高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题

高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题

一、选择题：1．不等式x +

2

>2的解集为（ ） x +1

A. (-1, 0) (1, +∞) B. (-∞, -1) (0, 1) C. (-1, 0) (0, 1) D. (-∞, -1) (1, +∞) 2．c ≠0是方程 ax 2+y 2=c 表示椭圆或双曲线的（ ）条件 A ．充分不必要

2

B ．必要不充分 C ．充要 D．不充分不必要

4

3. 若0≤θ≤π, 当点(1, cos θ)到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离为1, 则这条直线的斜率为（ ） A.1 B. －1 C. 4. 已知关于x 的不等式ax 2-A.[0，16] B.[0,

9

32

D. －

3

3

ax +1>0的解集是实数集 R ，那么实数a 的取值范围是（ ） 2

） C. （0, 16） D. ⎡

9

8⎫⎢0, 3⎪⎣⎭

16

9

5. 过点（2，1）的直线l 被x 2+y 2-2x +4y =0截得的最长弦所在直线方程为：( ) A. 3x -y -5=0 B. 3x +y -7=0 C. x +3y -5=0 D. x -3y +1=0 6. 下列三个不等式：①x 2+3>2x ; ②a 、b ∈R , ab ≠0时, b +a ≥2；③当ab >0时，a +b

a

b

>a +b 其中恒

成立的不等式的序号是（ ）A. ①② B. ①②③ C. ① D. ②③

7. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

A ．x 2+y 2-x -2y -=0 B ．x 2+y 2+x -2y +1=0 C ．x 2+y 2-x -2y +1=0 D ．x 2+y 2-x -2y +1=0

448. 圆C 切y 轴于点M 且过抛物线y =x 2-5x +4与x 轴的两个交点，O 为原点，则OM 的长是（ ） A ．4

B ．2.5 C ．22 D ．2

24

499

1

2222

9. 与曲线x +y =1共焦点，而与曲线x -y =1共渐近线的双曲线方程为（ ）

3664

22222222

A ．y -x =1 B ．x -y =1 C ．y -x =1 D ．x -y =1

[1**********]

22

10. 抛物线y 2=-4x 上有一点P ，P 到椭圆x +y =1的左顶点的距离的最小值为（ ）

1615

A ．2 B ．2+ C ．

n

3 D ．2-

22

11. 若椭圆x +y 2=1(m >1) 与双曲线x -y 2=1(n >0) 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交

m

点，则∆F 1PF 2的面积是（ ）A ．4

B ．2 C ．1 D ．0.5

12. 抛物线y 2=2px 与直线ax +y -4=0交于两点Ａ¸Ｂ，其中点Ａ坐标为（1，2），设抛物线焦点为Ｆ，则|FA |+|FB |=（ ）Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4

二、填空题13. 设函数f (x ) =ax +2, 不等式|f (x ) |

f x ≤1的解集为

22

14. 若直线2ax -by +2=0(a >0, b >0) 始终平分圆x +y +2x -4y +1=0的圆周，则1+1的最小值为______

a b

2

15．若曲线x

a -4

+

y 2

=1的焦点为定点，则焦点坐标是 a +5

.

16. 抛物线y 2=-2x 上的点M 到焦点F 的距离为3，则点M 的坐标为____________.

三、解答题： 18

（Ⅰ）求椭圆C （Ⅱ）已知直线l

l ：y =kx +m C A 、B 两点．

切，求证：OA ⊥OB （O 为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP =λOQ O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．

19．已知圆C 关于y 轴对称，经过抛物线y 2=4x 的焦点，且被直线y =x 分成两段弧长之比为1：2，求圆C 的方程.

20. 平面内动点P （x ，y ）与两定点A （-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于-1/3，若点P 的轨迹为曲线E ，过点Q (-1,0) CD E 于点C 、D （1）求曲线E 的方程； （2）求证：AC ⊥AD 3）求∆ACD

21．已知直线l 与圆x +y +2x =0相切于点T ，且与双曲线x -y =1相交于A 、B 两点. 若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.

22

22、设椭圆x +y =1(a >b >0) 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭

22

2222

a b

圆与x 轴正半轴P 、Q 两点，且=8 （I ）求椭圆离心率e ；

5

（II ）若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线l :x +y +3=0

答案

一、ABDB A CD D A A C A

125

二、13. {x|x>或x ≤}; 14. 4 ; 15.（0，±3）; 16．（－, ±5）.

252

x 2-3x +2(x -1)(x -2)

(x -3)(x +2) x -x -6

⇔(x +2)(x -1)(x -2)(x -3)

∴A =(-2, 1) (2, 3).

⎧x +1≥0

x +1

x +1

∴B =[-1, 8).

∴A B =[-1, 1) (2, 3).

18．

-2

【解析】试题分析：

a 2=

2b 2b 2=1，a 2=2 （Ⅱ）由直线l

m k

l 直线与椭圆的方程并由韦达定理可

而求出0，即结论得证； （Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当m =0（ⅱ）当m ≠

.

（Ⅱ）因为直线l ⎧y =kx +m ,

22

⎩x +2y =2

2

由⎨

(1+2k ) x +4kmx +2m -2=0．

22

设点A B 的坐标分别为A (x 1, y 1) B (x 2, y 2)

O A ⊥O B OA +OB =OP ，OP =λOQ ∴OA +OB =λOQ （ⅰ）当m =0A B

关于原点对称，则λ=0 此时不构成平行四边形，不合题意．

（ⅱ）当m ≠0由OA +OB =λOQ 点

Q

∴化简，得4m 2(1+2k 2) =λ2(1+2k 2) 2

1+2k 2≠0有4m 2=λ2(1+2k 2) ①

又∆=16k 2m 2-4(1+2k 2)(2m 2-2) =8(1+2k 2-m 2) ∴∆>01+2k 2>m 2 ②

将①、②两式，得4m 2>λ2m 2

2

m ≠0，∴λ

19.

解：设圆C 的方程为x 2+(y -a ) 2=r 2, 抛物线y 2=4x 的焦点F (1, 0)

∴1+a 2=r 2 ①

又直线y =x 分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y =x 的距离等于半

a r 1

径的,

即= ②

222

解①、②得

a =±1, r 2=2 故所求圆的方程为 x 2+(y ±1) 2=2

20．（12）略；（3）1.

【解析】试题分析：（1）根据题意可分别求出连线PA PB k PA k PB 进行化简整理可得曲线E P A , B 重合. 根据 整理可得曲线E

（2）若要证AB ^AC 只要证AB ? AC 0再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行

证明即可. 那么由题意可设直线BC 的方程为my =x +1，C x 1, y 1, D x 2, y 2，联立直线与椭圆的方程消去x 的一元二次方程(m

2+3) y 2-2my -3=0，由违达定理知

() ()

则

AC ⋅AD =

(x )+y 1y 2+4=0，从而可以证明1+2)(x 2+2)+y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2

AB ^AC

（3

m =0△ACD 最大面积为

1.

试题解析：（1）设动点P 坐标为(x , y ) x ≠±2

4分（说明：不写x ≠±21分） 故曲线E （2）CD 斜率不为0，所以可设CD 方程为my =x +1与椭圆联

立得：

(m 2+3) y 2-2my -3=0

设

C (x 1, y 1

), D (x 2, y 2)

， 所以

分

所以AC ⊥AD 8分

（3）∆ACD 分

当m =0△ACD 1. 12分[

考点：1. 椭圆的方程；2. 向量法证明两直线垂直；3. 三角形面积的计算.

21．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 x =my +a 代入双曲线方程 整理得

(m 2-1) y 2+2may +a 2-1=0 而m 2-1≠0，于是y T =

y A +y B am

=-2 从而 2m -1

a am a

T (, ) 即 222

m -11-m 1-m

am 2a 22a 2

) +() +=0m =a +2 ① 即 点T 在圆上 ∴(222

1-m 1-m 1-m x T =my T +a =-

由圆心O '(-1, 0) .O 'T ⊥l 得 k O 'T ⋅k l =-1 则 m =0 或 m 2=2a +1 当m =0时，由①得 a =-2,

∴l 的方程为 x =-2；

当m 2=2a +1时，由①得 a =1 m =±, ∴l 的方程为x =±y +1. 故所求直线l 的方程为x =-2 或 x =±3y +1

0），由F （-c ，0）（c =a 2-b 2）、A （0，b ）22．解：（I ）设Q （x 0，

b 2

知=(c , b ), =(x 0, -b ) . ⊥, ∴cx 0-b =0, x 0=.

c

2

8⎧

x 0

⎪8b 25=, ⎪x 1=

813c ⎪1+8⎪

设P (x 1, y 1), 由=，得⎨ 5

5⎪b 5

=b ⎪y 1=

813⎪1+

⎪5⎩

8b 225() (b ) 2

+2=1 因为点P 在椭圆上，所以2

a b

1

（2a 2-c 2）=3ac ⇒2e 2+3e -2=0⇒e =. 整理得2b 2=3ac ，即

2

b 23c 11=a ; 由=, 得c =a （II ）由（I ），2b =3ac , 得c 2a 22

2

1311

于是F (-a , 0), Q (a , 0), ∆AQF 的外接圆圆心为(a , 0) , 半径r =FQ =a .

2222

1

|a +3|

因为这个圆与直线l :x +3y +3=0相切，所以=a ，

2

x 2y 2

+=1 解得a =2, ∴c=1，b=，所求椭圆方程为43