空间位置关系的向量证法
空间位置关系的向量证法
A .直线与直线的平行
技法述要 向量法证明直线与直线平行的方法:若直线a 、b 的方向向量u 、v 共线,则a ∥b .
1
例 已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M 在线段AD 1上,且AM =AD 1,点N 在
3线段A 1B 上,且A 1N =λA 1B ,是否存在实数λ的值,使MN ∥DB 1?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
解:取点D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系D -xyz . 则A (3,0,0),D ,由A M =1(0,0,3)
1
3
1
,得点M (2,0,1) .A 1(3,0,3),B (3,3,0),由A 1N =λA 1B ,得点N (3,3λ,3-3λ) .所以MN =(1,3λ,2-3λ) .
1⎧⎧1=3k , k =, ⎪⎪⎪
因为MN ∥DB 1,DB 1=(3,3,3),所以存在实数k ,使MN =k DB 1,即⎨3λ=3k , ,解得⎨3
⎪λ=1. ⎪2-3λ=3k ,
⎩⎪3⎩
故存在实数λ=,使MN ∥DB 1.
注:本题还可引申出MN 实际上是异面直线AD 1,AB 的公垂线段(请思考为什么),并请留心两端点所在位置. 1
1
3
B .直线与平面的平行
技法述要 向量法证明直线与平面平行的方法有以下三种方法:
(1)若直线的方向向量v 与平面内的某一向量AB 共线,且直线在平面外,则线面平行. (2)若直线的方向向量v 与平面的法向量n 垂直,且直线在平面外,则线面平行.
(3)若直线的方向向量v 与平面内的两个不共线的向量a ,b 共面(即v =x a +y b ),且直线不在平面内,则线面平行.
例 已知在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =1,AA 1=2, 点E 是CC 1的中点.证明:AC 1∥平面BDE .
证法一(直线的方向向量与平面内的某一向量共线):设BD AC =O ,则O 为AC 中点. 因为E 为CC 1中点,所以AC 1=CC 1-CA =2CE -2CO =2OE ,即AC 1∥OE .
因为AC 1⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,所以AC 1∥平面BDE . 另解:用坐标法证明直线的方向向量与平面内的某一向量共线,略.
证法二(直线的方向向量与平面内的法向量垂直):以C 为原点,以CD 为x 轴,
CB 为y 轴,CC 1为z 轴建立空间直角坐标系C -xyz .依题意可得C (0,0,0),B (0,1,0) ,
C 1
A 1E
D (1,0,0) ,A (1,1,0) ,E (0,0,1) ,C 1(0,0,2).所以AC 1=(-1, -1,2) ,BD =(1,-1,0) ,DE =(-1,0,1) .
设平面BDE 的法向量为n =(x , y , z ) ,则n ⋅BD =x -y =0,n ⋅D E =-x +1=0,解得x =1,y =1,故平面BDE 的法向量n =(1,1,1) . 又AC 1⋅n =(-1, -1,2) ⋅(1,1,1)=-1-1+2=0,所以AC 1⊥n ,即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直,又AC 1不在平面BDE 内,故AC 1∥平面BDE .
证法三(用平面内的两个不共线向量的线性组合来表示直线的方向向量):. 注:(1)能够准确地求出平面的法向量坐标,是一项基本的技能与要求.
(2)一个十分有用的结论:若一平面的横、纵、竖截距分别是x 0,y 0,z 0,且都不为零,则(能够减少计算量,并能保证结果的准确性.
111
, , ) 必为其一个法向量.该结论x 0y 0z 0
自主体验 1.(2013浙江理,20)如图,在四面体A -BCD 中,AD ⊥平面
BCD , BC ⊥CD ,AD =2,BD =.M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,
B
M
点Q
在线段AC 上,且AQ =3QC . 证明:PQ ∥平面BCD .
14
D
证法一(综合法):取BD 的中点O ,在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连结OP ,OF ,FQ . 因为AQ =3QC ,所以QF ∥AD ,且Q F =C
.因为O ,P 分别为BD ,BM 的中点,所以OP 是△BDM 的中位线,所以OP ∥DM ,
且OP =DM .
1
2
又点M 为AD 的中点,所以OP ∥AD ,且O P =1
4
.从而OP ∥FQ ,且O P F Q =,所以四边形OPQF 为平行四边形,故PQ ∥OF .又
PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .
证法二(坐标法):取点C 为坐标原点,CD ,CB 分别为x 轴,y 轴,建立空间直角坐标系C -xyz . 则C (0,0,0),设CD =a ,则A (a ,0,2) ,CA =(a ,0,2) ,由CQ =CA =(,0, ) ,得Q (,0, ) 在Rt △BCD 中,BC B ,CB =. 由M (a ,0,1) ,及P 点为BM 中点,得P (1
4
14
a 2
1a ,所以QP =(, 241
4a 412a 412
又CD =(a ,0,0) ,QP =CB +CD ,所以QP ,CB ,CD 共面,又CB ⊂平面BCD ,
CD ⊂平面BCD ,PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .
证法三(坐标法):取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在射线为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz . 由题意知A ,B (0,,D .设点C 的坐标为(x 0, y 0,0) .因为AQ =3QC ,所以Q (x 03
4
31
y 0, ) .因为点M 为42
331
y 0,0) .又平面BCD 的一个法向量为u =(0,0,1) ,AD 的中点,所以M .又P 为BM 的中点,所以P (0,0,,所以PQ =(x 0442
故PQ ⋅u =0.又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .
C .平面与平面的平行
技法述要 A.向量法证明平面与平面平行的方法有以下三种方法:
(1)若平面α的内有两个不共线向量分别与平面β内两不共线向量共线,则α∥β. (2)若平面α、β的法向量m 、n 共线,则α∥β. (3)若平面α的法向量m 垂直于平面β,则α∥β.
例1 平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G 分别是A 1D 1, DD 1,D 1C 1的中点,请选择适当的基底向量证明:
E A D 1G
1C 1
(1)EG ∥AC ;(2)平面EFG ∥平面AB 1C .
证明:(1)取AB =a ,AD =b ,AA 1=c 为一组基底,因为E ,F ,G 分别是AD ,DD 1, 11
11的中点,所以EG =ED 1+DG =(a +b ) ,AC =AB +BC =a +b ,所以EG =AC , DC 111
22
即EG ∥AC ,从而EG ∥AC .
(2)由(1)EG ∥AC ,同理可得EF ∥BC ,又EG BC ,所以平面EFG ∥平面AB 1C . 11=C 注:(1)对于建立直角坐标系比较困难的几何体,可以用基底向量的方法来判断其位置关系.
(2)证明两个平面平行也可以先求出这两个平面的法向量,然后证明两个法向量平行,就说明了这两个平面平行.
例2 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =90︒,BC =2,CC 1=4,点E 在线段BB 1
上,且EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,C 1B 1,C 1A 1的中点.求证:
(Ⅰ)平面A 1B 1D ⊥平面ABD ;(Ⅱ)平面RGF ∥平面ABD .
证明:以B 为坐标原点,BA ,BC ,BB 1所在直线分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系, 则B (0,0,0),D (0,2,2),B 1(0,0,4),E (0,0,3),F (0,1,4) .
设BA =a ,则A (a ,0,0) ,G (,1,4) ,A .(Ⅰ)因为BA =(a ,0,0) ,BD =(0,2,2), 1(a ,0,4)
B 1D =(0,2,-2) ,所以B 1D ⋅BA =0,B 1D ⋅BD =0.所以B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD ,
B 1A 1F
C 1
D
a 2
B A C
即B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD .又BA BD =B ,所以B 1D ⊥平面ABD . 因为B 1D ⊂平面AB ,所以平面AB 平面ABD . 11D 11D ⊥
(Ⅱ)因为EG =(,1,1) ,EF =(0,1,1),B 1D =(0,2,-2) ,所以B 1D ⋅EG =0,B 1D ⋅EF =0. 所以B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥EF ,即B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥EF .
a
2
因为EG EF =E ,所以B 1D ⊥平面EGF .又由(Ⅰ)知B 1D ⊥平面ABD ,所以平面EGF ⊥平面ABD .
D .直线与直线的垂直
技法述要 向量法证明直线与直线垂直的方法:若直线a 、b 的方向向量u 、v 垂直,则a ⊥b .
例 (2014辽宁理,19)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,
且AB =BC =BD =2, ∠ABC =∠DBC =30︒,E ,F 分别为AC , DC 的中点,求证:EF ⊥BC .
解法一(综合法):过E 作EO ⊥BC ,垂足为O ,连OF .由△ABC ≌△DBC 可 证出△EOC ≌△FOC .所以∠EOC =∠FOC =
A E
π
2
,即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ,
B F
D C
因此BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ,所以EF ⊥BC .
解法二(坐标法):依题意,以B 为坐标原点,在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴,
BC 所在直线为y 轴,在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系.易得B (0,0,0),A (0,-,D 1,0) ,
C (0,2,0),因而E (0,11,F ,0) ,所以EF =,BC =(0,2,0),因此EF ⋅BC =0.从而EF ⊥BC ,所以EF ⊥BC . 22自主体验 1.(2014天津理,17)如图,在四棱锥P -ABCD 中,⊥底 P PA
面ABCD , AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,
E
点E 为棱PC 的中点,证明:BE ⊥DC .
解法一(综合法):取PD 中点M ,连结EM ,AM .由于E ,M 分别为PC ,PD 的 中点,故EM ∥DC ,且EM =DC ,又由已知,可得EM ∥AB 且EM =AB , 故四边形ABEM 为平行四边形,所以BE ∥AM .
因为PA ⊥底面ABCD ,故PA ⊥CD ,而CD ⊥DA ,从而CD ⊥平面PAD ,因为AM ⊂平面PAD ,于是CD ⊥AM ,又BE ∥AM ,所以BE ⊥CD .
解法二(坐标法):依题意,以A 为坐标原点,直线AB 为x 轴,直线AD 为y 轴,直线AP 为z 轴,建立空间直角坐标系. 则A (0,0,0),B (1,0,0) ,D (0,2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),因而E (1,1,1) ,BE =(0,1,1),所以DC =(2,0,0),因此BE ⋅D C =0,即B E ⊥D C .从而BE ⊥DC .
1
2
2.(2014全国大纲卷理,19)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点A 1在 平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB =90︒,BC =1,AC =CC 1=2, 证明:AC 1⊥A 1B .
解法一(综合法):因为AD ,故平面AACC 平面ABC . ⊥平面ABC ,AD ⊂平面AAC 1111C 11⊥又BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面AAC .连接AC ,因为侧面AAC 为菱形,故AC 1⊥AC . 1111C 11C
由三垂线定理得AC 1⊥AB . 1
解法二(坐标法):以C 为原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB 的长为单位长,建立如图所示 的空间直角坐标系C -xyz ,由题设可知AD 与z 轴平行.z 轴在平面AAC 内. 111C
C 1B 1
A 1B
A 设A ,由题设有a ≤2,A (2,0,0),B (0,1,0) ,则AB =(-2,1,0) ,AC =(-2,0,0) ,AA 1=(a -2,0, c ) ,AC 1=AC +AA 1=(a -4,0, c ) ,1(a ,0, c )
B 1A =(a , -1, c ) .
由|AA 1|=
22,即a 2-4a +c 2=0.于是AC 1⋅BA 1=a 2-4a +c 2=0,所以AC 1⊥BA 1,即AC 1⊥BA . 1
3.(2013天津理,17)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A ⊥
底 面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,AD =DC =1,AA 1=AB =2,E 为棱 AA 1的中点,证明:B 1C 1⊥CE .
解法一(综合法):因为侧棱CC 1⊥底面ABC ,BC 平面ABC ,所以CC 1⊥BC . 11⊂11111D 1111D 1经计算可得B 1E B 1C 1EC 1B 1E 2=B 1C 12+EC 12,所以
B B 1
C D 1E A 1 1
在△B 1EC 1中,BC ,又CC 1,C 1E ⊂平面CC 1E ,CC 1C 1E =C 1,所以BC 平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ,所以BC . 11⊥C 1E 11⊥11⊥CE 解法二(坐标法):以点A 为原点,以射线AD 为x 轴的正半轴,射线AA 为y 轴的正半轴,射线AB 为z 轴的正半轴,建立空间直角1
坐标系A -xyz .
依题意得A (0,0,0),E (0,1,0) ,B 1(0,2,2),C 1(1,2,1) .所以B 1C 1=(1,0,-1) ,CE =(-1,1, -1) ,于是B 1C 1⋅CE =0,所以BC . 11⊥CE
E .直线与平面的垂直
技法述要 向量法证明直线与平面垂直的方法有以下三种方法: (1)若直线的方向向量v 与平面内的某一向量AB 垂直,则线面平行. (2)若直线的方向向量v 与平面的法向量n 共线,则线面垂直.
(3)若直线的方向向量v 与平面内的两个不共线的向量a ,b 垂直,则线面垂直.
例 (2013江西理,19)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平 面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,△DAB ≌△DCB ,
P
3
EA =EB =AB =1,PA =,连结CE 并延长交AD 于F ,
2
求证:AD ⊥平面CFG .
解法一(综合法):在△ABD 中,因为E 是BD 的中点,所以EA =EB =ED =1, 故∠BAD =
G
A F
D
B C
π
2
,∠ABE =∠AEB =
π
3
.因为△DAB ≌△DCB ,所以△EAB ≌△ECB ,
从而有∠FED =∠BEC =∠AEB =
π
3
,所以∠FED =∠FEA ,故E F ⊥A D ,AF =FD .因为PG =GD ,所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ,
所以GF ⊥AD ,故AD ⊥平面CFG .
解法二(坐标法):在△ABD 中,因为E 是BD 的中点,所以EA =EB =ED =1,故∠BAD =
π
2
,∠ABD =
π
3
,AD A 为坐
标原点,取射线AB 为x 轴正半轴,射线AD 为y 轴正半轴,射线AP 为z 轴正半轴,建立空间直角坐标系A -xyz .则A (0,0,0),B
(1,0,0) ,
1333
D ,P (0,0,) .由E ,G 分别为BD ,PD
中点知,E
(,G ) ,由∠CBx =60︒,BC =1,AB =1,
可知C (,
2422
所以AD =,CE =(-1,0,0) ,CG =(-,0, ) .因为AD ⋅CG =0,AD ⋅CE =0,所以AD ⊥CG ,AD ⊥CE ,又CG CE =C ,CG ,
CE ⊂平面CFG ,AD ⊥平面CFG .
3
234
自主体验 (2013陕西理,18)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1
D 1 ⊥平面ABCD , 的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,AO 1⊥平面BB 1D 1D . AB =AA 1AC 1
证法一(坐标法):由题设易知,OA ,OB ,OA 两两垂直,以O 为原点建 1
立空间直角坐标系,如图.因为AB =AA 1O A =O B =O A , 1=1所以A (1,0,0) ,B (0,1,0) ,C (-1,0,0) ,D (0,-1,0) ,A 1(0,0,1) .
D 1
C 1 A 1C
A 由A 1B 1=AB ,易得B 1(-1,1,1) .因为A 1C =(-1,0, -1) ,BD =(0,-2,0) ,BB 1=(-1,0,1) ,所以A 1C ⋅BD =0,A 1C ⋅BB 1=0,所以AC ,1⊥BD ,所以AC AC ⊥平面BB 1D 1D . 1⊥BB 11
证法二(综合法):因为AO .又底面ABCD 是正方形,所以BD ⊥AC ,所以BD ⊥平面AOC ,所以⊥平面ABCD ,所以AO 11⊥BD 1
.又OA 是AC 的中垂线,所以A 1A =A 1C AC =2,所以AC 2=AA 12+A 1C 2,所以△AAC 是直角三角形,所以AA . BD ⊥AC 1⊥AC 1111
又BB 1∥AA ,所以AC ,所以AC ⊥平面BB 1D 1D . 11⊥BB 11
F .平面与平面的垂直
技法述要 向量法证明平面与平面垂直的方法有以下三种方法: (1)若平面α、β的法向量m 、n 互相垂直,则α⊥β. (2)若平面α的法向量m 平行于平面β,则α⊥β.
例 (2015新课标全国卷Ⅰ理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120︒,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC .证明:
平面AEC ⊥平面AFC .
证法一(坐标法):连结BD ,设BD AC =G ,连接EG ,FG ,EF . 以G 为坐标原点,分别以G B ,GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,|GB |为单位长,
建立空间直角坐标系G -
xyz .则A (0,
,E
,F (-,
. E
F
A B
C
,所以AE =
,AC =
,CF =(-1, C
⎧1=0, ⎧n ⋅AC =0, ⎪⎪
设n =(x 1, y 1, z 1) 是平面ACE 的法向量,则⎨即⎨可取n
=(⎪⎩n
⋅AE =0, ⎪⎩
x 1=0.
(x ⎧⎪m ⋅CF =0, ⎧同理,设m =⎪
=0,
2, y 2, z 2) 是平面AFC 的法向量,则⎪⎩⎨m ⋅AC =0,
即⎪⎨
⎩-x 22=0. 可取m =.因为n ⋅m =0,所以平面AEC ⊥平面AFC ... 证法二(综合法):.....