高中数学必修五解三角形专题

解三角形

【知识要点】

1. 正弦定理：

a b c ＝＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径) ． sin A sin B sin C

变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .

a b c

sin A ＝sin B ＝sin C .

2R 2R 2R 2． 余弦定理：

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2

推论：cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝.

2bc 2ac 2ab 3. 三角形面积公式：S =

111

ab sin C =bc sin A =ac sin B 222

4． 三角形中的常用结论

(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π,

sin (A +B )=sin C , cos (A +B )=-cos C

(2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C .

5. 仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①) ．

6．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②) ． 7．方向角

相对于某一方向的水平角(如图③) ．

图③

(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似．

一、选择题：

1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°, 则c 等于 （ ）

A ．10+

B ．10-1 C ．+1

)

D ．103

2. 在△ABC 中，

c=3，B=300，则a 等于（ ） A

．

12

．2

3. 已知△ABC 的周长为9，且sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cosC 的值为

（ ）

A ．-14 B ．14 C．-23

D ．2

3

4. 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B .

锐角三角形

C.

等腰三角形

D. 等边三角形

5．在∆ABC 中，已知(a +c )(a -c ) =b (b +c ) ，则∠A 为（ ）

A ．300 B．450 C．600 D．120

6. △ABC 中，B =45，C =60，

c =1，则最短边的边长等于 （ 1

2

D 7. 长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）

A 90° B 120° C 135° D 150°

8. △ABC 中，a cos A =b cos B =c

cos C

，则△ABC 一定是（ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 9. △ABC 中，b =

8，c =

S

ABC

=∠A 等于（ ）

A 30 B 60 C 30或150 D 60或120 10. 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ）

A.60°

B . 45°

C.120

D.30°

11. 在△ABC 中，a =2，A =30°, C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于（ ）A.

B .

2

C.

+1

D.

(

+1)

12. 已知△ABC 的三边长a =3, b =5, c =6，则△ABC 的面积为（ ）

A ．

B ．2 C ．

D ．2

）

13. 已知三角形ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C ，则sin A sin C 等于（ ） A.cos 2

B

B.1-cos 2

B

C.1+cos2

B

D.1+sin2B

14. △ABC 中，若c=a 2+b 2+ab ，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.45°

, 则△ABC 外接圆的直径为15. △ABC 中, A =60°, b =1,这个三角形的面积为（ ） A.

B.

C.

D.

二、填空题

1. 已知在△ABC 中，a =10,b =5

, A =45°, 则B

= .

2. 在△ABC 中, a =1,b =1,C =120°则c = .

3. 在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为 .

4. 在△ABC 中，sin A =2cosB sin C ，则三角形为

5. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，若a , b , c 成等差数列, B =30,

∆ABC 的面积为

3

，则b =____. 2

6. 在△ABC 中，B =, C =3,B =30°，则A =

7. 在△ABC 中，a +b =12,A =60°，B =45°，则a = , b =

8. 在等腰三角形 ABC中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

9. 在△ABC 中，已知b =，c =150，B =30，则边长a = 。 10. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7, 则此三角形的最大内角的度数等于________. 三、解答题

1. 已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B .

2. 已知△ABC 的三边长a =3，b =4，c =

3. 已知在△ABC 中，∠A =45°，a =2，c =

4. 已知△ABC 的面积

5. 在△ABC 中，a =

, b =2,c=

，求三角形的最大内角.

，解此三角形.

，解此三角形.

+1，求A 、B 、C 及S △.

6. 在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－3 x+2=0的两根，角A 、B 满足： 2sin(A+B)3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。

7. 如图1，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？

°

图1