高二含参不等式

4、分离变量法

高二年级数学含参不等式

一、含参不等式的解法——分类讨论思想 1. 由判别式△的符号引起的讨论

例1、解关于x 的不等式x +ax +1≤0 2. 由二次项的系数符号引起的讨论

例2、解关于x 的不等式（m +1) x 2-4x +1≤0（本题须二次分类，先讨论开口再讨论△） 3. 由根的大小引起的讨论

例3、解关于x 的不等式x 2-(a +a 2) x +a 3>0

2

例7、在∆ABC 中，已知f (B ) =4sin B sin (围。m ∈(1, 3]

2

π

4

+

B

) +cos 2B , 且|f (B ) -m |

例8、已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 在x =-

(Ⅰ) 求a , b 的值与函数f (x )的单调区间

2

与x =1时都取得极值 3

2⎫⎛⎛2⎫

f (x )的递增区间是 -∞, -⎪与(1, +∞), 递减区间是 -,1⎪

3⎭⎝⎝3⎭

(Ⅱ) 若对x ∈[-1,2]，不等式f (x )2

三、含参不等式----存在性问题求参

例9已知两个函数f (x ) =8x 2+16x -k ，g (x ) =2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数. (Ⅰ) 若对任意的x ∈[-3，3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，求k 的取值范围；k ≥45 (Ⅱ) 若对任意的x 1、x 2∈[-3，3]，都有f (x 1) ≤g (x 2) ，求k 的取值范围. k ≥141

(Ⅲ) 若对于任意x 1∈[-3,3], 总存在x 0∈[-3,3]使得g (x 0) =f (x 1) 成立，求k 的取值范围. 9≤k ≤13 (Ⅰ) 令F (x ) =g (x ) -f (x ) =2x 3-3x 2-12x +k ,

问题转化为F (x ) ≥0 在 x ∈[-3, 3]上恒成立, 为此只需F (x ) 在[-3, 3]上的最小值 F (x ) min ≥0即可

ax -1

>0

x 2-x -2a (x -1)

>1, (a ≠1) 练习2。解关于x 的不等式

x -2

牛刀小试：练习1. 解关于x 的不等式

二、含参不等式----恒成立问题求参

1、转换主元法：例1. 若不等式 2x －1>m(x2-1) 对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

-1+

2

7

1+2

2、化归二次函数法：

2

∵F ' (x ) =6x 2-6x -12=6(x 2-x -2) ,

例2、对于θ∈⎢0, ⎥，cos θ+2m sin θ-2m -2

⎣2⎦⎝2⎭

⎡π⎤⎛1⎫

由F ' (x ) =0, 得x =2 或 x =-1.

，F (3)=k -9，F (-1) =k +7，F (2)=k -20, ∵F (-3) =k -45

∴F (x ) min =k -45, 由k -45≥0, 解得 k ≥45. (Ⅱ) 由题意可知当x ∈[-3，3]时, 都有f (x ) max ≤g (x ) min . 由f ' (x ) =16x +16=0 得x =-1.

∵f (-3) =24-k ，f (-1) =-8-k , f (3) =120-k , ∴f (x ) max =-k +120.

' 2

由g (x ) =6x +10x +4=0得x =-1或x =-

2

例3、已知向量a =(x,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1) 上是增函数，求t 的取

值范围。t ≥5

例4、若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。m >-

3、数形结合法

例5、如果对任意实数x ，不等式x +≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是0 ≤k ≤1

1 2

2, 3

∵g (-3) =-21, g (3) =111 , g (-1) =-1, g (-) =-∴g (x ) min

228

,

327

=-21. 则120-k ≤-21, 解得k ≥141.

(Ⅲ) 若对于任意x 1∈[-3,3], 总存在x 0∈[-3,3]使得g (x 0) =f (x 1) 成立，等价于f (x )的值域是g (x )的值域的子集， 由(Ⅱ) 可知，

1

1⎡1⎫

例6、已知a>0且a ≠1, 当x ∈(-1，1) 时，不等式x -a

2⎣2⎭

2

x

f (x ) =8x 2+16x -k 在[-3,3]的值域为[-k -8, -k +120]， g (x ) =2x 3+5x 2+4x 在[-3,3]的值域为[-21,111]，

于是，[-k -8, -k +120]⊆[-21,111]，即满足

由（

3

, 函数f (x )在x ∈[0,4]的值域为⎡⎣-(2a +3)e , a +6⎤⎦,

又g (x )在x ∈[0,4]的值域为⎢a 2+

⎡

⎧-k -8≥-21,

解得9≤k ≤13。 ⎨

⎩-k +120≤111.

例10、设x =3是函数f (x ) =(x 2+ax +b ) e 3-x (x ∈R ) 的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ）；2a +b =-3第二题答案是0

2

⎣

存在ξ1, ξ2∈[0,4]使得f (ξ1) -g (ξ2)

容易证明, a +

25⎛225⎫4⎤

, a +⎪e ⎥, 4⎝4⎭⎦

3

2

25

>a +6. 4⎧⎛225⎫

3⎪ a +⎪-(a +6)

于是, ⎨⎝⇒0

2⎪a >0.

⎩

2

25x

（Ⅱ）设a >0，g (x ) =(a +) e , 若存在ξ1, ξ2∈[0,4]使得f (ξ1) -g (ξ2)

4

23-x

（Ⅰ）f '(x )=-⎡⎣x +(a -2) x +b -a ⎤⎦e ，

23-3

⎤3+3(a -2) +b -a e =0，则2a +b =-3. 由f '(3)=0，得-⎡⎣⎦

f (x )

-(2a+3) e 3

a+6

a 2+

25

4

g (x )

(a 2+

254

) e 4

x

于是

23-x 3-x

⎤f '(x )=-⎡x +(a -2) x -2a -3-a e =-x -3x +1+a e ()()⎣⎦

四、不等式的能成立, 恰成立和部分成立问题

例11、若关于x 的不等式x -ax -a >0的解集为(-∞, +∞) ，则实数a 的取值范围是x 的不等式x -ax -a ≤-3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是． （1） -4

例12、已知函数f (x )=ln x ，g (x )=

2

2

令f '(x )=0，得x 1=3, x 2=-1-a . ，由于x =3是极值点，所以有x +a +1≠0, 则a ≠-4.

当a 3=x 1，则在区间(-∞,3) 上，f '(x )

f '(x )>0，f (x )为增函数；在区间(-a -1, +∞) 上，f '(x )

当a >-4时，x 2

12

ax +bx ，a ≠0. 若b =2，且h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区2

f '(x )>0，f (x )为增函数；在区间(3,+∞) 上，f '(x )

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时, f (x )在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4) 上单调递减，那么f (x )在区间[0,4]上的值域是⎡⎣min (f (0),f (4)), f (3)⎤⎦

而f (0)=-(2a +3)e

3

-1

间，求a 的取值范围；(-1, 0) (0, +∞)

练习： 一、选择题

1. 已知方程|x |=ax +1有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是

A. a >-1 B. a=1 C. a≥1 D. a≤1

-1

>0, f (3)=a +6.

3

-2a +3e , a +6⎤那么f (x )在区间[0,4]上的值域是⎡()⎣⎦

如果函数f (x )在x ∈[0,4]的值域与g (x )在x ∈[0,4]的值域的交集非空，则一定存在ξ1, ξ2∈[0,4]使得f (ξ1) -g (ξ2)

这两个值域的距离的最小值小于1即可.

2

2. 设f (x ) 是函数f (x ) =

1x

(a -a -x )(a >1的反函数，则使f 2

a 2-1B .(-∞, )

2a D .[a , +∞)

-1

(x ) >1成立的x 的取值范围是

a 2-1A .(, +∞)

2a a 2-1C .(, a )

2a

3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y), 若不等式（x –a ）○×(x + a)

A . -1

13

32

D . -

2

2

4. 集合A ={x |x -1

x +1

B . 0

C . -3

D . -1≤b 1B . m ≥1C . m >2

D . m ≥2

6. 设f (x ) =⎧⎨3-x -a (x ≤0) (x -1)(x >0)

若f (x ) =x 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是

⎩f A .[1, 2]B .(-∞, 2) C .[1, +∞) D .(-∞, 1]

⎧ax +b x ∈(-1, 07. 已知f (x ) =⎪

]

⎨⎪x -b 其中a >0, ，b >0，若lim f (x ) 存在，且f (x ⎩x -a

x ∈(0, 1) x →0) 在（-1，1）上有最大

值，则b 的取值范围是

A . b >1B . 1

2

8. 已知函数f (x ) =log 1

a (-x 2+log 2a x ) 对x ∈(0, 2

) 都有意义，则a 的取值范围是

A .[11111128, 2) B .[64, 2]C .[32, 1112) D .(16, 2) 9. 若不等式(a -2) x 2

+2(a -2) x

10. 当x ∈(1, 2) 时，不等式（x -1) 2

C .(0, 1)

D .(1, 2]

二、填空题

11. 若对于任意实数m ，关于x 的方程log 2(ax 2+2x +1) -m =0恒有解。则实数a 的取值范围是12. 如果不等式x |x -a |

13. 设f (x ) 是定义在[-1，1]的奇函数又是增函数，且f (1) =1，若f (x ) ≤t 22at +1对所有x ∈[-1，1]，a ∈[-1，1]恒成立，则实数t 的取值范围是

14. 若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1) 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是三、解答题

. 已知函数f (x ) =x 2

15ax +b

(a 、b 为常数）且方程f (x ) -x +12=0有两实根x 1=3，x 2=4

（1）求函数f (x ) 的解析式；

（2）设k >1，解关于x 的不等式f （x ）

练习答案

一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D 二、11.[0, 1]12.(0, 2) 13. -111

2≤t ≤214. 0

15. 解(1) 将x x 1=3，x 2=4ax +b -x +12=0得：

⎧⎪9

⎪=-9⎨3a +b

⇒⎧a =-1⎪16⎨

⎪⎩4a +b

=-8⎩b =2f (x ) =x 2

所以 2-x

(x ≠2)

(k +1) x -k x 2(2) x 2

2-x

即(x -2)(x -1)(x -k ) >0

①当12时，解集为x ∈(1, 2) (2, +∞);

3