相似三角形的基本图形总结
相似三角形的基本图形总结+一模相似汇总
用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等,是几何证题中的重点之一,而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形,下面举例说明。
相似三角形主要基本类型:
一、平行线型
如图1,若DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC 。
例1. 已知,如图2所示,AD 为△ABC 的中线,任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。 AE 2AF =ED FB 。 求证:
证明:
例2. 已知,如图3所示,BE 、CF 分别为△ABC 的两中线,交点为G 。 GB GC ==2GE GF 求证:。
例3. 已知,如图4所示,在△ABC 中,直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。
AX BZ CY ⋅⋅BX CZ AY =1。
求证:
二、相交线型
如图5,若∠1=∠B ,则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。
例4. 已知,如图6所示,△ABC 中,AB=AC,D 为AB 上的点,E 为AB 延长线上的点,
2且AB =AD ⋅AE 。
求证:BC 平分∠DCE 。
例5. 已知,如图7所示,CD 为Rt △ABC 的高,E 为CD 的中点,AE 的延长线交BC 于F ,FG ⊥AB 于G 。
2求证:FG =FC ⋅FB 。
三、旋转翻折型
如图8,若∠BAD=∠CAE ,则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。
如图9,直角三角形中的相似三角形,若∠ACB=90︒,AB ⊥CD ,则△ACD ∽△CBD
∽△ABC 。
例6. 已知,如图10所示,D 为△ABC 内的一点,E 为△ABC 外的一点,且∠EBC=∠DBA ,∠ECB=∠DAB 。
求证:DB ·AC=AB·DE 。
1
例7. 已知,如图11所示,F 为正方形ABCD 的边AB 的中点,E 为AD 上的一点,AE=4AD ,FG ⊥CE 于G 。
2求证:FG =EG ⋅CG 。
例8. 已知,如图12所示,在平行四边形ABCD 中,O 为对角线BD 上的点,过O 作直线分别交DC 、AB 于M 、N ,交AD 的延长线于E ,交CB 的延长线于F 。
求证:OE ·ON=OM·OF 。
回家作业:上海2011一模分类:相似形
选择题:
(黄埔5)下列各组图形中,一定相似的是( )
(A )两个矩形;(B )两个菱形;(C )两个正方形;(D )两个等腰梯形.
(虹口5)如图1,已知l 1//l 2//l 3,如果AB :BC =2:3, DE =4, 则EF 的长是( )
10
A . 3; B . 6; C . 4; D . 25.
A
图
1 l 1l 2 3
(卢湾6)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ,那么x 的值………………………………( ).
A .有且仅有1个; B .有且仅有2个;
C .有3个及以上但个数有限; D .有无数个.
填空题:
(虹口12)在∆ABC 中,中线AD 与中线BE 相交于点G , 若AD =6,则GD = .
C 分别与A '、B '、C '对应,(虹口13)已知∆ABC ∽∆A 'B 'C ',顶点A 、B 、且∠A =55︒,
∠B =75︒,则∠C '的度数是___________.
(虹口14) 如果两个相似三角形的面积的比等于1∶9,那么它们的对应边上的高的比等于 .
(虹口15)如图2,已知在平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别在线段 BD 、AB 上,EF ∥AD ,DE ∶EB=2∶3,EF=9,那么BC 的长为 .
(黄埔9)如图,D 、E 是∆ABC 边AB 、AC 上的两点,且DE ∥BC ,ED ∶BC =3∶5, 则AD ∶BD =___________. F 图2 C
E C
(黄埔11)若两个相似三角形的相似比为1∶2, 且其中较大者的面积为2010,则其中较小的三角形的面积为__________.
︒∠ACB =90, AC =4, BC =3, O 是边AB 的中点, 过点O 的∆ABC (黄埔17)如图, 在中,
直线l 将∆ABC 分割成两个部分,若其中的一个部分与∆ABC 相似,则满足条件的直线l 共有___________条.
(普陀14)如图,AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从点B 向点D 运动,当BP 的值是 时,△PAB 与△PCD 是相似三角形.
B
P
第14题
(普陀18)如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,对角线AC 、BD 相交于O ,
下面四个结论:①△AOD ∽△BOC ;②
③△AOB ∽△COD ;④
(徐汇16)如图:在△ABC 中,∠C =90°,AC=12,BC=9.则它的重心G 到C 点的距离S ∆DOC ︰S ∆BOA =DC︰AB ; S ∆AOD =S ∆BOC ,其中结论始终正确的序号是
是 .
(徐汇17)如图, 在∆ABC 中, ∠C =90︒,AB =13,AC=12,D 是AC 的中点,DE ⊥AB ,则DE 的长是 .
A
E
D
B 第16题 C
第18题 第17
(徐汇18)已知三角形纸片(△ABC )中,AB =AC =5,BC =8,将三角形按照如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B′,折痕为EF .若以点B′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长度是 .
DE
(卢湾13)如图,在□ABCD 中,点E 在DC 边上,若EC =1BF
2,则EF 的值为__________.
A
C
(第13题图)
解答题:
(黄埔23)如图,在∆ABC 中,∠ACB =90, AC =BC , P 是∆ABC 形内一点,且︒
∠APB =∠APC =135︒.
(1)求证:∆CPA ∽∆APB ;
(2)试求tan ∠PCB 的值.
(虹口20)已知:如图6,在∆ABC 中,AB =AC ,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延
A
长线上一点,且满足AB =DB ⋅CE .
求证:∆ADB ∽∆EAC .
图6 2
(普陀22)如图,已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,在EC 的延长线上任 取一点P ,连接AP ,BG ⊥AP 垂足为G ,交CE 于D ,
2求证:CE =PE ⋅DE . A
P
A C E 第22题 B
E
(徐汇22)已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,过点B 、C 分别作AD 的垂线,垂足分别为F 、,E, CF和EB 相交于点P ,联结AP .
求证:△ABF ∽△ACE ; A 求证:EC ∥AP .