化工数据分析处理-期末大作业-试题H
【解】
（一）设回归方程的形式为：u i =b 0+b 1x 1i +b 2x 2i +b 3x （，其矩阵形式的正, 2，⋯18）3i i =1规方程组为：
⎛l 11l 12
l 21l 22 l
⎝31l 32
⎛l 11l 12
令 l 21l 22
l
⎝31l 32
-1
l 13⎫⎛b 1⎫⎛l 1y ⎫⎪ ⎪ ⎪l 23⎪⋅ b 2⎪= l 2y ⎪。
⎪ ⎪l 33⎪⎭⎝b 3⎭⎝l 3y ⎭
⎛l 1y ⎫l 13⎫⎛b 1⎫⎛l 1y ⎫⎛b 1⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-1
l 23⎪=[L ]，即[L ]⋅ b 2⎪= l 2y ⎪，则： b 2⎪=[L ]⋅ l 2y ⎪；
l ⎪ b ⎪ l ⎪ b ⎪l 33⎪⎭⎝3⎭⎝3y ⎭⎝3⎭⎝3y ⎭
3
令[C ]=[L ]，则：b j =∑C ji l iy (j =1, 2, 3) ，b 0=Y -∑b j x j 。
i =1
3
j =1
1⎛18⎫⎛18⎫
其中：l st =∑(x si ⋅x ti )- ∑x si ⎪ ∑x ti ⎪(s , t =1, 2, 3)，
n ⎝i =1⎭⎝i =1⎭i =11⎛18⎫⎛18⎫
l sy =∑(x si ⋅Y i )- ∑x si ⎪ ∑Y i ⎪(s =1, 2, 3)。
n ⎝i =1⎭⎝i =1⎭i =1计算过程的中间数据列于表1中。
表1计算过程的中间数据
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Σ
18
18
x 1
0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 12.6 10.9 23.1 23.1 21.6 23.1 1.9 26.8 29.9 215
x 2
53 23 19 34 24 65 44 31 29 58 37 46 50 44 56 36 58 51 758
x 3
158 163 37 157 59 123 46 117 173 112 111 114 134 73 168 143 202 124 2214
Y
64 60 71 61 54 77 81 93 93 51 76 96 77 93 95 54 168 99 1463
x 1·x 1
0.16 0.16 9.61 0.36 22.09 2.89 88.36 102.01 134.56 158.76 118.81 533.61 533.61 466.56 533.61 3.61 718.24 894.01 4321.02
x 1·x 2
21.2 9.2 58.9 20.4 112.8 110.5 413.6 313.1 336.4 730.8 403.3 1062.6 1155 950.4 1293.6 68.4 1554.4 1524.9 10139.5
x 1·x 3
63.2 65.2 114.7 94.2 277.3 209.1 432.4 1181.7 2006.8 1411.2 1209.9 2633.4 3095.4 1576.8 3880.8 271.7 5413.6 3707.6 27645
x 2·x 2
2809 529 361 1156 576 4225 1936 961 841 3364 1369 2116 2500 1936 3136 1296 3364 2601 35076
x 2·x 3
8374 3749 703 5338 1416 7995 2024 3627 5017 6496 4107 5244 6700 3212 9408 5148 11716 6324 96598
x 3·x 3
24964 26569 1369 24649 3481 15129 2116 13689 29929 12544 12321 12996 17956 5329 28224 20449 40804 15376 307894
x 1·Y
25.6 24 220.1 36.6 253.8 130.9 761.4 939.3 1078.8 642.6 828.4 2217.6 1778.7 2008.8 2194.5 102.6 4502.4 2960.1 20706.2
x 2·Y
3392 1380 1349 2074 1296 5005 3564 2883 2697 2958 2812 4416 3850 4092 5320 1944 9744 5049 63825
x 3·Y
10112 9780 2627 9577 3186 9471 3726 10881 16089 5712 8436 10944 10318 6789 15960 7722 33936 12276 187542
Y 2
4096 3600 5041 3721 2916 5929 6561 8649 8649 2601 5776 9216 5929 8649 9025 2916 28224 9801 131299
u i
65.41 68.71 53.56 67.19 59.55 61.08 64.17 77.95 89.81 79.35 77.91 99.41 102.30 90.30 107.28 67.08 119.20 112.74 1463
(u -)
2
i
251.94 157.88 768.14 198.60 472.27 407.75 292.62 11.10 72.85 3.72 11.37 328.90 442.04 81.34 676.15 201.49 1437.80 990.14 6806.11
算出矩阵[L ]为：
⎛l 11l 12
[L ]= l 21l 22
l
⎝31l 32l 13⎫⎛1752.961085.6111200⎫⎪ ⎪
l 23⎪= 1085.6113155.7783364⎪，其逆矩阵为：
l 33⎪336435572⎪⎭⎝1200⎭
c 13⎫⎛0.00072493-0.00024835-0.00000097⎫
⎪ ⎪c 23⎪= -0.000248350.00043748-0.00003299⎪。
⎪c 33⎪⎭⎝-0.00000097-0.000032990.00003126⎭
⎛c 11c 12
[C ]=[L ]-1= c 21c 22
c
⎝31c 32
⎛l 1y ⎫⎛3231.478⎫ ⎪ ⎪
根据表1中数据求出： l 2y ⎪= 2216.444⎪，则：
l ⎪ 7593⎪
⎭⎝3y ⎭⎝
⎛l 1y ⎫⎛1.7848⎫⎛b 1⎫3 ⎪ ⎪⎪-1
。 b 2⎪=[L ]⋅ l 2y ⎪= -0.0834⎪，b 0=Y -∑b j x j =43.6522
j =1 l ⎪ 0.1611⎪ b ⎪
⎝3⎭⎭⎝3y ⎭⎝
即回归方程为：u i =43. 6522+1. 7848x 1-0. 0834x 2+0. 1611x 3。 下面检验回归方程的显著性：
2
1⎛18⎫2
总变差平方和：Q Σ=∑Y i - ∑Y i ⎪=12389.611，自由度：f Σ=n -1=17；
n ⎝i =1⎭i =1回归平方和：Q R =∑u i -Y
i =118
18
()
2
，自由度：f R =k =3； =6806.111
剩余平方和：Q =Q Σ-Q R =5583.50，自由度：f =f Σ-f R =n -k -1=14；
2
S R Q Q R 2
F =2=5. 69。S ==398.821回归方差：，剩余方差：，方差比： S ==2268.704
S f f R
2
R
显著性水平α=0.05，查表得：A f (f R ，f , α)=3. 34，由于F >A f ，可认为回归方程有效。
下面检验自变量的显著性：
Q i b i 2
由Q i =，F i =2，求出Q i 和F i 如表2所示。
S c ii
表2 自变量的显著性检验
i 1 2 3
Q i 4394.1498 15.8979 830.4429
F i 11.018 0.040 2.082
3.34 A f （1, n -k -1,α）
是否显著 显著 不显著 不显著
由于F 1>A f (1，14, 0. 05)，F 2
剔除F i 较小的自变量x 2，令x 3取代x 2，重新进行二元线性回归。
'+b 1'x 1i +b 2'x （（二）设回归方程的形式为：u i =b 0，计算过程的中间数据列, 2，⋯18）2i i =1于表3中。
表3计算过程的中间数据
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Σ
x 1 0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 12.6 10.9 23.1 23.1 21.6 23.1 1.9 26.8 29.9 215
x 2 158 163 37 157 59 123 46 117 173 112 111 114 134 73 168 143 202 124
Y 64 60 71 61 54 77 81 93 93 51 76 96 77 93 95 54 168 99
x 1·x 1 0.16 0.16 9.61 0.36 22.09 2.89 88.36 102.01 134.56 158.76 118.81 533.61 533.61 466.56 533.61 3.61 718.24 894.01
x 1·x 2 63.2 65.2 114.7 94.2 277.3 209.1 432.4 1181.7 2006.8 1411.2 1209.9 2633.4 3095.4 1576.8 3880.8 271.7 5413.6 3707.6 27645
x 2·x 2 24964 26569 1369 24649 3481 15129 2116 13689 29929 12544 12321 12996 17956 5329 28224 20449 40804 15376 307894
x 1·Y 25.6 24 220.1 36.6 253.8 130.9 761.4 939.3 1078.8 642.6 828.4 2217.6 1778.7 2008.8 2194.5 102.6 4502.4 2960.1
x 2·Y 10112 9780 2627 9577 3186 9471 3726 10881 16089 5712 8436 10944 10318 6789 15960 7722 33936 12276
Y 2 4096 3600 5041 3721 2916 5929 6561 8649 8649 2601 5776 9216 5929 8649 9025 2916 28224 9801
u i 66.64 67.41 52.59 66.83 58.78 63.48 64.93 77.14 88.42 80.71 77.61 99.27 102.36 90.31 107.63 66.92 112.63 1463
(u -)
2
i
214.28 192.21 822.72 208.68 506.10 316.81 267.12 17.09 51.03 0.32 13.49 323.59 444.59 81.61 694.32 206.06 982.92 6790.21
119.32 1447.28
2214 1463 4321.02 20706.2 187542 131299
⎛l 11l 12⎫⎛1752.9641200⎫⎪⎪算出矩阵[L ]为：[L ]= 1200⎪； l ⎪= l 35572⎭⎝2122⎭⎝
⎛c 11c 12⎫⎛5.8395⨯10-4-1.9699⨯10-5⎫
⎪。 ⎪其逆矩阵为：[C ]=[L ]= = c ⎪-5-5⎪ ⨯102.8777⨯10⎭⎝21c 22⎭⎝-1.9699
-1
⎛l 1y ⎫⎛3231.478⎫
⎪= 根据表3中数据求出： ⎪，则： l ⎪ 7593⎪
⎭⎝2y ⎭⎝
2l ⎛b 1'⎫⎛1.7374⎫-1⎛1y ⎫⎪ '=Y -∑b j x j =41.4794 ⎪，b 0。 ⎪ b '⎪⎪=[L ]⋅ l ⎪= j =1⎭⎝2⎭⎝2y ⎭⎝0.1548
即回归方程为：u i =41. 4794+1. 7374x 1+0. 1548x 2。 下面检验回归方程的显著性：
2
1⎛18⎫2
总变差平方和：Q Σ=∑Y i - ∑Y i ⎪=12389.611，自由度：f Σ=n -1=17；
n i =1⎝i =1⎭回归平方和：Q R =∑u i -Y
i =118
18
()
2
，自由度：f R =k =2； =6790.21
，自由度：f =f Σ-f R =n -k -1=15； 剩余平方和：Q =Q Σ-Q R =5599.398
2S R Q Q R 2
F =2=9. 10。回归方差：，剩余方差：，方差比： S ==373.293S ==3395.107
S f f R
2
R
显著性水平α=0.05，查表得：A f (f R ，f , α)=3. 68，由于F >A f ，可认为回归方程有效。
下面检验自变量的显著性：
Q i b i 2
由Q i =，F i =2，求出Q i 和F i 如表4所示。
S c ii
表4 自变量的显著性检验
i 1 2
Q i
F i
A f （1, n -k -1,α）
4.54
是否显著 显著 不显著
5169.4543 833.1910
13.8482 2.2320
由于F 1>A f (1，15, 0. 05)，F 2
将自变量x 2和x 3剔除后，原问题变为x 1和Y 的一元线性回归。
''+b 1''x （（三）设回归方程的形式为：u i =b 0。 , 2，⋯18）1i i =1
将相关计算数据列于表5中。
表5 一元线性回归计算数据
i 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Σ
x 1 0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 12.6 10.9 23.1 23.1 21.6 23.1 1.9 26.8 29.9 215
Y 64 60 71 61 54 77 81 93 93 51 76 96 77 93 95 54 168 99
x 1·x 1 0.16 0.16 9.61 0.36 22.09 2.89 88.36 102.01 134.56 158.76 118.81 533.61 533.61 466.56 533.61 3.61 718.24 894.01 240.06 Y 2 4096 3600 5041 3721 2916 5929 6561 8649 8649 2601 5776 9216 5929 8649 9025 2916 28224 9801
x 1·Y 25.6 24 220.1 36.6 253.8 130.9 761.4 939.3 1078.8 642.6 828.4 2217.6 1778.7 2008.8 2194.5 102.6 4502.4 2960.1
1463 4321.02 131299 20706.2
7294.39 1150.34
平均 11.94 81.28
由表5得：x 1=11. 94，Y =81. 28。
1⎛18⎫
， l xx =∑x - ∑x 1i ⎪=1752.964
n ⎝i =1⎭i =1
21i
18
2
1⎛18⎫⎛18⎫
l xY =∑(x 1i Y i )- ∑x 1i ⎪ ∑Y i ⎪=3231.478，
n ⎝i =1⎭⎝i =1⎭i =11⎛18⎫2
， l YY =∑Y i - ∑Y i ⎪=12389.611
n ⎝i =1⎭i =1
''=b 1
l xY
''=Y -b 1'x 1=59.2590， =1.8434，b 0
l xx
18
2
18
故回归方程为：u i =59. 2590+1. 8434x 1i 。 拟合曲线如图1所示。
Y
x 1
图1Y -x 1拟合曲线
当α=0.05，f =n -2=16时，查“相关系数临界值表”得：r 0=0.468。
r =
l xY
=0. 6934>r 0，故回归方程有效。 xx l YY
综上：Y 与x 2、x 3不存在线性关系，Y 与x 1的一元线性回归方程为：
Y =59. 2590+1. 8434x 1