巴斯普定理及其证明

05 物体平衡的种类

概念规律：

1、平行力的合成与分解

物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。

在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。

两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个同向平行力FA 和FB ，其合力的大小F=FA+FB，合力作用点O 满足AO ·FA=BO·FB 的关系。 两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个反向平行力FA 和FB 的合成其合力的大小F=FB-FA(假如FB ＞FA ，则F 和FB 同向) 其合力的作用点满足AO ·FA=BO·FB 的关系。

一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。

2、重心和质心

重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统) 质量分布的中心。物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。

质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，可以写成三个分量表达式：

其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m ，物体总质量等于块数(设为N 块) 乘以每块质量m ，第一式可以改写成：

即等于各小块的位置Xi 之和除以块数N 。因此，在假定每块质量相等时XC ，就是所有Xi 的平均值。如果其中有一块(设第i 块) 的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的Xi 应出现两次。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此，XC 是所有质量在X 方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

质心位置的求法：

(1)定义法

根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。

(2)实验室

质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。在此平面物体上，选两点A 和B(设A 、B 和质心不在同一直线上) ，分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。

(3)对称法

如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀分布的菱形物体，其质心必处在对

角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。

(4)分割法

这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。

如下左图的棒锤，假设匀质球A 质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l ，求它的重心。第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C 。C 在AB 连线上，且AC ·M=BC·m(如下右图) 。

(5)负质量法

容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。

同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为—M 的球A ′的合成(如下左图) ，用反向平行力合成的方法找出其重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·(2M+m)=A′C ·M ．不难看出两种方法的结果都是：BC=M（R+l/2）/（M+m）

证明方法与分割法相同。

有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质心。通常把物体分割成n 个部分，求得这n 个部分的质量分别为m1，m2，„，mn 。所受的重力相应为m1g ，m2g ，„mng 。又求得它们的重心(质心) 的坐标分别为(x1，，y1，z1) ，(x2，y2，z2) ，„，(xn，yn ，zn) 。由于这n 个部分所受的重力Gi=mig(i=1，2，„，n) 可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n 个平行力合力的作用点位置(xC，yC ，zC) ，得出整个物体质心(重心) 的位置坐标为

上例中，以B 点为原点，水平向右为。轴正方向，则A 、B 的合质心的位置为：

即：

负号表示质心的位置在B 点左侧（如上右图）。

用坐标法求物体的重心是比较方便的。坐标法与分隔法—样，都是由平行力的合成方法推导出来的，有兴趣的读者可以尝试推导一下。

(6)巴普斯定理及其推论

对于质量连续分布的物体，求质心的一般方法是利用质心定义的三个分量表达式。但是，有时我们愿意采用处理这类问题的技巧，巴普斯定理提供了一种技巧。

巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。 当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体。显然，巴普斯定理成立。一般情况下，平面物体上海一质点运动保持与物平面垂直，而各质点速度并不相等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间将扫出一个不规则体积。我们要证明巴昔斯定理仍能得到满足。下面分步给出证明。

1) 易知，质心为原点的质心参照系下，质心的位置坐标必为零。

对于平面物体情况，在物平面内建立坐标OXY(z轴垂直此面) ，坐标原点O 与质心C 重合，因质心X 坐标XC ＝0，得

2) 我们已经知道，刚体的一个无限小运动可以由刚体上任一参考点的无限小平动和绕此参考点的无限小转动叠加而成。

现在我们把平面物体的运动分成无限多个无限小运动。每个无限小运动分解成随质心的无限小平动和绕质心的无限小转动。为保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求，应满足：随质心的无限小平动必须垂直于物平面；绕质心的无限小转动的瞬时转动轴必须在物平面上。

3) 讨论符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第i 个无限小运动。

设随质心的第i 个无限小平动位移的Zi ，则平面物体扫过的体积元为

其中S 为平面物体面积。

设绕过质心在物平面上的转轴为y 轴，第i 个无限小转动产生的角位移为Δα。利用XC ＝0，得

其中σ为平面物体质量面密度，对于质量均匀分布的平面物体，σ为常量。ΔSi 为平面物体上面元的面积。设各面元在无限小转动下转过的路径Δli 为

因平面物体上各质点Δα相同，所以

则

此式表示，由无限小转动所引起的各面元在空间扫过的体积正好抵消(这只有在坐标原点选在质心上，才有此结论) 。对于整个运动过程，此结论依然成立。

因此，在满足巴普斯定理的运动要求下，面物体在空间扫过的体积为

其中∑ΔZi 为平面物体运动中质心经历的路程。巴普斯定理得证。

例1：求两直角边长分别为a 、b 的直角三角形，质量均匀分布，求质心的位置。（x=b/3，y=a/3）

例2：求均匀半圆盘的质心位置。设圆半径为R 。（x=4R/3π）

巴普斯定理的一个推论同样很实用。此推论表述为一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。

这个推论的正确性，只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的结论得到。

例3：求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置。设圆半径为R 。（x=2R/π）

例4：如图 (a)所示，由匀质金属丝围成的封闭图形，其中曲线部分是半径为R 的半圆，直线部分是直径。求此封闭金属丝的质心位置。（2R/（2+π））

3、物体平衡的种类

当物体达到平衡以后受到微小扰动而偏离平衡位置时，如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡。如带正电的小球处在两个带等量负电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡。如带正电小球处在两等量正电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小的扰动偏离平衡位置时，这物体所受的合力仍为零，而能在新

位置继续保持平衡状态，这种平衡叫随遇平衡。如与液体密度相同的实心物体浸没在液体内部。

4、物体平衡种类的判断方法

（1）受力分析法

当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的：如果所受的合外力为零，则质点处于随遇平衡状态。

（2）力矩比较法

对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定状态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡状态。

（3）重心升降法

对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚体两种），判断其平衡种类时，常可用重心升降法。即若使物体稍微偏离平衡位置，如其重心升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置后其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置后其重心高度不变，则为随遇平衡。

（4）支面判断法