离散相似法仿真
实验名称：将传递函数为
1.实验原理
1 )离散相似法 16s 2s2的环节与单位反馈组成系统，将其离散化
所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理，从而得到等价的系统离散模型，此种方法按系统的动态结构图建立仿真模型。在计算过程中，按各典型环节离散相似模型，根据环节的输入来计算环节的输出。
2) 环节的离散化模型
将连续系统按下图所示对其进行离散化处理，在系统的输入、输出端加上虚拟采样开关，T为采样周期。为保证输入信号复现原信号，在输入端加上一个保持器。
使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：
3) 仿真算法实现过程
当给定连续系统的动态结构图后，将其等效为各典型环节的组合，按前面讨论的典型环节离散系数 表达式，经程序处理，事先将各环节的类型、参数、初始条件、各环节连接关系矩阵、输入输出连接矩阵等参量送入程序中，既可通过离散相似的模型求出在特定信号作用下，系统中各环节输出变量的变化情况，从而得到系统的仿真结果。
3.实验方案
1)连续系统的结构图
这是一个单位反馈的二阶系统。
2）引入采样开关将其离散
Zero-Order（零阶保持器）及采样开关对系统进行离散化，采用状态转移法进行离散化
3）将传递函数转化成状态方程并对其进行离散化
传递函数 G(s)=
2Y(s)U(s)=16s+2s+12 变形得6sY(s)+2sY(s)+Y(s)=U(s)
假设其为零状态响应取Laplace反变换得
6y''+2y''+y=u
将其转变成状态方程有
⎡-1
=⎢3x⎢1⎣1⎤-⎥ ⎡0⎤6x+⎢⎥u1⎦⎥⎣0⎦
y=[1 0]x
通过求矩阵指数及相关变化将状态方程离散化得
x (k+1)=Ax (k)+Bu(k)
y(k)=[10]u(k)
由于矩阵A ，B过于复杂，这里简写，详细表达式见后面程序
4.实验程序
1）由传递函数求状态方程
建立传递函数并转化为状态方程
clear
clc
A = tf2ss([1],[6 2 1]) %建立传递函数模型
%并转化为状态方程
运行结果：
2）将状态方程离散化
对应脚本程序：
A =[-1/3 -1/6;1 0] %
syms s t
B= [s 0;0 s] % SI
D = inv(B-A) %求逆矩阵
AI = ilaplace(D,s,t)%laplace变换 求A阵
BI = AI*[0 ;1]
BI =int(BI,'0','t') %积分求B阵
pretty(AI) %A 转化陈易读形式。
pretty(BI) %B
运行结果：（这里是离散后的A ,B 阵）
AI =
[ (cos((5^(1/2)*t)/6) - (5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/5)/exp(t/6)
-(5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6))；
(6*5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6))
(cos((5^(1/2)*t)/6) + (5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/5)/exp(t/6)]
BI=
[(6*5^(1/2)*(sin((5^(1/2)*t)/6)/6 + (5^(1/2)*cos((5^(1/2)*t)/6))/6))/(5*exp(t/6)) - 1；
(4*5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6)) - (2*cos((5^(1/2)*t)/6))/exp(t/6) + 2]
3)由离散后的状态仿真求响应，这里以阶跃相应为例（u = 10）
对应脚本程序：
clear %假设为零状态响应
clc
close
t = 0.1 %采样周期0.1s
A =[(cos((5^(1/2)*t)/6) - (5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/5)/exp(t/6)
(cos((5^(1/2)*t)/6) +
+ -(5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6)); (6*5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6)) (5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/5)/exp(t/6)] B = [1 - (6*5^(1/2)*(sin((5^(1/2)*t)/6)/6
(5^(1/2)*cos((5^(1/2)*t)/6))/6))/(5*exp(t/6));
(2*cos((5^(1/2)*t)/6))/exp(t/6) - (4*5^(1/2)*sin((5^(1/2)*t)/6))/(5*exp(t/6)) - 2]
y0 = 0 %初值
uN = 50
t = 0.1; %步长0.1
u =0:t:uN;
N = length(u);
x0 = [0;0] %零初始状态
dy = 0
uc = 10; %阶跃输入 u = 10
j = 1
yk = 0;
for j = 1:N
% xk = diffsubf(x0,1,t,A,B)
yk = [1 0]*x0;
xk =A*x0 +B*uc;
x0 = xk;
data(j) = yk(1);
end
for j = 1:N %与真实值比较
comparedata(j) =10 - (10*(cos((5^(1/2)*u(j))/6) (5^(1/2)*sin((5^(1/2)*u(j))/6))/5))/exp(u(j)/6);
end
plot(u,data,'r-',u,comparedata,'bO')
legend('相似法','解析法',4)
grid on
4）运行结果：
+
4.实验结果分析
在最终图像中，相似法与解析法所得结果完全重合，说明此次使用的相似离散法有很高的精度。
从响应曲线可以看出该系统在阶跃输入下超调量约为23%，调节时间约为25s。稳态精度较高。具有较好的稳定性。