高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨
《高等数学》竞赛试题
院系 班级 学号 姓名
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
⎧sin 3x
, x
1 设函数f(x)=⎨在x=0处连续，则K=( )。 x
2⎪⎩4x +2x +K , x ≥0
A. 3 B. 2 C. 1 D.
x cos x
dx =（ ）
-11+sin 6x πA. 2
13
2 ⎰
1
B. π D.0
C.1
3 设f （x ）=⎨
x ≥0⎧x ,
，则f '(0) =（ ）
sin x , x
A.-1 B.1
C.0 D. 不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A. lim C. lim
ln x
x →+∞x ln x
x →11-x
x 0
B. lim
cos 2x
x →∞x
D. lim e -x ln x
x →+∞
5 设f (x)是连续函数，且⎰f (t ) dt =x cos x ，则f (x)=( ) A.cos x-xsin x
C.sin x-xcos x
B.cos x+xsin x D.sin x+xcos x
6 设函数f(x)满足f '(x 0) =0, f '(x 1) 不存在, 则（ ） A.x=x0及x=x1都是极值点 C. 只有x=x1是极值点
B. 只有x=x0是极值点
D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点
a -a
7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰f (x ) dx =（ ）
1
A. 0
C. ⎰[f (x ) +f (-x )]dx
0a
B. 2⎰f (x ) dx
a
D. ⎰[f (x ) -f (-x )]dx
a
8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x0) 内可导，如果∀x ∈V(x0) 有f(x)≥f(x0) ， 有（ ） A ．f ' (x ) ≥f ' (x 0) C ．f ' (x 0) =0
B ．f ' (x ) ≥f (x 0) D ．f ' (x 0) >0
9 设f(x)=x15+3x3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!
B ．15!
C ．14! D ．0
d 7
[⎰(x arctan x ) 6dx ]=（ ） 10
dx 3
A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）
1 当x →0时，sin(2x2) 与ax 2是等价无究小，则a=___________ .
⎧ln(1+x 2)
x ≠0⎪
2 设函数f(x)=⎨，则f '(0)=___________. x
⎪0 x =0⎩
3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 lim
n →∞
11
n 2sin 2
3n
= ___________.
1x
⎤
f (1-) -f (1) 5 设f '(1) =1 则lim x ⎡⎢⎥=___________.
x →∞
⎣⎦
6 曲线x 2+y5-2xy=0在点(1、1) 处的切线方程为 . 7 ⎰
x +(arctanx ) 2
1+x
2
= .
x 2-2x +2
8 曲线y =的垂直渐近线的方程是 .
x -1
三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰
2
10
e
x
dx
2. 设f(x)的一个原函数为x e x ，计算⎰x
2
f
/
(x ) dx
四、解答题（第1题10分，第2题12分）
1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）. 求D 的面积.
2. 计算定积分⎰
3
1
ln(1+x ) (2-x )
2
dx .
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨
《高等数学》竞赛试题参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
⎧sin 3x
, x
1 设函数f(x)=⎨在x=0处连续，则K=( A )。 x
2⎪⎩4x +2x +K , x ≥0
A. 3 B. 2 C. 1 D.
x cos x
dx =（ D ）
-11+sin 6x πA. 2
13
2 ⎰
1
B. π D.0
C.1
3 设f （x ）=⎨
x ≥0⎧x ,
，则f '(0) =（ B ）
⎩sin x , x
A.-1 B.1 C.0 D. 不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( B ) A. lim C. lim
ln x
x →+∞x ln x
x →11-x
x 0
B. lim
cos 2x
x →∞x
D. lim e -x ln x
x →+∞
5 设f (x)是连续函数，且⎰f (t ) dt =x cos x ，则f (x)=( A ) A.cos x-xsin x
C.sin x-xcos x
B.cos x+xsin x D.sin x+xcos x
6 设函数f(x)满足f '(x 0) =0, f '(x 1) 不存在, 则（ D ） A.x=x0及x=x1都是极值点 C. 只有x=x1是极值点
B. 只有x=x0是极值点
D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点
a -a
7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰f (x ) dx =（ C ） A. 0
C. ⎰[f (x ) +f (-x )]dx
0a
B. 2⎰f (x ) dx
a
D. ⎰[f (x ) -f (-x )]dx
a
8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x0) 内可导，如果∀x ∈V(x0) 有f(x)≥f(x0) ， 有（ C ）
4
A ．f ' (x ) ≥f ' (x 0) C ．f ' (x 0) =0
B ．f ' (x ) ≥f (x 0) D ．f ' (x 0) >0
9 设f(x)=x15+3x3-x+1,则f (16)（1）=（ D ） A ．16!
B ．15!
C ．14! D ．0
d 7
[⎰(x arctan x ) 6dx ]=（ D ） 10
dx 3
A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）
1 当x →0时，sin(2x2) 与ax 2是等价无究小，则a= 2
⎧ln(1+x 2)
x ≠0⎪
2 设函数f(x)=⎨，则f '(0)= 1 x
⎪0 x =0⎩
3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为（-1，1）. 4 lim
n →∞
1n sin
3n
2
2
= 9
1x
⎤
5 设f '(1) =1 则lim x ⎡⎢f (1-) -f (1) ⎥=-1
x →∞
⎣⎦
6 曲线x 2+y5-2xy=0在点(1、1) 处的切线方程为y=1 7 ⎰
x +(arctanx )
1+x
2
2
=
(arctan12
ln(1+x ) +23
x )
3
+c
x 2-2x +2
8 曲线y =的垂直渐近线的方程x=1
x -1
三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰
原式=2
2. 设f(x)的一个原函数为x e x ，计算⎰x
原式=2x3e +C
5
2
1
e
x
dx
f
/
(x ) dx
x
2
四、解答题（第1题10分，第2题12分）
1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）. 求D 的面积.
原式=5-ln6
2. 计算定积分⎰1
ln(1+x ) 0
(2-x ) 2
dx .
原式=1
3
ln 2
6