非线性动力学-胡海岩
绪 论
一、系统及其分类[1]
系统主要因素:惯性元件、弹性元件(质量、弹簧)、阻尼元件。振动分类:
1. 按对系统的激励类型化分:
(1) 自由振动:初始激励后,不再受外激励。
(2) 受迫振动:外界控制激励。
(3) 自激振动:由自身控制激励(如龙洗、提琴弓弦等)。
(4) 参数(参激)振动:系统自身参数变化激发的振动(如秋千、船舶锚索的流激振动等)。
2. 按系统的响应类型化分:
(1) 确定性振动:响应是时间的确定性函数,根据周期性还可化分:
a. 简谐振动:正或余弦函数。
b.周期振动:可用谱分析展开为一系列可通约简谐振动叠加。
c. 概(准)周期振动:周期不可通约的简谐振动合成。
d.混沌振动:非周期、不发散(响应始终有限(有界))。
(2) 随机振动:响应为随机函数、用概率统计方法描述。
3.按系统的性质化分:
(1) 确定性和随机性系统;
(2) 离散系统(常微分方程描述)和连续系统(偏微分方程描述、无限自由度);
(3) 定常系统(常系数微分方程描述)和参变系统(变系数微分方程描述);
(4) 线性系统和非线性系统。
注:视问题而定,连续系统可缩聚为离散系统、微幅振动非线性系统可简化为线性系统。
二、非线性振动、非线性动力学研究回顾
1. 定性理论[1]
17世纪,惠更斯(C.Huygens)观察到大幅单摆运动的非等时性,以及两只频率接近时钟的同步现象。非线性振动研究于19世纪后期开始,其理论基础由庞加莱(H.Poincare)奠定。在1881-1886年间,发表了系列论文:
(1)讨论了二阶系统奇点的分类;(2)建立了极限环存在判据、引入了极限环概念;(3)定义了奇点和极限环的指数;(4)1883年研究了分叉问题。由此开辟了一个研究新方向:定性理论。
在稳定性方面的最早结果是:1788年拉格朗日(Lagrange)建立了保守系统平衡位置的稳定性判据。1879年开尔文(L.Kelvin)和泰特(P.G.Tait)考察了陀螺力和耗散力对保守系统稳定性的影响,并由切塔耶夫严格证明。1892年李雅普诺夫(A.M.Lyapunov)给出稳定性的严格定义,并提出了研究稳定性问题的直接方法。
国内谢绪凯、李俪在振动系统的稳定性方面进行了深入的研究。
2.定量方法
1830年泊松(S.D.Poisson)研究单摆时提出摄动法基本思想。1883年A.Lindstedt解决了摄动法久期项问题。1918年G.Duffing研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡法和逐次迭代法。1920年van der Pol研究了电子管振荡,提出慢变系数法基本思想。1934年克雷诺夫(H.H.Kleinov)和巴戈留博夫(H.H.Bagliubov)将上述慢变系数法发展为适用于一般弱非线性系统的平均法。1947年巴戈留博夫又提出求任意阶解的渐进法。1955年米特罗波尔斯基(U.A.M)将这种方法推广到非定常系统形成KBM法。1957年斯特罗克(P.A.Sturrock)在研究电等离子体非线性效应时提出了多尺度法。
在上述方法提出的同时,发现了一些新的振动现象。例如,1926年van der Pol研究了三级电子管回路的自激振动。1932年J.P.den Hartog利用自激振动分析输电线Galloping现象。1933年贝克(J.G.Baker)提出干摩擦会导致自激振动。
Poincare在上世纪末认识到不可积系统存在复杂运动(混沌)。1945年卡特莱特(M.L.Cartwright)和李特伍德(J.E.Littlewod)对受迫van der Pol振子及莱文森(N.Levinson)对一类更简化的模型分析表明:两个不同稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程,这说明运动具有不可预测性。为解释之,S.Smale提出著名的马蹄映射概念。1973年上田和林千博在研究Duffing方程时得到一种混乱、貌似随机且对初始条件极端敏感的数值解。
50年代,航空航天工程使确定性模型无法处理含随机因素的大量工程问题,如大气湍流引起的飞机颤振、火箭运载工具有效负载的可靠性等,由此形成随机振动。70年代以来非线性随机振动尤受重视。
近20年来,各种现代数学理论(从60年代起,微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析、群论、符号代数与定理机器证明等)为非线性研究提供了强有力的工具。
3. 分叉理论方法[2]
对于含参数的系统,当参数变化并经过某些临界值时,系统的定性性态(如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等)会发生突然变化,这种变化称为分叉。
分叉是重要非线性现象,与其它非线性现象(如混沌、突变、分形、拟序结构等)紧密相关。主要研究:(a)相空间中轨线的集合;(b)控制参数空间中分叉集的性态。分叉包括两类:(a)静态分叉:讨论平衡态数目和稳定性的变化,常见有:极限点分叉(鞍结分叉)、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等;(b)动态分叉:讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化,常见有:Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概(准)周期分叉(不变环面分叉)、同异宿轨线分叉等。
分叉问题起源于力学失稳现象的研究。18世纪中叶,D.Bernoulli和L.Euler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。1834年C.G.J.Jacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时,首次引进“分叉”术语。1885年,Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。1883年,O.Reynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象,从此开创了流动稳定性的研究。
本世纪20年代,van der Pol 和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。
分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化,且与失稳和混沌密切相关,是非线性动力学重要组成部分。主要应用于:非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。主要研究方法有:
(1) 奇异性方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类,首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类,再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态,随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理:静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。
对于高维问题,理论上可借助LS约化方法降维,然后再应用奇异性方法。该方法思想及经典作品参考: (a) Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988
又见:Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展,1989, 19(2):59-66
(b) Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985
(2) Poincar-Birkhoff规范形方法
如何求PB规范形方法:矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。
如何确定规范形与原方程系数关系:直接比较法、计算机代数方法等(目前无其它更好方法)。思想及经典作品参考:
(a) Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. Springer-Verlag, 1983
(b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71
(c) Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.
Springer-verlag, 1983
(3) 幂级数法
通过解的渐进展开,利用投影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于:静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考:
(a) Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999
(4) 摄动法
包括:平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等,应用于:周期或概周期领域。
(5) 次谐Melnikov方法
研究二维扰动Hamilton系统的m/n阶次谐周期分叉。
(6) 后继函数法和Shilnikov法
研究二维和高维系统的同宿分叉问题,此外还有隐函数定理、变分方法和拓扑度方法。见:
(a) Wiggins S. Global Bifurcation and Chaos: Analytical Methods. Springer-Verlag, 1988
(7) 数值方法
除摄动方法外,都属于定性研究。数值方法和模拟方法进行定量研究,特别是在确定分叉点位置、追踪分叉解等方面,数值方法是必要的。见:
(a) Kubicek M and Marker M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag,
1983
(b) 蔡大用,白峰杉. 现代科学计算. 北京:科学出版社,2000
(8) 群论方法
研究对称分叉问题。
4. 混沌现象
60年代后,Lorent吸引子、Henon吸引子、KAM定理、Arnold扩散(保守系统)的相继发现标志着混沌研究正式开端。打破了随机性和确定性之间不可逾越的分界性。主要包括以下内容:
(a) 产生混沌的机理和途径;
(b) 混沌的判据和统计特性;
(c) 奇怪吸引子和吸引域的几何结构;
(d) 混沌控制及其应用。
目前判断或预告混沌出现主要方法:
(a) 数值计算观察运动轨线和奇怪吸引子结构的不规则性;
(b) 连续功率谱出现;
(c) 利用Poincare映射将连续动力学系统离散化,若Poincare映射结果不是有限点集或简单闭曲线,混沌就可能
存在;
(d) 最大Lyapunov指数大于零是Chaos存在重要判据;
Lyapunov指数是运动对初值敏感程度的一个度量值,一般由数值计算得到,其个数等于相空间的维数,取其中最大的一个。
(e) 对于耗散系统,确定吸引子及其吸引域的边界维数有助于判断吸引子的“奇怪性”。具有分数维的吸引子及
其吸引域的边界出现是混沌的重要判据;
(f) 测度熵或拓扑熵是衡量系统信息量在运动过程中变化的量,若测度熵或拓扑熵大于零,则混沌出现。可以通
过数值方法计算熵;
(g) 若稳定流形和不稳定流形横截相交,则系统存在Smale意义下的混沌;
(h) 当KAM定理条件不满足时,KAM环面破裂将导致Chaos行为;
(i) 符号动力系统方法;
一种严格方法,可以通过数值计算实现(根据位移不变集的存在判断混沌行为),可成功应用于一维映射或某些常微分方程。
(j) 胞映射方法;
在动态分叉及混沌研究中是很有效的方法,但对于高维系统几乎困难。见:
(a) Hsu C S. Cell-to Cell Mapping: A Method of Global Analysis for Nonlinear System. Springer-Verlag, 1987 最好同时采用多种方法来判断是否出现混沌。
5. 通向混沌的道路
(a) 倍周期分叉;
(b) 准周期分叉;
包括:平衡—周期运动—准周期运动—混沌(即平衡态经过了三次Hopf分叉);准周期运动—锁频(周期)运动—Chaos。
(c) 阵发混沌道路;
时而规则,时而混乱的运动状态。
(d) KAM环面破裂是在Hamilton系统中产生混沌的重要途径;
(e) 其它道路;
注:需注意耗散系统和保守系统的明显差别:耗散系统的运动过程,其相体积收缩,最终运动往往在吸引子上,经常存在有分形结构的奇怪吸引子;保守系统相体积不变,不存在任何吸引子,其混沌与不可积性密切相关。
三、非线性动力学现状和问题
已有成果:
(1) 某些非线性系统的周期分叉、次(超)谐分叉和准周期分叉;
(2) 弹性结构的屈曲分叉(固体力学);
(3) Meknikov方法的应用及推广;
(4) 奇异性和规范形方法;
(5) 混沌控制;
(6) 在机车蛇行、机床颤振、航天动力学、化学反应、物理学等;
(7) 其它。
研究趋势:
(1) 研究各种非线性系统(参数激励系统、流固耦合系统、时滞系统、碰撞振动系统以及多自由度多频激励系统);
(2) 奇异性和规范形在高维耗散和保守系统中的应用,特别是退化和对称情形下规范形系数计算与普适开折问
题;
(3) 无限维动力系统;
(4) 随机非线性动力系统;
(5) 数值方法:高余维分叉、多功能图象动力学数值模拟、时间序列分析、全局分叉计算等。
(6) 一系列微机械导致的新型非线性动力学问题;
(7) 多柔体动力学问题;
(8) 其它。
参考文献
1.刘延柱,陈文良,陈立群. 振动力学. 北京:高等教育出版社,1998
2.陆启韶. 分叉与奇异性. 上海:上海科技教育出版社,1995
3.Yushu Chen and A.Y.T.Leung, Bifurcation and Chaos in Engineering, London: Springer-Verlag, 1998