几种桩基计算方法的比较分析
第35卷第24期 Vol. 35No. 24山西建筑
2009年8月Aug. 2009SHANXI ARCHITECTURE 文章编号:100926825(2009) 2420119203
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几种桩基计算方法的比较分析
徐 锋
摘 要:选取了几种具有代表性的桩基分析方法, 分别是Poulos 边界积分法、Randolph 方法、Poulos 2Randolph 综合法、Butterfield 边界单元方法、Chow 混合方法、W. Y. Shen 变分方法和改进变分方法, , 力求从方法本质和原理上, 。关键词:单桩, 群桩, 分析方法, 弹性理论中图分类号:TU473. 1 桩基分析中单桩分析是基础, 单元方法[1]、Poulos [][3]法、Poulos 2Randolph 、[5]、W. Y. Shen
[6][7变分方法。, 分别编制了相应的程序, 明上述这些桩基分析方法的差别, 从而从量值上更好地掌握这些方法的不同点。
p j ; p j 为荷载大小; ρ单k 为第k 根桩仅自; p k 为第k 根桩桩身荷载。
具体求解中需要附加方程:ρi =ρj (刚性桩帽) , 或者p i =p g /n (柔性桩帽) , 其中, n 为桩群中桩的数量。
2 R andolph 桩基分析方法
Randolph (1978年) 认为竖向受荷单桩的桩身位移与桩端位
移存在以下关系[3]:
w (z ) =w b cos h[μ(L -z ) ]
(6)
1 Poulos 相互作用系数法
Poulos 积分方程法中, 竖向荷载作用下单桩分析中土体的位
移方程为[2]:
[s ]=
ρ
ρ
其中, w (z ) 为深度z 处的桩身位移; w b 为桩端位移; L 为桩长; z 为深度变量; μ由以下四式确定:
(7) r m =2. 5ρL (1-v )
ζ=ln (r m /r 0) λ=E p /G s
2
(μλ) ](L /r 0) 2L ) =[2/(ζ
I
[s ]×[τ]E s
I
(1)
(8) (9) (10)
其中, [s ]为土体位移列阵; [s ]为土体位移柔度矩阵; [τ]为桩周摩阻力; d 为桩径; E s 为土体弹性模量。
对于桩身的微分方程进行等间距(桩身部分) 和不等间距(桩端处) 的差分运算, 可得到下式:
24δ
其中, d 为桩径; δ为桩身单元长度; E p 为桩的弹性模量; R A
其中, ρ为桩身中部土体与桩端土体的剪切模量比值; v 为土体泊松比; r 0为桩半径; E p 为桩的弹性模量; G s 为土体剪切模量。
[τ]=
E p R A [p I ]×[p ]+[Y ]
ρ
(2)
3 Poulos 2R andolph 综合分析方法
根据Poulos 方法中确定的土体位移柔度矩阵(式(1) ) 和Ran 2dolph 方法中桩身位移与桩端位移的关系式(式(6) ) , 并应用桩土位移协调关系式, 将式(6) 代入式(1) 可形成下面的表达式[4]:
β1w b
S 1, 1S 1, 2…S 1, (n +1)
β2w b
…………[τ]…=(n +1) ×1S (n +1) , 1S (n +1) , 2…S (n +1) , (n +1)
βw n +1b
λλλ…12(n +1) ()
(n +2) ×1
ρ
为面积率;[p I ]为桩身系数矩阵; [p ]为桩身位移; [τ]为桩侧剪应力;[Y ]为与桩顶荷载相关的列阵, 具体表达式可见参考文献[2]。
根据土体和桩身的位移协调条件, 由式(1) 和式(2) 可得出下式[2]:
[τ]=
[I ]-
4
d
2
2
E R I I
[p ][s ]E s
-1
×[Y ](3)
p
n +2×n +1
(11)
其中,[I ]为单位矩阵; n 为桩身划分单元的数目; L 为桩长; 其他符号意义同前。
通过式(3) 可求得桩身的剪应力分布, 进而由式(1) 可求出土体(或桩身) 的位移。
相互作用系数的定义:
α(4) ij =
j 桩自身荷载产生的沉降值
对应于群桩计算中, 可以得出第k 根桩的沉降和各桩桩顶荷载间的关系表达式:
ρk =
j =1, j ≠k
其中,[β]为系数矩阵, βi =cos h[μ(L -z i ) ], i =1, 2, …, n +
1, L 为桩长, z i 为桩单元中心点的纵坐标; n 为桩体划分单元的数目; w b 为桩端位移; p 为桩顶荷载; [S ]为土体位移柔度矩阵; [τ];[λ]为系数矩阵; 矩阵中各项为:
λπr 0L i , i =1, 2, …, n i =2
(12) 2
λr 0n +1=π
其中, r 0为桩半径; L i 为桩单元的长度。
4 改进变分分析方法
根据变分原理, 任意群桩基础的总势能为:
n p
∑(αρ单p )
kj
j j
n
+ρ单k p k (5)
ρ其中, k 为第k 根桩的沉降; αkj 为相互作用系数; ρ单j 为第j 根
收稿日期:2009203228
πp
=
i =1
∑
2
∫∫
V
E p
92
d v +
2
∫
S
{τ}{w }d s +
T
作者简介:徐 锋(19772) , 男, 工程师, 上海龙湖置业发展有限公司, 上海 200336
・120・
2{σ}∫
A
第35卷第24期
山2009年8月
西
(13)
建筑
T
{w b }d A -{w t }{p t }
T
其中, n p 为群桩中桩的数量; v 为单桩的体积; s 为单桩的桩
侧表面积; A 为桩的横截面面积; E p 为桩体的弹性模量;{τ}为群
T 桩桩土界面深度z 处剪切应力矩阵, {τ}={τ1, τ2, …, τnp }; {w }
为桩体深度z 处的位移矩阵, {w }={w b 1, w b 2, …, w np }T ; {σ}为
T 桩端处应力矩阵, {σ}={σ1, σ2, …, σnp }; {w b }
为桩端处位移矩
采用一均匀土体中3×3群桩基础作为实例, 桩间距s =5r 0,
其中, r 0为桩半径, 土体泊松比为0. 5。采用了Butterfield 边界单元法、Poulos 相互作用系数方法、Randolph 剪切位移法、Chow 混合方法和Shen 基于幂函数级数的变分方法、改进变分分析方法等群桩分析方法进行了计算。为了表达的方便将群桩中各桩进行编号, 角点处桩为1号, 各边中点处桩为2号, 中心点处桩为3号。当群桩中各桩采用刚性桩时, 随着桩长径比的变化,1号桩和
3号桩等效刚度
p 3, 图4所示。当群桩中G s r 0w t
阵, {w b }={w b 1, w b 2, …, w bnp }T ; {p
t }为桩顶处的外荷载矩阵,
{p t }={p t 1, p t 2, …, p tnp }T ; {w t }为桩顶处的位移矩阵, {w t }={w t 1, w t 2, …, w tnp }。
T
, λE p /s 6000, 随着桩长径比的变3的变化分别如图5, 图6所示。G s r 0w t
s r 0w (z ) G s r 0w (z )
式(13) 中第一项表示群桩的弹性应变能, 第二项表示桩侧摩阻力做的功, 第三项表示桩端阻力做的功, 根据桩土的位移协调条件, 式(13) 中{τ}w 和{(年) 的分析结果[3], (14) {[k ]{(15) {}=[k b ]{w b }其中,[k ]为深度z 处桩周土的刚度矩阵;[k b ]为桩端土的刚
度矩阵。
由式(14) 和式(15) , 式(13) 可表示为:
n p
πp =
2
i =1
∑
T
2
∫∫
V
E p
9z
2
d v +
T
2
{w }∫
S
T
[k ]{w }d s +
∫
A
{w b }[k b ]{w b }d A -{w t }{p t }(16)
对于弹性平衡系统, 根据最小势能原理有以下关系成立:
δπp =0(17)
5 其他分析方法
其他分析方法在此不再赘述, 其中Butterfield 边界单元方法
可参见文献[1];Chow 混合方法可参见文献[5]; W. Y. Shen 变分方法可参见文献[6]。
6 单桩分析
首先进行单桩分析结果的比较。选取的单桩示例如表1所示。单桩的桩周剪应力分布情况见图1。单桩的桩身位移分布情况见图2。
表1 单桩分析计算参数表
参量
桩长L /m 桩径d /m 土体泊松比v
数值大小
2510. 5
参量
柔性桩弹性模量E p /MPa 刚性桩弹性模量E /MPa 土体弹性模量E s /MPa
数值大小100100002
πdL τ(z ) /p πdL τ(z ) /p
8 结语
7 群桩分析
通过比较分析,Poulos 2Randolph 综合方法的计算精度与Pou 2
los 积分方程法相近, 且优于Randolph 方法, 但是计算复杂程度要高于Randolph 方法。从本质上看它避免了Poulos 积分方程中的
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阶梯式条形基础基底反力计算
杨 敏 袁巧丽 倪福全
摘 要:通过对刚体理论下地基反力计算方法的分析研究, 在合理基本假定的基础上, 利用瞬时转动中心法推导给出了条形基础的竖直基底反力和水平基底反力的计算公式, 。关键词:基底反力, 阶梯式基础, 转动中心, 计算方法中图分类号:TU413. 610 引言
在各种水工建筑物的稳定分析中, 要内容, 。为了较精确的, 使设计既可靠又经济, 近年来对特殊形式基础底面的基底反力的试验研究和理论分析越来越多。根据工程经验可知, 当基础不太大, 而荷载也较小时, 基底压力的分布将近似地按直线变化, 且对沉降计算所引起的误差是允许的, 这也是工程中经常采用的简化的计算方法[1]。
1这种算法计算简单, 在一些小型工程中常被使用。但阶梯式基础的地基反力分布较为复杂, 特别是基础平面高差超过2m 时, 其计算结果经验证是不准确的。本文在假定地基反力呈直线分布的基础上, 选用刚体力学的瞬时转动中心法, 给出了条形基础的基底反力的计算公式, 以便给水利工程条形基础基底反力的计算提供方便和借鉴。
1 投影平面法
关于特殊形式基础地基反力的计算一般都按照简化的投影
2 瞬时转动中心法
差分运算以及由此带来的矩阵运算, 同时比Randolph 方法更能准确模拟桩身剪切应力的分布
, 而且该分析方法中不再需要桩身单元的等间距划分, 单元长度可以不同。
群桩分析表明改进变分分析方法与Randolph 剪切位移法和Shen 基于幂函数级数的变分方法的结果较为一致, 其他各种方法尽管趋势相同但是量值上仍显差异。参考文献:
[1] R. Butterfield ,P. K. Banerjee. The elastic analysis of compressible
piles and pile groups[J].G eotechnique ,1971,21(1) :43260. [2] H. G. Poulos , E. H. Davis. Pile foundation analysis and design
[M ].John Wiley and S ons ,New Y ork ,1980. [3] M. F. Randolph ,C. P. Wroth. An analysis of the vertical defor 2
mation of pile groups[J].G eotechnique ,1979,29(4) :4232439. [4] 王 伟, 杨 敏. 竖向荷载下桩基础弹性分析的改进计算方
法[J].岩土力学,2006,125(8) :140321407.
[5] Y. K. Chow. Analysis of vertically loaded pile groups[J].Inter 2
national journal for numerical and analytical methods in geome 2chanics ,1986(10) :59272.
[6] W. Y. Shen , Y. K. Chow , K. Y. Y ong. A variational approach
for vertical deformation analysis of pile group [J].International journal for numerical and analytical methods in geomechanics , 1997(21) :7412752.
[7] 王 伟, 杨 敏. 基于变分原理的群桩位移计算方法[J].岩
土工程学报,2005,27(9) :107221076.
Comparison bet w een several calculating methods of pile foundation
XU Feng
Abstract :The paper chooses 8kinds of representative analyzing methods of pile foundation , they are Poulos boundary integral method , Ran 2dolph method , Poulos Randolph method , Butterfield boundary element method , Chow mixing method , W. Y. Shen variational method , im 2proved variational method , through establishing relative calculating procedure , the paper try to compare several calculating methods from as 2pects of method base and principle as well as calculating results. K ey w ords :single pile , group pile , analyzing method , flexible theory
收稿日期:2009204213
作者简介:杨 敏(19802) , 女, 助教, 四川农业大学信息与工程技术学院, 四川雅安 625014
袁巧丽(19792) , 女, 讲师, 黄河水利职业技术学院, 河南开封 475001
倪福全(19652) , 男, 副教授, 四川农业大学信息与工程技术学院, 四川雅安 625014