
余弦定理:a =b +c -2bc cos A 推论:cos A =
2bc 222
b =a +c -2ac cos B a 2+c 2-b 2
cos B =c 2=a 2+b 2-2ab cos C 2ac
a 2+b 2-c 2
cos C =
2ab
正弦定理:
正弦定理与余弦定理是等价的,具体参见文献:《对正弦定理、余弦定理一节的两点建议》 三、 求任意∆ABC 面积的两种方法:
1.S ∆ABC =
111
ab sin C =bc sin A =ca sin B 222
由右图容易看出此结论。
四、 辅助角公式
a sin α+b cos α=α+ϕ) ,其中tan ϕ=
b
,ϕ的象限由a , b 的符号确定。 a
即:在△ABC 中,已知AC =b , BC =a , 及∠C , 求C 。
请同学们思考后回答这个问题,同学们沉默了 三五分钟,开始相互讨论,并得出了如下解法:
过A 作AD ⊥BC 于D ,是AD =AC sin C =BC sin C ,
CD =AC cos =b cos c ,
2222222
在Rt ∆ABD 中,AB =AD +BD =(b sin c ) +(a -b cos c ) =a +b -2ab cos c ,
五、
二. 让辅助角公式a sin θ
+
b cos θθ+ϕ) 来得更自然
+b cos θ已经是一个角的一个三角函数的形式,无需化
首先要说明,若a=0或b=0时,a sin θ简. 故有ab ≠0.
1. 在平面直角坐标系中, 以a 为横点P(a,b)如图1所示, 则总有一个角设
sin ϕ=
坐标,b 为纵坐标描一
ϕ, 它的终边经过点P.
定
由三角函数的
b r
a cos ϕ
==.
r 所以asin θ+bcosθ
ϕ sinθ
ϕcos θ
b
θ+ϕ) .(其中tan ϕ=)
a
横坐标, 以a 为纵坐
2. 若在平面直角坐标系中, 以b 为
标可以描点P(b,a),如图2所示, 则总有一点P(b,a),设OP=r,则
个角ϕ的终边经过角函数的定义知
由三
,
a
sinϕ=r
b
cos ϕ=
r
asin θ+bcosθ
ϕsin θ+ϕcos θ
a
s(θ-ϕ) . (其中tan ϕ=)
b
六、 七、
八、 弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作:1rad . 1. 当圆心角为圆周时,所对的弧长L =2πr ,故
L 2πr ==2π. r r o
2 . 即 360=π
o
一个圆周的角度α=360——角度制; 一个圆周的角度α=2π——弧度制。
使用弧度制的好处是,用弧度制表示的角度与实数一一对应。 角α的弧度数的绝对值:|α|=
2. 弧长:l =|α|⋅r
l . r
l
1
扇形面积:S =⋅πr 2=⋅l ⋅r
2π2
九、 任意角的三角函数及其符号规律
1. 任意角的三角函数:设α是一个任意大小的角,角α的终边上非原点的任意一点P 的坐标是(x , y ) ,P 与
原点O (0,0)的距离是r (r >0) ,则可定义角α的三角函数:
y x 余弦:cos α= r r y x
正切:tan α= 余切:cot α=
x y r 1r 1
正割:sec α== 余割:csc α==
x cos αy sin α
正弦:sin α=
2. 三角函数符号规律。口诀:“函弦切余”
说明:(1)符号规律见右图,第一象限角的各三角函数值均取正, 第二象限只有正弦函数(及其倒数余割)取正,第三象限只有正、 余切函数取正,第四象限只有余弦函数(及其倒数正割)取正。归 纳起来,由第一象限至第四象限,取正的函数分别为“函弦切余”。
(2)由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。
十、 三角函数重要公式