高考圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题

例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)+y=36内切, 与圆C 2:(x-1)+y=4外切, 求圆心M 的轨迹方程。

例2、方程

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2、双曲线：由

, ,

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

表示的曲线是

2

2

2

2

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

x 2y 2

例1、已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是

m -12-m

x 2y 2

-=1的曲线： 例2、k 为何值时, 方程

9-k 5-k

(1)是椭圆; (2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积S =b tan

2

α

2

；双曲线焦点三角形面积S =b cot

2

α

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、m +n , m -n , mn , m 2+n 2四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题

22x y

例1、椭圆22=，求1(a >b >0) 上一点P 与两个焦点F F P F α1，2的张角∠F 12=

a b

证：△F 1PF 2的面积为b tan

2

α。

2

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

，

2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

x 2y 2

例1、已知F 1、F 2是双曲线2-2=1（a >0, b >0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正

a b

三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4+2 B. -1 C.

+1

D. +1

2

x 2y 2

例2、双曲线2=2=1（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2, 若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,

a b

则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3)

B. (1,3]

C.(3,+∞)

D. [3, +∞)

x 2y 2

例3、椭圆G ：2+2=1(a >b >0) 的两焦点为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，椭圆上存在

a b

点M 使F 1M ⋅F 2M =0. 求椭圆离心率e 的取值范围；

x 2y 2

例4、已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线

a b

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,+∞) （D ）(2,+∞)

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

x 2y 2

点在椭圆内⇔2+2

a b x 2y 2

点在椭圆上⇔2+2=1

a b x 2y 2

点在椭圆外⇔2+2>1

a b

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

∆>0⇔相交

∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆

3、弦长公式： AB =

+k 2x 1-x 2=+k 2(x 1-x 2) =+k 2

∆ a

AB =+

111∆

y -y =+(y -y ) =+1212222

k k k a

4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分, 求直线AB 的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2/2，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立

之间的关系

；

例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线

的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0），端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，

以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆

作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60，则动点

P 的轨迹方程为

例4、点M 与点F(4,0)的距离比它到直线

例5、一动圆与两圆⊙M ：的轨迹为

(4)代入转移法：动点

在某已知曲线上，则可先用迹方程:

例6、如动点P 是抛物线则M 的轨迹方程为__________

(5)

参数法：当动点虑将

例7、过抛物线

的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方

坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考

上任一点，定点为

, 点M 分

所成的比为2，

依赖于另一动点

的代数式表示

的变化而变化，并且，再将

又

和⊙N ：

都外切，则动圆圆心

的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______

代入已知曲线得要求的轨

均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它, 即“设而不求”） 三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 五、根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）

⇔OA ⊥OB ⇔K 1∙K 2=-1 ⇔OA ∙OB =0 ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔x 1x 2+y 1y 2>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（K 1+K 2=0或K 1=K 2）； ④“共线问题”

（如：AQ =λQB ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”

⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 典型例题：

例1、已知点F (0,1)，直线l ：y =-1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF =FP FQ ．

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B

两点，设DA =l 1，DB =l 2，求

例2、如图半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；

l 1l 2

+的最大值． l 2l 1

(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设求λ的取值范围.

DM

=λ，DN

x 2y 2

例3、设F 1、F 2分别是椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的左右焦点。

a b （1）设椭圆C

上点到两点F 1、F 2距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐

标；

（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程；

（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线

PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ⋅K PN 的值是否与点P

及直线L 有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为

3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

例5、已知椭圆两焦点F 1、F 2在y

轴上，短轴长为

，P 是椭圆在第一 2

象限弧上一点，且PF 1⋅PF 2=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆

于A 、B 两点。 （1）求P 点坐标；

（2）求证直线AB 的斜率为定值；

典型例题：

例1、

由①、②解得，x =a ±2． 不妨设A (a -2,0)，B (a +2,0)， ∴

l 1=

l 2=

．

l 1l 2l 12+l 222∴+==

l 2l 1l 1l 2

=

= ③ l 1l 2+=

=

l 2l 1 当a ≠

0时，由③得，

当且仅当a =± 当a =0时，由③得，

l 1l 2

+=

2． l 2l 1

故当a =±l 1l 2

+的最大值为 l

2l 1

例2、解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=222+12=2＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.

设其长半轴为a , 短半轴为b , 半焦距为c , 则2a =2, ∴a =5, c =2,b =1.

x 22

∴曲线C 的方程为+y =1.

5

(2)设直线l 的方程为y =kx +2,

x 2222

代入+y =1,得(1+5k ) x +20kx +15=0.

5

Δ=(20k ) －4×15(1+5k ) ＞0, 得k ＞

2

2

2

DM x 13

=. 由图可知=λ DN x 25

20k ⎧

x +x =-122⎪⎪1+5k 由韦达定理得⎨

15⎪x ⋅x =

12⎪1+5k 2⎩

将x 1=λx 2代入得

⎧400k 222

⎪(1+λ) x 2=⎪(1+5k 2) 2

⎨

⎪λx 2=15

2⎪1+5k 2⎩

(1+λ) 2400k 280两式相除得 ==2λ15(1+5k ) 3(5+)

k 2

3151208016

k 2>, ∴0

1533k k +533(2+5) k (1+λ) 216DM 1∴40, ∴解得

λ3DN 3

① ②

λ=

x 1DM =, M 在D 、N 中间，∴λ＜1 x 2DN

又∵当k 不存在时，显然λ=综合得：1/3 ≤λ＜1.

DM 1

= (此时直线l 与y 轴重合) DN 3

例3、解：（1

）由于点+

2

2

=1b 2

得2a =4, „2分

x 2y 2

+=1椭圆C 的方程为 43x 2y 2+=1把K 的坐标代入椭圆43

，焦点坐标分别为(-1,0),(1,0) „„4分

（2）设KF 1的中点为B （x, y）则点K (2x +1,2y ) „„„„„„„„„5分

(2x +1) 2(2y ) 2

+=1中得

43

„„„„„7分

12y 2

=1线段KF 1的中点B 的轨迹方程为 (x +) +2

4

设M (x 0, y 0) N (-x 0, -y 0),

„„„„„„„„„8分

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称

p (x , y ) ,

x 02y 02x 2y 2

M , N , P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得2+2=12+2=1 „„10分

a b a b b 2y -y 0y +y 0y 2-y 02

=-2 „„„„„„„„„„„13分 k PM ⋅K PN =⋅=2

2

a x -x 0x +x 0x -x 0

故：k PM ⋅K PN 的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关， „„„„„„14分

x 2y 2

+=1． „„„„（5分） 例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为43

（Ⅱ）设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，

⎧y =kx +m ，

⎪222

联立⎨x 2y 2得(3+4k ) x +8mkx +4(m -3) =0，

=1. ⎪+

43⎩

⎧

⎪∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0，即3+4k 2-m 2>0，则⎪

8mk ⎪

x +x =-， ⎨122

3+4k ⎪

⎪4(m 2-3)

. ⎪x 1 x 2=

3+4k 2⎩

3(m 2-4k 2)

又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =， 2

3+4k

2

2

0) ， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点D (2，

∴k AD k BD =-1，即

y 1y

2=-1， x 1-2x 2-2

3(m 2-4k 2) 4(m 2-3) 16mk

+++4=0， ∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0，∴

3+4k 23+4k 23+4k 2

∴9m 2+16mk +4k 2=0．

解得：m 1=-2k ，m 2=-

2k 22

，且均满足3+4k -m >0， 7

1、当m 1=-2k 时，l 的方程为y =k (x -2) ，直线过定点(2，0) ，与已知矛盾； 2、当m 2=-

2k 2⎫⎛2⎫⎛

时，l 的方程为y =k x -⎪，直线过定点 ，0⎪． 77⎭⎝7⎭⎝

所以，直线l 过定点，定点坐标为 ，0⎪． „„„„（14分）

⎛2

⎝7⎫⎭

y 2x 2

+=1例5、解（1）F 1F 2(0,，设P (x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)

42。

22则PF 1⋅PF 2=x 0-(2-y 0) =1 1=(-x 0y 0), PF 2=(-x 0, y 0), ∴PF

222

x 0y 04-y 02

=1. ∴x 0= 点P (x 0, y 0) 在曲线上，则+

2422

4-y 02

-(2-y 0) =

1，得y 0=P

的坐标为 从而2

（2）由（1）知PF 1//x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为k (k >0) ，

⎧y =k (x -1) ⎪

则PB

的直线方程为：y =k (x -1)

由⎨x 2y 2得

=1⎪+

⎩24

(2+k 2) x 2+2k k ) x +k ) 2-4=0

2k (k -k 2--2

-1=设B (x B , y

B ), 则x B = 22

2+k 2+k x -x =

同理可得x A =，则A B

(x A -1) -k (x 1 y A -y B =-k B -

所以：AB

的斜率k AB =

8k

2

2+k

y A -y B

=

x A -x B

sin θ

4例6、 解：（1）由23=1|OF |⋅|FP |⋅sin θ, 得|OF |⋅|FP |=43, 由cos θ=t sin θ，

2

分

得tan θ=4. „„„„„„„„3分

t

4

ππ

, ）„„643

（2）设P (x 0, y 0), 则(x 0-c , y 0), =(c , 0).

∴OF ⋅FP =(x 0-c , y 0) ⋅(c ,0) =(x 0-c ) c =t =1) c 2 1 S ∆OFP =|OF |⋅|y 0|=y 0=2∴x 0=„„„8分

∴|OP |=10分

∴当且仅当3c =

4, 即c =2时, |OP |取最小值26, 此时, OP =(23, ±23) c

∴=

3

(2, 23) +(0, 1) =(2, 3) 33

或=(2, -23) +(0, 1) =(2, -1) „„„„12分 椭圆长轴

2a =(2-2) 2+(3-0) 2+(2+2) 2+(3-0) 2=8

∴a =4, b 2=12

或2a =(2-2) 2+(-1-0) 2+(2+2) 2+(-1-0) 2=1+∴a =

1+21+ , b =

22

x 2y 2

+=1. 或x 2+y 2=1 „„„„14分 故所求椭圆方程为

16129+1+2

2