力的合成与分解典型例题分析

力的合成与分解典型例题分析

【例1】 长度为5 m的细绳的两端分别系于竖立于地面上相距为4 m的两杆的顶端A、B.绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一重为12 N的物体如图1－1所示，平衡时，绳中的张力为多大？

A

B

图1－1

解析：设重物平衡时悬点为O，延长AO交B杆于C点，从C点向A杆作垂线CD交A杆于D点，如图1－2所示.因为CD=4 m，AOB是一条绳，挂钩光滑，所以挂钩两侧绳AO段与BO段的拉力必然相等，与竖直线的夹角也相等，因而OB=OC，故AC=5 m.设∠A=α，则sinα=

ADAC=45，cosα=3

5

，取O点为研究对象，将重物对O点的拉力沿AO、BO延长线分解，由平衡条件得：

图1－2

2Fcosα=G F=

G2cosα

=12 N=10 N.

2×35

说明：分析此类问题时要注意，光滑的轻质挂钩、滑轮两侧绳的拉力大小相等.

【例2】 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图1－3）.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是

O

A

PQB

图1－3

A.FN不变，F变大

B.FN不变，F变小

C.FN变大，F变大

D.FN变大，F

变小

解析：解法一：设PQ与OA的夹角为α，则对P有：mg+Fsin

α＝FN，对Q有：Fsinα＝mg，所以FN＝2mg，F＝mg/sinα.正确

选项为B.

解法二：将P、Q两环看作一个整体，在竖直方向上两环只受重力和OA杆对P环的支持力FN，所以FN＝2mg，即FN不变.

以Q环为研究对象，绳的拉力的竖直分力等于Q环的重力，

即Fsinα＝mg，所以F越来越小.

说明：在解决物体之间的相互作用时，常常采用隔离法和整体法.若不涉及物体之间的作用可用整体法，若要求物体之间的相互作用需再用隔离法.

【例3】 （2001年全国，12）如图1－4所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推力.现物块静止不动，则摩擦力的大小为

_______.

B

N

A

F

图1－4

图1－5

解析：选物块为研究对象进行受力分析如图1－5所示.应用正交分解法将F分解到水平方向和竖直方向，物块静止不动，由平衡条件有：

Ff =mg+Fsinα.

说明：物体静止不动，意味着物块与墙面之间的作用力是静摩擦力，只能根据共点力的平衡条件求摩擦力.

※

【例4】 如图1－6所示，两木块的质量分别为m1和m2，两

轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在此过程中下面木块移动的距离为

m1k1

m2k2

图1－6

A.m1g

k B.m2g

1k

1 C.

m1g

k

D.

m2g

2

k 2

解析：整个系统处于平衡状态时，以m1和m2整体为研究对象，由平衡条件得k2弹簧的弹力是

k2x1＝（m1＋m2）g

当m1被提离上面的弹簧时，k2弹簧的弹力是 k2x2＝m2 g

故木块m2移动的距离是 xm1－x2＝

（m1+2）g－m2g=m1g

k.

2k2k2

正确选项为C.

【例5】 （2001年全国理科综合，19）如图1－7所示，在一粗糙水平面上，有两个质量分别为m1、m2的木块1和2，中间用一原长为l、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间的动摩擦因数为μ.现用水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时，两木块之间的距离为

12

图1－7

A.l+

μ

k

m1g B.l+

μ

k

（m1+m2）g

C.l+μ

k

m2 g D.l+

μ

k

（

m1m2

mm）g

1+2

解析：以木块1为研究对象，它受四个力的作用：重力m1g、

支持力FN、弹簧的弹力F及滑动摩擦力Ff，由平衡条件得F=Ff

FN=m1g

又由于F=kx Ff =μFN 联立求得x=μ

k

m1g 所以，匀速运动时两木块之间的距离为

l+x=l+

μ

k

m1g 正确选项为A

※

【例6】有点难度哟！

（2004年全国重点中学临考仿真试卷）一块砖静止在斜面上，设想它由两半块砖P和Q两部分组成，如图1－8所示，则这两半块砖对斜面的压力大小相比较

A.P较大 B.Q较大

C.两者相等

D.无法判定

Q

图1－8 图1－9

解析：整块砖在斜面上保持静止，即处于平衡状态，它共受到三个力的作用，其中重力G的作用点为重心O点，方向竖直向下，在图上作出它的示意图，它与斜面交点为C点；砖受到的静摩擦力f一定在接触面上，方向沿斜面向上；另一个力则是斜面对它的支持力FN，FN的方向垂直于斜面向上.根据三力平衡原理，G、f、FN这三个力必是共点力.这个点只能是C点，因此受力示意图如图1

－9所示.

支持力FN实际是“面作用力”，即是发生在砖与斜面的整个接触面上，画出的箭头代表的是整个接触面上的支持力的合力.如果整个接触面上的支持力是均匀分布的，其合力的作用点应在接触面的中心位置，但现在在C点，即在中间偏下的位置，这说明斜面对砖的下半部的支持力（即P）大于对上半部（即Q）的支持力.根据牛顿第三定律，P对斜面的压力较大，故A项正确.

一、选择题（共10小题，每小题5分.每小题中只有一个选项是符合题目要求的）

1.如图1－10所示，质量均为m的a、b两木块叠放在水平面上，a受到斜向上与水平面成θ角的力F作用，b受到斜向下与水平面成θ角的力F作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止.则

图1－10

A.b对a的支持力一定等于mg B.水平面对b的支持力可能大于2mg C.a、b之间一定存在静摩擦力 D.b与水平面之间可能存在静摩擦力

解析：以整体为研究对象，a、b所受拉力F合力为零，故地面对b的支持力FN=2mg，地面对b没有摩擦力作用.以a为研究对象，拉力F使a有相对于b向右运动的趋势，故a、b间一定存在摩擦力.b对a的支持力小于重力mg.选项C正确.

答案：C

2.如图1－11所示，物块A静止在水平桌面上，水平力F1=40 N向左拉A

，它仍静止.现再用水平力F2向右拉物块A，在F2从零逐渐增大直到把A拉动的过程中，A受到的静摩擦力大小将如何变化？方向如何?

图1－11

①先减小后增大至最大 ②先增大后减小到零 ③先左后右 ④先右后左

以上说法正确的是

A.①③ B.②④ C.①④

D.②③

解析：当F2＜F1时，A受的静摩擦力向右，且Ff =F1－F2，随着F2增大，摩擦力减小；当F2＞F1时，A受的摩擦力向左，且Ff =F2

－F1，随着F2增大，摩擦力也增大直到达到最大静摩擦力.故C选

项正确.

答案：C

3.如图1－12，在粗糙水平面上放一三角形木块a，物块b在a的斜面上匀速下滑，则

ba

图1－12

A.a保持静止，而且没有相对于水平面运动的趋势 B.a保持静止，但有相对于水平面向右运动的趋势 C.a保持静止，但有相对于水平面向左运动的趋势

D.因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断

解析：以a、b整体为研究对象，因为a、b均处于平衡状态，所以整体的受力满足平衡条件.由于整体在水平方向不受外力，故a相对于水平面没有运动趋势.

答案：A

4.在图1－13中，AO、BO、CO是三条完全相同的细绳，并将钢梁水平吊起，若钢梁足够重时，绳A先断，则

图1－13

A.θ=120° B.θ＞120°

C.θ＜120°

D.不论θ为何值，AO总先断

解析：当θ=120°时，三绳的拉力互成120°角，三力大小相等，当θ＜120°时，FAO＞FBO=FCO，此时AO绳先断，故C选项正确. 答案：C

5.物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，如图1－14所示，已知F1和F2垂直，F2与F3间的夹角为120°，则三个力的大小之比F1∶F2∶F3及F1逆时针转90°角后（F1大小及F2、F3大小和方向均不变）物体所受的合外力的大小分别为

2

图1－14

A.2∶1∶3，2F1 B.2∶2∶3，F1－F2+F3 C.∶1∶2，2F1 D.4∶5∶3，2F1

解析：根据平衡条件，F1、F2、F3构成一个矢量三角形，如图所示，由正弦定理得

F1∶F2∶F3=sin60°∶sin30°∶sin90°=3∶1∶2

2

3

F2与F3的合力大小F23=F1，方向与F1的方向相反，当F1转过

90°后，F23与F1垂直，合力为2F1.故C选项正确.

答案：C

6.三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图1－15 所示，其中OB是水平的，A端、B端固定.若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳

A

B

OC

图1－15

A.必定是OA B.必定是OB

C.必定是OC D.可能是OB，也可能是OC 解析：取节点O为研究对象，O点受OA、OB、OC的张力处

于平衡状态，三张力的合力必为零，其力矢量组成封闭的直角三角形，OA是斜边受力最大，必先断.正确选项为A.

答案：A

7.如图1－16所示，位于斜面上的物块M

在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态.关于斜面作用于物块的静摩擦力，下列说法错误的是

图1－16

A.方向一定沿斜面向上 B.方向可能沿斜面向下 C.大小可能等于零 D.大小可能等于F

解析：当F＜mgsinθ时，物块受到的摩擦力沿斜面向上；当F=mgsinθ时，摩擦力为零；当F＞mgsinθ时，摩擦力沿斜面向下；当F=

1

2

mgsinθ时，摩擦力跟力F相等，所以A选项错误. 答案：A

8.如图1－17所示，重物G用OA和OB两段等长的绳子悬挂

在半圆弧的架子上，B点固定不动，A端由顶点C沿圆弧向D移动.在此过程中，绳子OA上的张力将

图1－17

A.由大变小 B.由小变大 C.先减小后增大

D.先增大后减小

解析：用图解法解.由于受重物的拉力F才使OA、OB受到拉力，因此将拉力F分解.又OB绳固定，则FB的方向不变.由平行四边形定则知，FB一直变大，FA先减小后增大.

答案：C

9.跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落.

已知运动员和他身上装备的总重力为G1，圆顶形降落伞伞面的重力为G2，有8条相同的拉线（拉线重量不计），均匀分布在伞面边缘上，每根拉线和竖直方向都成30°角.那么每根拉线上的张力大小为

A.

G1

12 B.

G1+G2）

12

C.G1+G28

D.G14

解析：设每根拉线的张力大小为F，每根线张力的竖直分力为Fcos30°

由平衡条件得

8Fcos30°=G1 F=

3

12

G1. 答案：A 10.（2005年上海市高三物理复习调研）如图1－18所示，M、N为装在水平面上的两块间距可以调节的光滑竖直挡板，两板间叠放着A、B两个光滑圆柱体.现将两板间距调小些，这时与原来相比，下述结论中正确的是

MN

A B

图1－18

A.N板对圆柱体A的弹力变小 B.圆柱体A对圆柱体B的弹力变大 C.水平面对圆柱体B的弹力变大 D.水平面对圆柱体B的弹力变小

解析：以圆柱体A为研究对象，其受力如图所示，圆柱体B对圆柱体A的支持力F1的竖直分力Fy大小一定，等于重力，两板间距调小时，角α变小，使F1变小，从而使F1的水平分力Fx变小，N板对圆柱体A的弹力F2与Fx是一对平衡力，故N板对圆柱体A的弹力变小，选项A正确.以A、B两个光滑圆柱体整体为研究对象，竖直方向上的整体重力和水平面对圆柱体B的弹力大小相等，故水平面对圆柱体B的弹力不变

.

x

答案：A

二、填空题（共5小题，每小题5分）

11.如图1－19，质量为m的木块在置于水平桌面的木板上滑行，木板静止，它的质量为M.已知木块与木板间、木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，那么木板所受桌面给的摩擦力大小等于

_______.

图1－19

解析：木块和木板间的滑动摩擦力大小为F

f1

=μmg

木板水平方向受到木块对它向左的滑动摩擦力Ff1和地面对

它向右的静摩擦力F

f2，它们是一对平衡力，故有F

f2

=F

f1

=μmg.

答案：μmg

12.（2000年春季高考，15）1999年11月20日，我国发射了“神舟”号载人飞船，次日载人舱着陆，实验获得成功，载人舱在将要着陆之前，由于空气阻力作用有一段匀速下落过程.若空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为k，载人舱的质量为m，则此过程载人舱的速度为_______.

解析：载人舱受空气阻力为Ff =kv2

受的重力是mg，因它做匀速运动，由平衡条件有kv2＝mg，得v=mg/k.

答案：

mg/k

13.在图1－20中，给出六个力F1、F2、F3、F4、F5、F6，它们作用于同一点O，大小已在图中标出.相邻的两个力之间的夹角均为

60°，它们的合力大小为_______ N，方向为

_______.

N

F2 =40N

3

图1－20

解析：F3与F6的合力F36=20 N，沿F6的方向；F2与F5的合力F25=20 N，方向沿F5的方向；F1与F4的合力F14=20 N，方向沿F1的方向.如图所示，F25与F14的合力大小等于20 N，方向与F6的方向相同，所以，这6个力的合力大小为40 N，方向与F6的方向相同.

14

25

答案：40 与F6同向

14.用一根橡皮筋将一物块竖直悬挂，此时橡皮筋伸长了x1，

然后用同一根橡皮筋沿水平方向拉同一物体在水平桌面上做匀速直线运动，此时橡皮筋伸长了x2.那么此物块与桌面间的动摩擦因数μ＝_______.

解析：由于物块匀速运动，故橡皮筋的拉力F2的大小与摩擦力大小相等.故

μ＝

FμF=

F2x2

N

F=. 1x1

答案：

x2

x 1

15.如图1－21所示，物重30 N，用OC绳悬挂在O点，OC绳能

承受的最大拉力为20 N，再用一绳系OC绳的A点，BA绳能承受的最大拉力为30 N.现用水平力拉BA，可以把OA绳拉到与竖直方向的最大夹角为

_______.

图1－21

解析：根据平衡条件，OA绳的拉力FOA、AB绳的拉力FAB及重物的重力G构成一矢量三角形，如图所示，若AB的拉力达到最大值，则AO绳的拉力FOA=302 N ＞20 N，则AO绳将被拉断，所以，α最大时AO绳的拉力达到最大FOA=203 N，则

cosα=

GF=30=3

，α=30°. OA202

AB

答案：30°

三、计算题（共5小题，共45分）

16.（8分）如图1－22所示，在倾角θ＝30°的粗糙斜面上放一物体，重力为G.现在用与斜面底边平行的力F＝G/2推物体，物体恰能斜向下做匀速直线运动

.则物体与斜面之间的动摩擦因数是多少?

图1－22

解析：在垂直于斜面的方向上，物体所受的支持力FN与重力的分力Gcosθ平衡，即

FN=Gcosθ=

3

2

G 在斜面内，物体所受的推力F、摩擦力Ff及重力的分力Gsinθ平衡，如图所示.

Ff

F

Gsin

由平衡条件得F2f =

2

G 则物体与斜面间的动摩擦因数为μ=Ff

F=6

3

.

N答案：

3

17.（8分）如图1－23所示，质量为m的物体靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ.若要使物体沿着墙匀速运动，则与水平方向成α角的外力F的大小如何？

图1－23

解析：当物体沿墙匀速下滑时，受力如图（a）所示，建立如图所示的坐标系，由平衡条件得F1sinα+Ff1

=mg

①

FN1=F1cosα

②

又有F

f1

=μFN1

③

由①②③解得F1=

mg

sinα+μcosα

图（a）

图（b）

当物体匀速上滑时，受力如图（b）所示，建立如图所示的坐

标系，由平衡条件得

F2sinα=Ff2

+mg

④ FN2=F2cosα

⑤

又有F

f2

=μFN2

⑥

由④⑤⑥解得Fmg

2=

sinα−μcosα

.

答案：

mgmg

sinα−μcosα或sinα+μcosα

18.（9分）如图1－24所示，两根固定的光滑硬杆OA、OB成

θ角，在杆上各套一轻环P、Q，P、Q用线相连.现用一恒力F沿

OB方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的张力为多大

?

图1－24

解析：由于杆是光滑的，所以P环只受两个力作用：杆的弹力和绳的拉力，稳定时这两个力合力为零，它们等大反向，所以稳定时绳一定垂直于OA杆.Q环共受三个力作用：绳的拉力F′，杆的弹力FN及恒力F，由平衡条件得：F＝F′sinθ，则绳的拉力F′＝

F

sinθ

. 答案：

F

sinθ

19.（10分）如图1－25所示，小球质量为m，用两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角为60°的力F，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角60°.则力F的大小应满足什么条件？

答案：3×10－6 m

图1－25

解析：本题为静力学类问题，并有临界条件需分析，当力F太小时，CO线会松弛，当F CO=0时物体受力如图（a），则

Fminsin60°×2=mg， 所以Fmin=

3

mg 3

当力F太大时，OB线会松弛，当FOB=0时 受力如图（b）所示

max

FO

图（a）

所以Fmax=

图（b）

mg23

=mg

cos30°3

综上所述F应满足的条件为：

323mg≤F≤mg. 33

答案：

32mg≤F≤mg 33

20.（10分）测定患者的血沉，在医学上有助于医生对病情作出判断，设血液是由红血球和血浆组成的悬浮液.将此悬浮液放进竖直放置的血沉管内，红血球就会在血浆中匀速下沉，其下沉速率称为血沉.某人的血沉v的值大约是10 mm/h.如果把红血球近似看作是半径为R的小球，且认为它在血浆中下沉时所受的粘滞阻力为F=6πηRv.在室温下η≈1.8×10－3 Pa·s.已知血浆的密度ρ0≈1.0×103 kg/m3，红血球的密度ρ≈1.3×103 kg/m3.试由以上数据估算红血球半径的大小.（结果取一位有效数字即可）

解析：红血球在血浆中匀速下沉时受三个力作用：重力G、浮力F浮和粘滞阻力F

G=ρ·

44

πR3g，F浮=ρ0·πR3g 33

44

πR3g=ρ·πR3g 33

由平衡条件得F+F浮=G

6πηRv+ρ0·

解得R=3

ηv

2g（ρ−ρ0）

m

=3×

1.8×10−3×10×10−32×10×3600×0.3×10

3

=3×10－6 m.