椭圆双曲线抛物线

58数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第2,4期

椭圆、双曲线、抛物线

殷希群

(华中师大一附中,湖北　武汉　430064)

中图分类号:O123.3-44　　　　文献标识码:E　　　　文章编号:0488-7395(2001)2,4-0058-06

练　　习

　　选择题

1　过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦

(C)2x+3y-12=0.(Dx+2y-8=0.

6　,其长度为4,动点

|PA|-AB的中点,则

点的双曲线方程是

(A)(C)

2

(2

|1.　(B)7　椭圆

2

(　　)

3

2

--

2

2

2

=1.1.

)

9

2

-

2

2

1.=1.

的2(　　)

.　(C)2.　(D)3.2

2349

=1上一点M到焦点F1的距离为

259

(　　)2,N是MF1的中点,则|ON|等于

+

(A)2.　(B)4.　(C)8.　(D)

2

2

2

2　中心在原点,准线方程为x=±4,离心率为

椭圆方程是

(A)(C)

2

.2

4

2

+y2=1.+2

(B)

2

3

+

2

4

2

=1.=1.

43

=1.

(D)x2+

8　P为双曲线2-2=1上的任意一点,F1,F2

ab

(　　)为焦点,若∠F1PF2=θ,则S△FPF=

1

2

4

3　已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),

(A)b2ctg

θ

.2

(B)

absinθ.2

则k的值为

(A)1.(C)

3

.

(B)-1.(D)-3

65.

(　　)

(C)|b2-a2|・tg9　F1,F2是椭圆

2

θ22

.　(D)(a+b)sinθ.2

+y2=1的两个焦点,过F2作

2

4　以y=

2

2

x为渐近线,焦点在y轴上,且与圆x2

(　　)

2

倾斜角为

的弦AB,则△F1AB的面积为4

(　　)

+y=1相切的双曲线方程是(A)

2

4

2

-y2=1.2

(B)x2-(D)y-2

(A)

=1.=1.

(C)

.3-1.3

(B)(D)

.3.3

(　　)

22

(C)y-5　如果椭圆

42

=1.2

2

10　若抛物线y2=2px上横坐标为4的点到焦点的

+=1的弦被点(4,2)平分,那么

369

(　　)这条弦所在的直线方程是(A)x-2y=0.

(B)x+2y-4=0.

距离为5,则焦点到准线的距离为

(A)

.(B)1.2

(C)2.

(D)4.

11　抛物线y2=4x的焦点为F,准线l交x轴于

收稿日期:2000-09-06

),男,湖北嘉鱼人,华中师范大学一附中高级教师,学士.作者简介:殷希群(1962—

2001年第2,4期　　　　　　　　　　　　　数学通讯R,过抛物线上一点P(4,4),作PQ⊥l于Q.则

59

2

=1总有公共点,则m的取值范围是m

.

梯形PQRF的面积是

(A)12.　　　　(B)14.(C)16.

(D)18.

(　　)

21　椭圆

12　过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A

(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那

=1的焦点为F1,F2,点P为其上

94

的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标

+

2

2

的取值范围是解答题

.

么|AB|等于

(A)8.　(B)10.　(C)6.　(D)4.

(　　)

22　动圆过点A(2,0),且与圆C1:(x+2)2+y2=

22相切,求这动圆圆心的轨迹.23　已知定点A(-2,),点F为椭圆

=1

1612

的右焦点,点M在这个椭圆上运动,求|AM|+2|MF|的最小值,M的坐标.24　2

2

13　一个圆的圆心是椭圆的右焦点F2,且该圆过椭

圆的中心交椭圆于P点,直线PF1(F1是椭圆的左焦点)是圆的切线,则椭圆的离心率是

(　　)

+

(A)

.　(C).　(D).-1.　(B)222

2

14　过原点的直线l与双曲线

43

交点,则直线l的斜率的取值范围是(A)(-,).22

-

2

=-1有两个

()

分

(1的实线),灯

丝在焦点F2处,而且灯丝与反射镜的顶点

A的距离|F2A|=

图1　第24题图

(B)(-∞,-().,+∞2(C)[-,].22

1.5cm,椭圆的通径|BC|=5.4cm,为了使电影

(D)(-∞,-).]∪[,+∞

22

15　已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),

P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值

机片门获得最强的光线,灯泡应安在距片门多远的地方?

25　过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交

于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,过P和抛物线焦点F的直线为l2,l1的斜率为k,试将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间内它是增函数,还是减函数.

26　某工程要挖一个横断面为

是

(A)16.

(B)6.

(C)12.

(　　)

(D)9.

(　　)

16　抛物线y2=4x的经过焦点的弦的中点轨迹方

程是

(A)y2=x-1.(C)y2=x-.2

2

(B)y2=2(x-1).(D)y2=2x-1.

半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),PA=100米,PB=150米,∠APB=

60°,试说明怎样运土才能

图2　第26题图

填空题

17　若AB为经过抛物线y=4x焦点的弦,长为4,

O为坐标原点,则△AOB的面积等于

.

2

2

18　过双曲线

3

弦的长度为

-

4

=1的焦点且与x轴垂直的.

最省工.

27　设抛物线过定点A(0,2),且以x轴为准线,

1)求这抛物线顶点M的轨迹C;

,1)是否存在一对互相垂直2

的直线同时与轨迹C有公共点?请证明你的2)过定点B(-

19　渐近线为y=x,且过点P(1,2)的双曲线

4

方程是.20　直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆

2

5

+

60

结论.

数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第2,4期

坐标,代入二次曲线方程后相减.

2

2

28　从椭圆2+2=1(a>b>0)上一点M向x

ab

双曲线与椭圆有很多相似之处,但毕竟是不同的曲线,要多注意它们的区别:如第一定义中的“常数”各有什么要求?a,b,c的几何意义及相互间的等量关系有什么不同?离心率及准线到底各有什么特征?除此之外,双曲线还有渐近线,椭圆却没有.

抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛,例如:已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,

y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p,y1y2=-p,x1x2=

2

2

轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB平行于

OM.

1)求椭圆的离心率;

2)若Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点,求

∠F1QF2的取值范围.

3)Q为椭圆上的点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若△F1PQ的面积

为20,求此时椭圆的方程.

本单元回顾

本单元主要内容是椭圆、双曲线、抛物线的定义,椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,椭圆、双曲线、椭圆、双曲线有两种定义,泛应用,题的重要依据,焦半径”、“焦点弦”及“焦点三角形”、双曲线定义的用法.

抛物线的定义中的“到定点F和定直线l距离相等”揭示了抛物线的本质特征.实际上,根据椭圆和双曲线的第二定义及抛物线的定义可以给出圆锥曲线的统一定义.离心率的大小决定着曲线的类型与形状.

椭圆与双曲线均有两种形式的标准方程,这要注意识别与区分.抛物线有四种不同形式的标准方程,要熟悉这四种标准方程的联系与区别.对标准方程中的a,b,p等参数的意义以及焦点、准线的坐标与方程等都得熟悉并细心区别.根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程要能写出或用代数的方法求出曲线的几何量和几何性质.反过来,根据曲线的有关几何性质,要会用待定系数法转化为解方程组来求椭圆或双曲线或抛物线的方程.事实上,这是研究椭圆、双曲线与抛物线的两大主要问题.

至于直线与二次曲线的位置关系一般是由“判别式法”来判定.在高中我们主要研究“相交”情形.正是由于这种情形的“参与”而使得二次曲线问题综合性强、能力要求高.处理这种“情形”常用两种手法:1)联立方程组消元后用韦达定理;2)设出交点

为:

等.

4

除上面所述之外,“轨迹

问题”“,,参系数问题”等.在,随着后续内容的,会逐步巩固、深化和提高.

解　　答

1.解　方程4x2+9y2=36可化为

2

9

+

2

4

=1,

它的a=3,b=2,从而c=.设所求双曲线方程

2,解之得a2=2-2=1,2ab=12-2

ab

2

2

2

2

222a+b=()

3,b2=2,故选(A).

2.解　设所求椭圆方程为2+2=1,

ab

e==,

a2

由题意知2

=4.c

解之得:c=1,a=2,从而b=

4

3.解　双曲线方程为--2

2-12=.

∴所求椭圆方程为

2

+

2

3

=1.选(C).

k

+-2

k

=1,

∴c2=-

kk∴k=-1.故选(B).

+(-)=9,

评注　也可把k=1代入方程得焦点在x轴,排除(A).再将k=-1代入,得-x2+

+1=9,∴c=3,满足焦点(0,3).

4.解　∵以y=

x为渐近线,设双曲线方程2

2

8

=1,c2=8

2001年第2,4期　　　　　　　　　　　　　数学通讯61

|F1F2|・|y1-y2|=・222

为y2-即

2

4

=λ.代入x2+y2=1得1-x2-

2

4

=λ,

(x2,y2),∴S△FAB=1

2

x+λ-1=0.由双曲线与圆相切,Δ=-5(λ4

2

・(y1+y2)2-4y1y2=

-1)=0,∴λ=1,∴双曲线方程为y-(C).

2

4

=1.选

=.故选(D).+

933

10.解　由抛物线定义知,抛物线上的点到准线

的距离与到焦点的距离相等.

=5,∴p=2.选(C).

2

11.解　|PQ|=4+1=5,|RQ|=4,|FR|=

5.解　设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).则x2∴4+

36x2

+

y29y2

=1

,两式相减得:

()()

36

+2.∴S=

2

=14.选(B).

+=1369

(yy)(yy)

=0.又由已知得x1+x2=2・4=

98,y1+y2=2・2=4,代入其中可得

=-.

x1-x22

12.解　由抛物线定义,|AF|=x1+=x2+

2

,|BF|

2

,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

由y2=4x知p=2,∴|AB|2=8.选(A).

13.　2OP|=c,|F1F2|=2F2,,故P为切点,因

即弦所在直线的斜率为-,∴弦的方程为y-22

(x-4),即x+2y-8=0.选(D).=-2

评注　-2=k-4),.

6.解　由|PB|3,知动点P与两定点

12Rt△F1PF2中,|PF1|2=

|1F2|2-|F2P|2=3c2,∴|PF1|=c,而2a=|PF1|+|PF2|,∴2a=(+1)c,∴e=1.故选(A).

14.解　双曲线方程为

2

=-a

距离的差为定长3,3

AB的中点O为中心,A,B为焦点,实轴长为3的

3

-

2

4

=1,其渐近线斜

双曲线的一支,当P为在O,B之间的顶点时,

|OP|最小,|OP|=半实轴长=

.选(B).2

7.解　∵a=5,∴两个焦半径之和|MF1|+

,当直线l的斜率为时,直线与渐近22

线重合,直线l与双曲线无交点,排除(C),(D).又

率k=|MF2|=10,

双曲线的焦点在y轴上,当-双曲线无交点.故选(B).

又∵|MF1|=2,

(

|MF2|=10-2)=4.选(B)22

8.解　设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由双曲线定

15.解　抛物线x2=4y的准线l的方程为y=-1.作PT′⊥l于T′,AT⊥l于T,则由抛物线定

∴|ON|=

义,|PA|+|PF|=|PA|+|PT′|≥|AT|.即当A,

P,T共线时,|PA|+|PF|最小,此时|PA|+|PF|

义:|r1-r2|=2a,|F1F2|=2c.在△PF1F2内,由余弦定理,有

2

θ4c2=r21+r2-2r1r2cos

=|AT|=8+1=9.选(D).

16.解　抛物线焦点F的坐标为(1,0),设中点M的坐标为(x,y),M,F所在直线的方程为x=ky

2

θ),=(r1-r2)2+2r1r2(1-cos

.sin

2

θ=・∴S△PF1F2=r1r2sin2sin・cos・

2222

2

=b2ctg,选(A).

22sin

2

2

22

∴r1r2=(=

θ)21-cos

+1.设弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则y21=

22

4x1,y22=4x2,相减得y1-y2=4(x1-x2),

y1-y2

2

=

2

=2(x-1).故选(B).

4

=

,即k=

2

,代入直线方程整理得y

17.解　设A(x1,y1),B(x2,y2),∵y2=4x

9.解　F2(1,0),直线方程为y=x-1,代入椭的焦点弦|AB|=x1+x2+2=4,∴x1+x2=2.又∵y1・y2=-p2=-4,

圆方程消去x得3y2+2y-1=0,设A(x1,y1),B

62数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第2,4期

22.解　设动圆圆心的坐标为P(x,y),C(-2,0).　1)当两圆外切时,|PC1|-|PA|=2;　2)当

2

∴(y1-y2)2=y2y1y2=4(x1+x2)1+y2-2・

-2(-4)=4×2+8=16,

∴|y1-y2|=4.∴S△AOB=

|OF|・|y1-y2|2=・1・4=2.填2.2

2a

两圆内切时,|PA|-|PC1|=2.由1),2)知,动点P到两定点C1,A的距离之差的绝对值等于常数2.所以动点P的轨迹是双曲线.焦点坐标为(-2,0),

(2,0).

18.解　所求的弦即为通径的长,也即是=..故填33=

因2a=2,∴a=1,故b2=c2-a2=3.则这双曲线的方程为

2

1

其轨迹为双曲线.

-

2

3

=1此即动圆圆心轨迹方程,

x,∴可设双曲线4

2方程为y2-x=λ,再把P(1,2)代入得:4-161622

=λ,∴λ=.从而双曲线方程为:y-x=.

1616162

∴填y2-x=1.

5555

19.解　∵渐近线y=评注　要学会根据定义确定点运动的轨迹.

23.解　在椭圆=2,∴e=

2

16

+

2

12

=1中,a=4,b=2,c

2

=.l,则l:x=2c

=到l评注　渐近线y=x程为y2-2

2xλa

2

a

e=

F|=d.∴|AM|+2|MF|=|AM|+d.

易证点A在椭圆内,过A点作AK⊥l于k,则

|AK|即为所求|AM|+d的最小值,这个最小值为8-(-2)=10.

20.解y=kx+1恒经过(0,1)点,要

想直线与椭圆恒有公共点,那么(0,1)点应在椭圆内或椭圆上.

2∴+≤1,

5m

又m>0,∴m≥1.

又∵+=1的焦点在x轴上,

5m

2

2

∴当A,M,K共线时,|AM|+2|MF|最小,最小值为10,此时点M的坐标为(2,).

24.解　根据椭圆镜面的光学性质,从椭圆一个

焦点射出的光线经过椭圆反射应聚焦在另一个焦点上,故片门应放在另一个焦点F1上.此题需要求出焦距|F1F2|=2c的长度.由已知通径|BC|=5.4,∴B(c,2.7).再由椭圆定义|BF1|+|BF2|=

2|OA|,∴2c=12.

(c+c)2+2.72+2.7=2(c+1.5),∴

∴5>m∴应填1≤m

21.解　设P(x0,y0),则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,又∵∠F1PF2为钝角,∴|F1F2|2>|PF1|2+|PF2|2.

∴灯泡应安在距片门12cm处.

,3

∵a=3,b=2,c=,e=评注　若不知道椭圆的光学性质,这种应用题无法做.

25.解　设直线l1的方程为y=k(x+1).

y=k(x+1)

(1)(2)(3)

222

∴(2)2>(3+x0)+(3-x),x0

330

,∴-

5-

y2=4x

(1)代入(2)中得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0

椭圆的焦点三角形,而焦点三角形中又有两个焦半径.焦半径又有公式|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.涉及焦半径及焦点三角形的题目要特别注意数

记P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则x0=

xx2

2=,

2k2

2+1)=2.又F2

2k2k

形结合,学会运用两种定义解题.

∴y0=k(x0+1)=k(

2001年第2,4期　　　　　　　　　　　　　数学通讯(1,0).设l2的斜率与l1的斜率之比为u,则u=

63

(4k2+1)x2+20k2x+(25k2-4)=0.由Δ≥

y-02==.2

x0-1kk1-k2

-12k2

在方程(3)中,Δ=(2k2-4)2-4k4>0,

0,得:|k|.3

假设存在一对过定点B且与轨迹C有公共点

的互相垂直的直线l1和l2,令它们的斜率分别是k1和k2,则k1・k2=-1,且|k1||k1k2|,|k2|,从而33

∴k2

,定义域为(-1,1).

1-k2

当k∈(0,1)时,u是k的增函数;

∴所求函数为u=

故不存在一对互相垂直的直线过B且与轨迹C

当k∈(-1,0)时,u是k的减函数.

26.解　首先抽象为数学问题.半圆中的点可分

有公共点.

28.解　1)∵M点在椭圆上且MF1⊥x轴,

2

为三类:1)沿AP到P较近;2)沿BP到P较近;3)沿AP,BP到P同样远近.显然,第三类点是第一、第二类点的分界.设M是分界线上任意一点,则有:

|MA|+|PA|=|MB|+|PB|.

∴M点的坐标为(-c,

2

),又由AB∥OM,a

可知=k,-,

于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.

b=a,∴e=

=.a2

2

2设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,则r1+r2=2a,r1・r2>0,|F1F2|=2c,a=2c,∴cos∠F1QF2=

222

()2222==

2r1r22r1r22r1r2

2

由双曲线定义知,M,在△PAB,有

|AB|2=|PA|2+|PB|=17500.

2

-2|PA|・|PB|cos60°

-1=

2

r1r2

-1(

2

rr-1=)2

2-1(仅当r1=a

2

∴以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系xoy,则分界线是双曲线弧

2

2

r2=a时,等号成立)=0,故∠F1QF2∈(0,

π

].2

625

-

2

3750

=1(x≥25).

3)设直线PQ方程为:y=

(x-c),∵a=b

于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到

P处,而将右侧的土沿BP运到P处最省工.

b,∴y=(x-c).因椭圆方程为x2+2y2=2c2,将PQ的方程代入椭圆方程之中并整理得

5x2-8cx+2c2=0,

评注　确定最优化区域的问题,常需建立直角坐标系,利用点的集合的性质,来构造圆锥曲线模型

(即分界线).

∴|PQ|=1+2)[(

22c.c)-c]=・

555

=27.解　1)设抛物线顶点M的坐标是(x,y),

设点F1到PQ的距离为h,则h=

c.3

则焦点坐标为F(x,2y),A到x轴的距离d=2.由抛物线的定义,得|AF|=d,∴

2,∴x2+4(y-1)2=4,∴

2

x+(2y-2)=

22

+(y-1)2=1(y≠4

0)为所求轨迹的方程.它是椭圆(除去原点).,1)且与轨迹C有公2

共点的直线,设其方程为y-1=k(x+).将其代

2

入C的方程,得

2)设l是过定点B(-

∴S△F1PQ=

2cc=c2355

=20且c>0,∴c=5.

于是b=c=5,a=b=5.因此所求的椭圆方程为

2

50

+

2

25

=1.