第3章 插值法与最小二乘法

第3章 插值法与最小二乘法

[教学目的与要求]

1．理解插值的基本概念、插值多项式的存在唯一性； 2．掌握拉格郎日插值多项式的构造、插值余项的证明；

3．掌握差商的定义、性质、计算，掌握牛顿插值多项式的构造； 4．理解埃特金逐步插值法思想及构造；

5．掌握埃尔米特插值法插值多项式的构造及其余项的证明； 6．掌握曲线拟合的最小二乘法。

[主要内容]

5.1 插值的基本概念 5.2 拉格郎日插值法 5.3 埃特金逐步插值法 5.4牛顿插值法 5.5 分段插值

5.6 埃尔米特插值法

5.7 曲线拟合的最小二乘法

[重点与难点]

重点：拉格郎日插值、牛顿插值、埃尔米特插值。 难点：埃尔米特插值。

[学时安排]

8学时

[授课内容]

本章主要问题

1、函数f(x)没有明确的表达式，以一组离散数据表示其关系； 2、函数f(x)表达式复杂。 解决方法

构造一个简单的连续函数g(x)近似的替代f(x)。 f(x)：被逼近函数 g(x)：逼近函数。

若要求g(x)取给定的离散数据，即：

g(xi) = f(xi) (i=0,1,2…n)

f(x)：被插值函数。 g(x)：插值函数，

若g(x)为代数多项式，称为多项式插值

3.1 插值法

一、插值问题

已知函数y=f(x)在区间[a,b]上n+1个互异节点x 0, x 1, , x n 的函数值为y 0, y 1, , y n ，求作一个次数不高于n 的代数多项式P(x),使其满足：

P n (x i ) =y i

f(x)：被插值函数 P n (x)：插值函数

i =0, 1, 2, , n

x 0, x 1, , x n ：插值节点

二、拉格朗日插值法

1、线形插值

设插值函数为P 1(x ) =a 0+a 1x ，则函数满足：

P 1(x 0) =y 0, P 1(x 1) =y 1

点斜式：P 1(x ) =y 0+

y 1-y 0

(x -x 0)

x 1-x 0

改写为：P 1(x ) =

x -x 0x -x 1

y 0+y 1

x 0-x 1x 1-x 0

l 1(x ) =

x -x 0

x 1-x 0

记：l 0(x ) =

x -x 1x 0-x 1

则：

l 0(x 0) =1l 1(x 0) =0

l 0(x 1) =0l 1(x 1) =1

即：P 1(x ) =l 0(x ) y 0+l 1(x ) y 1 例：已知有

求其近似表达式 解：

P 1(x ) =

x -3x -11

⨯1+⨯2=(x +1) 1-33-121

f (x ) ≈(x +1)

2

例：用线性插值求 （x * = 10.723805）

解：设y =

x ，取x 0 = 100，x 1 = 121

11-10

(115-100) =10. 71428

121-100

则 y 0 = 10 y 1 = 11 从而：≈P 1(115) =10+2、抛物插值

设二次插值多项式为：P 2(x ) =l 0(x ) y 0+l 1(x ) y 1+l 2(x ) y 2 则插值基函数满足：

⎧l 0(x 0) =1⎪

⎨l 1(x 0) =0⎪l (x ) =0⎩20

l 0(x 1) =0l 1(x 1) =1l 2(x 1) =0

l 0(x 2) =0l 1(x 2) =0l 2(x 2) =1

(I ) (II ) (III )

由（I ）式知，x 1, x 2是l 0 (x ) 的根，所以有：

l 0(x ) =λ(x -x 1)(x -x 2)

又由l 0(x 0) =λ(x 0-x 1)(x 0-x 2) =1, 得：λ=所以：

1

(x 0-x 1)(x 1-x 2)

l 0(x ) =

(x -x 1)(x -x 2)

(x 0-x 1)(x 0-x 2)

同理可得：

l 1(x ) =l 2(x ) =

这样

(x -x 0)(x -x 2) (x 1-x 0)(x 1-x 2) (x -x 0)(x -x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)

P 2(x ) =

(x -x 0)(x -x 2) (x -x 0)(x -x 1) (x -x 1)(x -x 2)

y 0+y 1+y 2

(x 0-x 1)(x 0-x 2) (x 1-x 0)(x 1-x 2) (x 2-x 0)(x 2-x 1)

例：已知有y=f(x)的函数表

求其近似表达式

解：

f (x ) ≈P 2(x ) =

(x -2)(x -3) (x -1)(x -3) (x -1)(x -2)

⨯7+⨯2+⨯6

(1-2)(1-3) (2-1)(2-3) (3-1)(3-2)

例：用抛物插值求，（x * = 10.7238） 解：设y =

x ，函数表为

≈P 2(115) =

(115-121)(115-144)

⨯10

(100-121)(100-144) (115-100)(115-144) +⨯11

(121-100)(121-144)

(115-100)(115-121) +⨯12(144-100)(144-121)

=10. 7228

3、 拉格朗日插值 设插值多项式为：

P n (x ) =l 0(x ) y 0+l 1(x ) y 1+... +l n (x ) y n =∑y k l k (x )

k =0

n

则插值基函数满足：l k (x i ) =⎨

⎧1, ⎩0,

k =i

k ≠i

n

由上式知，除x k 外所有节点都是l k (x ) 的根，所以有：

l k (x ) =λ(x -x 0)(x -x 1) (x -x k -1)(x -x k +1) (x -x n ) =λ∏(x -x j )

j =0j ≠k

又由l k (x k ) = 1，得： 所以有：

λ=

1

(x k -x 0)(x k -x 1) (x k -x k -1)(x k -x k +1) (x k -x n )

n x -x j (x -x 0)(x -x 1) (x -x k -1)(x -x k +1) (x -x n )

l k (x ) ==∏

(x k -x 0)(x k -x 1) (x k -x k -1)(x k -x k +1) (x k -x n ) j =0x k -x j

j ≠k

记：ω(x ) =(x -x 0)(x -x 1) (x -x n ) =

∏(x -x )

i

i =0

n

则：l k (x ) =

ω(x ) ω'(x k )(x -x k )

例：已知有求其近似表达式

解：

(x -2)(x -3)(x -4) (x -1)(x -3)(x

-4)

⨯7+⨯2

(1-2)(1-3)(1-4) (2-1)(2-3)(2-4)

(x -1)(x -2)(x -4) (x -1)(x -2)(x -3) +⨯6+⨯9(3-1)(3-2)(3-4) (4-1)(4-2)(4-3) f (x ) ≈P 3(x ) =

3.2 插值多项式中的误差

一、Lagrange 插值余项

f (x ) －P n (x ) 称为用插值多项式P n (x ) 代替f (x ) 的余项，误差或插值余项，记为 ：

R n (x ) =f (x ) -P n (x )

例：求f(x)=3x-4x +1在节点1,2,3,4,5,6,7上的Lagrange 插值多项式。 解：就是其本身 例：设f(x)是一个不高于n 次的代数多项式，求证它的n 次Lagrange 插值多项式就是它本身。

证明：设f(x)的n 次Lagrange 插值多项式为P n (x ) , 则：

f (n +1) (ξ)

R n (x ) =f (x ) -P n (x ) =ω(x )

(n +1)!

又因为f(x)是一个不高于n 次的代数多项式，所以：

f

(n +1)

(ξ) =0

即：f (x ) -P n (x ) =0 所以：f (x ) =P n (x )

例：证明

∑l (x ) =1

i i =0

n

证明：设f(x)=1，则其n 次Lagrange 插值多项式为：

∑l (x )

i i =0

n

由插值多项式的唯一性可知，f(x)的n 次Lagrange 插值多项式为其本身 故f (x ) =

n

∑l (x ) =1

i i =0

n

例：证明

∑(x

i =0

i

-x ) k l i (x ) =0

k =1, 2, n

证明： 设f (x ) =(x -p ) k

k =1, 2, , n

则f(x)的n 次Lagrange 插值多项式为其本身 因此：f (x ) =令P=x，则

∑(x

i =0

n

i

-p ) k l i (x ) =(x -p ) k

∑(x

i =0

n

i

-x ) k l i (x ) =(x -x ) k =0

2

例：设f (x ) ∈C [a , b ]，且f (a ) =f (b ) =0，证明：

1

max |f (x ) |≤(b -a ) 2max |f ''(x ) | a ≤x ≤b a ≤x ≤b 8

证明：

f ''(ξ)

(x -a )(x -b ) 2

f ''(ξ)

f (x ) =l 0(x ) f (a ) +l 1(x ) f (b ) +(x -a )(x -b )

2

f ''(ξ)

f (x ) =(x -a )(x -b )

2

f (x ) =P 1(x ) +

a +b (b -a ) 2

函数|(x -a )(x -b ) |在x =时取得最大值为，因此

24

1

max |f (x ) |≤(b -a ) 2max |f ''(x ) | a ≤x ≤b a ≤x ≤b 8

二、高次插值多项式的问题 主要问题：

龙格现象：当插值多项式次数很高时，多项式曲线会在插值区间两端剧烈地震动。 解决方法：分段低次插值(将大区间分为若干个小区间，每个区间使用低次插值)

3.3 分段插值法

一、分段插值的方法

(1)将[a,b]作一划分

a =x 0

(2)在每个小区间[x i , x i +1] 上构造插值多项式p i (x )

(3)将p 0(x ), p 1(x ), , p n -1(x ) 拼接在一起记为g(x)，则g(x)为f(x)在[a,b]上的插值函数。

二、分段线性插值

⎧P 0(x ) ⎪P (x ) ⎪

S 1(x ) =⎨1

⎪ ⎪⎩P n -1(x )

x 0≤x ≤x 1x 1≤x ≤x 2x n -1≤x ≤x n

P i (x ) =

x -x i +1x -x i

y i +y i +1

x i -x i +1x i +1-x i

h 2

f (x ) -S 1(x ) ≤max f ''(x )

8a ≤x ≤b

分段线性插值的误差:

h =max h i

i

证明：

f (x ) -S 1(x ) ≤max f (x ) -P i (x )

i

≤max

i

f ''(ξi )

(x -x i )(x -x i +1) 2

f ''(ξi ) h h ≤max i ⋅i

i i 222h 2≤f ''(x ) 8a ≤x ≤b

3.4 牛顿插值

一、差商的定义

一阶差商f [x 0, x 1]=

f (x 1) -f (x 0)

x 1-x 0

f [x 0, x 1]-f [x 1, x 2]

x 0-x 1

f [x 0, x 1, , x k -1]-f [x 1, x 2, x k ]

x 0-x k

二阶差商f [x 0, x 1, x 2]=

k 阶差商f [x 0, x 1, x k ]=二、差商的性质

1、和的形式表示

f [x 0, x 1, x k ]=∑

证明： ①当k=1时 f [x 0, x 1]=

f (x i )

'i =0ω(x i )

k

f (x 1) -f (x 0) f (x 0) f (x 1)

=+

x 1-x 0x 0-x 1x 1-x 0

等式成立

②设当k=m-1时成立，则

f [x 0, x 1, x m -1]=∑f [x 1, x 2, x m ]=∑

③当k=m时

m

m -1

f (x i )

i =0ω(x ) 1i

f (x i )

i =1ω(x ) 2i

f [x 0, x 1, x m ]=

m -1

f [x 0, x 1, , x m -1]-f [x 1, x 2, x m ]

x 0-x m

m

f (x i ) f (x i ) =∑/(x 0-x m ) -∑/(x 0-x m )

i =0ω(x ) i =1ω(x ) 1i 2i

⎤f (x ) f (x 0) m -1⎡f (x i ) 11m

=+∑⎢(-) ⎥+

ω'(x 0) i =1⎢x 0-x m ω(x ) ω(x ) ⎥ω'(x m )

1i 2i ⎣⎦ f (x 0) m -1⎡f (x i ) x i -x m x i -x 0⎤f (x m )

=+∑(-) ⎥+

''ω'(x 0) i =1⎢x -x ω(x ) ω(x ) m i i ⎣0⎦ω'(x m ) f (x 0) m -1f (x i ) f (x m )

=+∑+

ω'(x 0) i =1ω'(x i ) ω'(x m ) =∑f (x i ) i =0ω'(x i )

m

即等式成立 2、对称性

f [x 0, x 1, x k ]=f [x 1, x 0, x k ]= =f [x k , x 1, x 0]

3、导数表示

f (k ) (ξ)

f [x 0, x 1, x k ]=

k !

三、差商的计算

ξ∈[x 0, x n ]

四、牛顿插值公式

⎧f (x ) =f (x 0) +f [x , x 0](x -x 0) ⎪⎪

⎪f [x , x 0]=f [x 0, x 1]+f [x , x 0, x 1](x -x 1) ⎪

⎨

⎪f [x , x , x ]=f [x , x , x ]+f [x , x , x , x ](x -x )

010120122

⎪

⎪

⎪

⎩f [x , x 0, x n -1]=f [x 0, x 1, x n ]+f [x , x 0, x 1, x n ](x -x n )

将以上各式由下而上，逐个代入上式，可得：

f (x ) =f (x 0) +f [x 0, x 1](x -x 0) +f [x 0, x 1, x 2](x -x 0)(x -x 1)

+ +f [x 0, x 1, x n ](x -x 0)(x -x 1) (x -x n -1) +f [x , x 0, x 1, , x n ](x -x 0)(x -x 1) (x -x n )

牛顿插值的承袭性

N n +1(x ) =N n (x ) +f [x 0, x 1, , x n +1](x -x 0)(x -x 1) (x -x n )

例：求证Newton 插值与Lagrange 插值所生成的插值多项式及余项相同。 证明：设Lagrange 插值多项式为L n (x ) , 余项为R L (x ) Newton插值多项式为N n (x ) , 余项为R N (x ) 由插值多项式的存在且唯一性，可得 L n (x ) =N n (x )

又因为f (x ) =L n (x ) +R L (x ) =N n (x ) +R n (x ) 所以有：R L (x ) =R N (x )

f (k ) (ξ)

例：证明f [x 0, x 1, x k ]=

k !

ξ∈[x 0, x n ]

证明：因为Newton 插值与Lagrange 插值所生成余项相同

f (k ) (ξ)

f [x , x 0, , x k -1](x -x 0)(x -x 1) (x -x k -1) =(x -x 0)(x -x 1) (x -x k -1)

k !

f (k ) (ξ)

即f [x , x 0, x 1, , x k -1]=

k !

令x =x k , 则：

f (k ) (ξ)

f [x 0, x 1, x k ]=

k !

例：设f (x ) =(x -x 0)(x -x 1) (x -x n ) ，求f [x 0, x 1, , x p ]之值。这里p ≤n +1，

x i (i =0, 1, , n +1) 互异。

解：

由差商性质可得

f [x 0, x 1, , x p ]=∑

=∑

i =0p

f (x i )

'ω(x ) i =0p i

(x i -x 0)(x i -x 1) (x i -x n )

(x i -x 0)(x i -x 1) (x i -x i -1)(x i -x i +1) (x i -x p )

p

当p ≤n 时 f [x 0, x 1, , x p ]=0 当p =n +1时 f [x 0, x 1, , x p ]=1

3.5 埃尔米特插值法

一、 Hermite 插值问题

已知函数y=f(x)在给定n+1个互异节点x 0, x 1, , x n 上的函数值为y 0, y 1, , y n 导数

', y 1', , y n '，求作一个不高于2n+1次的多项式H 2n+1(x) ： 值为y 0

H 2n +1(x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+... +a 2n +1x 2n +1

使其满足：

H 2n +1(x i ) =y i

''H 2n +1(x i ) =y i

i =0, 1, 2, , n i =0, 1, 2, , n

二、待定系数法构造 Hermite 插值多项式

设：H 2n +1(x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+... +a 2n +1x 2n +1

' 2n H (x ) =a +2a x +... +(2n +1) a x 2n +1122n +1则：

由插值条件可得：

2n +1

⎧a 0+x 0a 1+ +x 0a 2n +1=y 0⎧a 0=? ⎪⎪a =? 2n +1a +x a + +x a =y ⎪01112n +11⎪1⎪ ⎪a 2=? ⎪⎪2n +1

⎪a 0+x n a 1+ +x n a 2n +1=y n ⎪⎪⎪

⇒⎨⎨'2n

a + +(2n +1) x a =y 102n +10⎪⎪ ⎪⎪'2n

a + +(2n +1) x a =y 112n +11⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪

'2n ⎪⎪a 1+ +(2n +1) x n a 2n +1=y n ⎩a 2n +1=? ⎩

例：由下表求Hermite 插值多项式

解：设H 3(x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3

'

则H 3(x ) =a 1+2a 2x +3a 3x 2

由插值条件可得：

⎧a 0=2⎧a 0=2

⎪a +a +a +a =-3⎪a =-5⎪0⎪1123

⇒⎨⎨

a =-51⎪⎪a 2=-7⎪⎪a 1+2a 2+3a 3=2⎩a 3=7 ⎩

即：H 3(x ) =2-5x -7x 2+7x 3

例：由下表求插值多项式

解：设H 2(x ) =a 0+a 1x +a 2x 2

'

则H 2(x ) =a 1+2a 2x

由插值条件可得：

⎧a 0=2⎧a 0=2

⎪⎪

⎨a 0+a 1+a 2=4⇒⎨a 1=-5⎪a =-5⎪a =7⎩1⎩2

2

即：H 2(x ) =2-5x +7x 三、待定函数法构造 Hermite 插值多项式

设：

' '

H 2n +1(x ) =y 0α0(x ) +y 1α1(x ) +... +y n αn (x ) +y 0β0(x ) +y 1' β1(x ) +... +y n βn (x )

其中都αi (x ), βi (x ) 是2n+1次多项式 对于αi (x ), βi (x ) 应满足：

⎧α(x ) =1

i i ⎪⎪

⎨αi (x j ) =0⎪' ⎪⎩αi (x j ) =0

j ≠i

⎧βi (x j ) =0⎪'

⎨βi (x i ) =1⎪'

⎩βi (x j ) =0

j ≠i

设αi (x ) =(a 1x +b 1) l i 2(x ) 则：

2

⎧⎪αi (x i ) =(a 1x i +b 1) l i (x i ) =a 1x i +b 1=1

⎨' 2' '

⎪⎩αi (x i ) =a 1l i (x i ) +(a 1x i +b 1) ⋅2l i (x i ) =a 1+2l i (x i ) =0

解之得：

' ⎧⎪a 1=-2l i (x i ) ⎨' ⎪⎩b 1=1+2x i l i (x i )

代入得：

αi (x ) =[1-2(x -x i ) l i ' (x i )]l i 2(x )

设βi (x ) =(a 2x +b 2) l i 2(x ) 则：

2⎧⎪βi (x i ) =l i (x i )(a 2x i +b 2) =a 2x i +b 2=0⎨' ' 2⎪⎩βi (x i ) =2l i (x i ) l i (x i )(a 2x i +b 2) +a 2l i (x i ) =a 2=1

解之得：

⎧a 2=1⎨

⎩b 2=-x i

代入得：

βi (x ) =(x -x i ) l i 2(x )

例： 解：设H 2(x ) =a 0+a 1x +a 2x 2

'

则H 2(x ) =a 1+2a 2x

由插值条件可得：

⎧a 0+a 1+a 2=2⎧a 0=10⎪⎪

⎨a 0+2a 1+4a 2=4⇒⎨a 1=-13⎪a +2a =-3⎪a =5

2⎩1⎩2

2

H (x ) =10-13x +5x 2 即：

余项为：

f (3) (ξ)

f (x ) -H 2(x ) =(x -1) 2(x -2)

3!

证明：令

g (t ) =H 2(t ) +

f (x ) -H 2(x )

⋅(t -1) 2(t -2) 2

(x -1) (x -2)

可验证当t=1,2 , x时，g(t)=f(t) 当t=2 时，g ’(t)=f’(t) 所以存在ξ，使f (ξ) =g (ξ)

3

3

因此：

f 3(ξ) =g 3(ξ) =

整理得：

f (x ) -H 2(x )

⋅3! 2

(x -1) (x -2)

f (3) (ξ)

f (x ) -H 2(x ) =(x -1) 2(x -2)

3!

3.6 三次样条插值

一、三次样条函数

定义：设a =x 0

1、S (x ) ∈C 2[a , b ]。

2、在子区间[x k , x k +1]上是三次多项式，则称S(x)为三次样条函数。

3、若对于给定函数f(x)有S (x i ) =f (x i ), i =0, 1, , n ，则称S(x)为三次样条插值函数。 二、三次样条插值多项式

设

⎧S 0(x ) ⎪S (x ) ⎪S (x ) =⎨1

⎪ ⎪⎩S n -1(x )

x 0≤x ≤x 1x 1≤x ≤x 2x n -1≤x ≤x n

其中S k (x ) 在区间[x k , x k +1]应满足 1、S (x j ) =y j

2、S (x j -0) =S (x j +0) 3、S '(x j -0) =S '(x j +0) 4、S ''(x j -0) =S ''(x j +0) 边界条件 1、S '(x 0) =f 0'2、S ''(x 0) =f 0''

S '(x n ) =f n ' S (x n ) =f n ''

S '(x 0+0) =S '(x n -0)

S '(x 0+0) =S '(x n -0)

3、S (x 0+0) =S (x n -0)

5.7 曲线拟合的最小二乘法

一、 主要问题

已知N 个数据点(x i , y i )(i =1, 2, , N ) 构造一个多项式近似代替复杂函数，该构造函数要能较好的反映这N 个数据点的趋势。 二、一次拟合

设所构造的一次函数为y =a +bx ，则每个数据点与拟合曲线的偏差为：

e i =a +bx i -y i

偏差的大小是衡量拟合直线好坏的重要标志，一般有以下三种方法：

(1) (2) (3)

max e i =min

i

∑e

i

i

=min =min

∑e

i

2i

(1)和(2)式中含有绝对值运算，不便于计算，通常采用(3)式。 令

Q (a , b ) =∑e =∑[a +bx i -y i ]2

2i i =1

i =1

N N

即确定a,b 取何值时，Q(a,b)值最小。因此a,b 应满足：

⎧∂Q

=0⎪⎪∂a ⎨

⎪∂Q =0⎪⎩∂b

⎧∂Q N

⎪∂a =∑(a +bx i -y i ) =0⎪i =1

⎨N

⎪∂Q =(a +bx -y ) ⋅x =0

∑i i i

⎪⎩∂b i =1

由此可得法方程：

N N ⎧

⎪Na +b ∑x i =∑y i

⎧a =? ⎪i =1i =1

⇒⎨N ⎨N N

⎩b =? ⎪a x +b x 2=x y

∑i ∑∑i i i ⎪i =1i =1⎩i =1

例：用最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式，使与下列数据相拟合：

x y

-1 0

0 2

1 6

3 8

解：N =4，x i =3，y i =16，x i =11，x i y i =30

i =1

i =1

i =1

i =1

∑

4

∑

4

∑

4

2

∑

4

故⎨

⎧4a +3b =16

⎩3a +11b =30

86⎧a ==2. 4571⎪⎪35

解得⎨

⎪b =72=2. 0571⎪35⎩

即经验直线为g(x)＝2.4571+2.0571x

三、m 次拟合

设所构造的函数为：

y =a 0+a 1x +a 2x 2+... +a m x m

对于N 个数据点每个数据点与拟合曲线的偏差为：

e i =a 0+a 1x i +a 2x i 2+... +a m x i m -y i

令：

Q (a 0, a 1, , a m ) =∑e =∑(a 0+a 1x i +a 2x i 2+ a m x i m -y i ) 2

2i i =1

i =1

N N

即确定a 0, a 1, , a m 取何值时，Q (a 0, a 1, , a m ) 值最小。因此a 0, a 1, , a m 应满足：

⎧∂Q ⎪∂a =0⎪0⎪∂Q

=0⎪∂a ⎨1⎪ ⎪⎪∂Q ⎪∂a =0⎩m

由此可得法方程：

N N N

⎧m

⎪a 0N +a 1∑x i + +a m ∑x i =∑y i

i =1i =1i =1

⎪⎧a 0=? N N N ⎪N ⎪a =? m +1

⎪a 0∑x i +a 1∑x i + +a m ∑x i =∑x i y i ⎪1

⇒⎨i =1⎨i =1i =1i =1

⎪⎪ ⎪⎪⎩a m =? N N N N ⎪m m +12m m a x +a x + +a x =x y i ∑∑∑∑0i 1i m i i ⎪

i =1i =1i =1⎩i =1

例：求下列矛盾方程组的最小二乘解。

⎧x 1+x 2=4⎪

⎨x 1+2x 2=7

⎪x -x =2⎩12

解： 令

⎧u 1=x 1+x 2-4⎪

⎨u 2=x 1+2x 2-7

⎪u =x -x -2

12⎩3

22

ϕ（x 1, x 2）=u 12+u 2+u 3

=(x 1+x 2-4) 2+(x 1+2x 2-7) 2+(x 1-x 2-2) 2

⎧∂ϕ

=2(3x 1+2x 2-13) =0⎪⎪∂x

由 ⎨1

∂ϕ⎪=2(2x 1+6x 2-16) =0⎪∂x ⎩2

⎧3x 1+2x 2=13得法方程组 ⎨

2x +6x =162⎩1

解得 x 1=

2311 x 2= 77

[小结]

通过本章的学习，应掌握

1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性； 2、拉格郎日插值法及余项； 3、埃特金逐步插值法的构造；

4、差商的定义、性质，牛顿插值法及余项； 5、分段插值；

6、埃尔米特插值法及余项； 7、曲线拟合的最小二乘法。