实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明

实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明

07级数学教育一班

周端华

摘要：线性代数里有这样一个重要定理：“实n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充要条件是：A的一切主子式0。”该定理的条件的必要性容易证明，但对条件的充分性，很多有关的教科书或参考资料都作了几乎雷同的证明，本文提供一种新的证明方法，比已有的证明方法，思路自然，易于接受，便于理解。这对代数教学，无疑是有参考价值的，对拓广读者的思路会有帮助的

关键词：实n阶对称矩阵，正定矩阵，半正定矩阵，主子式，数学归纳法。 引言：大多数课本的证明中都要用到这样一个命题：“若K阶实对称矩阵

A

kk

的一切主子式

”(Ik是k阶单位矩阵。)要用到较0，则对任何正数，k阶矩阵IkAkk是正定矩阵。

多的预备知识．技巧性虽强，但思路欠自然 。尤其对初学线性代数的读者来说，很难捉摸其证法是如何想出来的。下面就让我们走进新的证明方法。

证明：对该定理的条件充分性用数学归纳法证明。当实对称矩阵A是l阶时，显然命题成立。假定实对称矩阵A是n阶时，命题成立，视A为n+1阶的情形：

设(aij)(m1)(n1)

1 如果a110，则必有a1iai10,i=2,3…,n+1,因为若有某个a1u0,(2≤u≤n+1),

则A 的一个2阶主子式

a11au1

a1uauu



0au1

a1uauu

a12u0，

0

0

其中1是n阶实对1

与条件矛盾。所以a1iai10，i2,3,,n1。即 0



称矩阵，它的一切主子式都是A的主子式，因此A 的一切主子式≥0。据归纳假设，知1是半正定矩阵。这时，显然A是半正定矩阵。

2

a11

如果a110，即a110，即a110，(由条件知) at

a B

其中a(12，13，，1,(n1))，B是实n阶对称矩阵，于是

1

1a11aa11t0Ian1

aIa11aa11

B0In0



 1tBa11aa

1t

记CBa11aa(C1j)nn是实n阶对称矩阵。即

11

1a11a110 aIa11A0In0In0C

（1）

我们证明C的一切主子式0，设C的任意一个k阶（1kn）主子式为Ckk,设

Ckk

Ci1i1



Ci2i1

Ciik1

Ci1i2Ci2i2Ciki2



Ci1ik

Ci2ik

Cikik

其中i1,i2,,ik是1,2,,n中某k个数组成的。

对C作适当的一系列的行交换，与相同的一系列的列交换，总可使Ckk置于左上角。即 有n阶交换矩阵(对In作一系列的列(或行)交换而得的矩阵)Q，使

Ckk

QCQF'



'

即有

FG

0CkkF'

0FG

（2）

a11

I0IaaIaa10

00Q0IA0In0Qn

0

111

111

其中G是(nk)阶实对称矩阵。

11

1a11a10101a11aQ

 00Q0QI0Inn

记a11aQ

1

(t1,t2,,tn)

则由（2）得

1(t1,t2,,tn)I00In0Q

''

a110

I0I(t1,t2,,tn)

A0Ckk

0Q0In0F'



（3）

0F G

1010

令H0QA0Q(hij)是(n1)阶实对称矩阵。



由以上引入Q(交换矩阵)的意义知．H是对A的后面n行n列进行相同的一系列的行的交

换与列的交换的结果。可知H与A的主子式一、一对应相等(所不同的，只不过是某些行、列相对交换位置，但不影响主子式的值。)故H的一切主子式0

（3）即

a11

1(t1,t2,,tn)1(t1,t2,,tn)H00InIn00



1(t1,t2,,tn)1(t1,t2,,tn)a11

IkIkH0由（4）得00

0000

_

H将H分快成HM'

0CkkF'

0

F （4）

G

0， （5） Ckk

_

M

其中H是H的顺序(k+1)阶主子阵，N是(nk)阶对称矩阵，N

M是(k1)(nk)矩阵。由（5）可得：

a11

0

1(t1,t2,,tk)_

H0

0Ik'CkkM00

'

1(t1,t2,,tk)

M0Ik N00

1(t1,t2,,tk)_1(t1,t2,,tk)

H0 （6）

I0Ikk

在（6）的两边去行列式的：

a11CkkH0

_

而a110，所以

Ckk0。

0是半正定矩阵。 C

即证明了C的一切主子式0，据归纳假设知C是半正定矩阵。

a11

显然T0



由(1)知A与T合同，故A是半正定矩阵，由1。与2。知A是(n+1)阶时，命题成立。归纳证毕。从而条件的充分性得证。

参考文献

[1] 张远达编，线性代数原理，上海教育出版社，1980年6月第1版

[2] 屠伯埙、徐诚洁、王棼编著．高等代数。上海科技出版社。1987年3月第1版。