"百钱百鸡问题" 和"百元百畜问题"方程解答比较
“百钱百鸡问题” 和“百元百畜问题”解答比较
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张丘建是我国南北朝时期著名的数学家，他于公元5-6世纪所著的《张丘建算经》是后世通称的算经十书之一。书中最后一个问题就是流传至今的“百钱百鸡”问题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？用现在的语言解解释就是：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱。现在用一百文钱买一百只鸡，问：一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？该问题之所以饮誉海内外，是因为它导致了三元不定方程组，而张丘建是世界上第一个给出一题多解的人，他解算“百钱百鸡”问题的方法也是当时世界上最简捷先进的。书中只有15个字的解法：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得”。
原来张丘建是这样解答的，设公鸡、母鸡、小鸡各有x 、y 、z 只，显然它们都是正整数，则根据题意，可得方程组
⎧x +y +z =100⎪ 先把x 看成常数，这样可得 1⎨5x +3y +z =100⎪3⎩
7⎧y =25-x ⎧y +z =100-x ⎪⎪⎪4解出⎨ 1⎨3y +z =100-5x ⎪z =75+3x ⎪3⎩⎪4⎩
为了得到整数解，令x=4t，可得一组解：
x=4t, y=25-7t, z=75+3t,
由于y=25-7t 中对t 的限制，t 只能取1，2，3三个值，可得三组解：
公鸡有4只，母鸡18只，小鸡78只；
公鸡有8只，母鸡11只，小鸡81只；
公鸡有12只，母鸡4只，小鸡84只。
从这个结果就可看出张丘建“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三”的解答奥妙。 无独有偶，瑞士著名数学家欧拉也曾研究过类似的问题。这是因为欧拉非常重视方程，他写的《代数学原理》有许多关于方程的重要论述。下面就是欧拉所出的一道“百元百畜”问题：某人用100元买了猪、山羊和绵羊共100只，其中猪
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羊1元一只，问各买了多少只？这个问题与“百钱百鸡问题”极为相似，但晚了一千多年。2
欧拉采用了“盲人法则”解答此题，这个“盲人法则”与张丘建解“百钱百鸡问题”的方法也很相似，现介绍如下：
设猪、山羊和绵羊的数目分别是x ，y ，z ，显然它们都是正整数，可得方程组：
⎧x +y +z =100⎧x +y +z =100⎪ 即⎨ 41⎨721x +8y +3z =600x +y +z =600⎩⎪32⎩2
把x 暂时看作常数移到符号右端，可得关于y 和z 的方程组：
⎧y +z =100-x (1) ⎨⎩8y +3z =600-21x (2)
18x 5
138×(1)-(2)得 5z=200+13x 即z=40+x 5(2)-3×(1)得 5y=300-18x 即y=60-
令x=5t,则x=5t, y=60-18t, z=40+13t,
由于y=60-18t中对t 的限制，t 只能取1，2，3三个值，可得三组解：
猪有5只，山羊有42只，绵羊53只；
猪有10只，山羊有24只，绵羊66只；
猪有15只，山羊有6只，绵羊79只。
怎么样？中外不定方程问题和对应的解答是不是有异曲同工之妙？
(全文约1100字)
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