微积分_二_课后题答案,复旦大学出版社_第十章

Geeratnedby Foxt PiD CrFetoa Froxt Sifotarewh tp:t/w/ww.ofitsofxwtaer.comF ro vealatiuno nol.

y第章十

习题 1011． 指出下列各 分方程微的数： (阶1) xy()′2yy2′0x ;2( (y))″5(y′)3y4x65;0(3)

yx y″22yx0;

4)

(x2y2()xd(x2y2d)y0

解: ．1()因 方程为未知中函数 y最的高导数的阶阶为数1, 故方该为程阶一微方分.程(2) 二 . (阶3) 阶三 .4( 一). 阶． 验证2下列给函定是数对应微其分程的解：方(1 )yx(C)xe, y′yex;( ) 2yxC1xeC2xe,x y″2′xyy0;( 3 )xos2ct1cCo3ts2sCn3i，tx″ 9x5cso2; (4)t

2 y 2 x， x1y″yx(y′2yy)′0 ．C1 C

解2 :1(

) y Q  e x ( x c)e xy  y  e x ( x )cex  (x  )ecx  e x y  ( x c)e x 是微分方

程 y y  e x 的解. ( 2)在 程方 y  xc1ex  c2 e x 两对 x 边求导 y  xy有  c1 xe 2ecx 方程上边对 两x 求导 有 2y  x  y 1ecx c e x2 即, y 2 xy   y 即 xy  2 xy x y0 以所 x y c1ex  ce2 x 确定的所数 函y y( x 是方程 )yx 2 y xy 0 的解. ( )3

Q x s2i nt2 3c1 si 3t n 3c c2o 3t xs  4 co 2t s 9c1 co st3 c9 2in 3ts x 9 x   4osc t2 9c 1cso t 3 c2 si9n t 3 c9s ot2 9c1 cs 3to 9c2 sin3 t 5 cs 2o

所以 xt c s 2ot c1c s 3to c2si n 3 是t分方微程x  9  5xosc t 2解的.

1

G

neerted ba FyoixtPD CFretaro Fxiot oStwfre ahtpt:/w/wwfoxit.sftowareco. mFo rvealatuin oolyn

.4)(方程

x2 2 y  1 两对边 求导得xc 1 c c22 x 1cyy  (1)

0(1)两式边对x 求导 得

c2 

c1( y)2  c 1y y 0

2()式边两乘以 x同 得

()

22 cx c x(1 y)2  c x1y y0

(3)(2)-

得(3)

xyy x y( 2) y y 

0所

以x

2y 22  1是方程x yy  x( y) 2 yy  0的解. 1 cc

3

．知曲线的已线切在轴纵的截距上等切于的点坐标横求，曲线所满这的微足分方． 程:解 设 x( y , 是)曲线y f (x ) 上 一点任则过该点,切的方线程 为 Yy  y (X  x ) ,已由知

X 0 时,Y  x, 得x    xyy

即

x y y x 0 为 y f( x )所满得足分方程.微

4

求．解为通 yCxe 的x分方程微这，里C 任为意常．数 解: 由 y C e x x得 y  Ce x 1 , 而 由 已 知C xe y  x 得

 y  xy 1 通故 解

为

y ex  x C微的方程为分 y  y x 1

.题 10习2 ．求下1列分微程方通的或解给在定初的始条件的下解：特 (1 y′＝)

1

y 1；x

(2) x

ydx 1  x2d y0

;3) ((xy2xdx)(y2x)dy0; (y4 s)nicos2yxd xcosx2dy0;( )

5x ydx  d y 0

, y x0  1 ； 1  y 1

x(6

)y′yxey0 ,(1)y0;(7) y′ e2yx，

yx 0  0

．解 :1( )方原程分变离得

d量 yx d 1 y 1x

(1  y 0 ,)两积边得分

2

Gnereted aybFo it xPDFC raetro F xiotS fotwre htat:p//wwwf.oxtsoitfawre.com Fo reavlutian oonly

.l n1 y n 1 l x c1

c

即

l n(  x1()  y )1  c 1,

c

即( 1 x) 1 ( y ) e 1 ,(1  x)(1  y  )e1 ,

记

e1  c, 有 (1  x)( 1 y )  c (c )0, 当而 y 1  0即 y 1时 ,显然是方的程 解上,c

式取

c 0 时包了 y 含 1 故方,程的为 (1 解x ) ( 1y ) c( ) 分2变量得离 

:

(c为任意常数)

xdx 1 x

2

dy y

1 x 2  ,0  0 y两边积分得,,1

x2

1 

x 2 l ny  1 ,可知 cy e

又y 0显然是方 程的解

.e

c1 ,即

y e c 1 e

1  2x



方程的通为解y  c

e(3 )离变量得分

1

x 2

( 为任意c常数)

.2y 2 xd y 2d x, 两边积 得 分n(l1 y 2 ) ln  x2  c11,即 21 y x1从而

l

n

1 y2 1 x2 c 1

1 y2 c1e( x2  )1 , 记 c ec1 有y 2 c( x 2 1 ) .1

(

)4 分离量得,变

d

ys n x 1 i dx ,边两积分得 ,atn y c 22c osx co ysc s ox

即

an yt secx  c . (

5 原方程可化为: ) (y 1 y dy  )x( 1x )xd ,边两积得 分 y由

y 23yx 2 x3    c 3 2 2

x 30

1  得 

c1

1 5 , 所以原程方满足始初件条特解的 2 3为6

即

y

2 y 3x 2 x35    2 3 2 3

6(2x 3 y 3 ) ( 3 x 2 y 2 )   5

.

y (6 分)变离量得 y ed y xxd, 两 积分边得

ye

 y ey 

2x c2

由 y (1 ) 0 c得

1 ,故原方满足程始条初件特的解 为21 (y 1) ye  x (2 1 ). 2

y y2x (7 分)离 变 量得 ed y  dex ,两 边 积 分 e得

12 xec 由 y ,2

x 0

0 得

3

Gener

tad ebyF oitx PFD reaCtor Fo xt Siftowaer tth://wpw.foxwtsiotware.cfomFo rvealauion otnly

.



c 1 2x1y , 所,原方以程足满初始件的特条解为 e (e  ) . 1 2

22 物．冷却体度与速物质和周围该介质温差的成正比具，有温为 T度 的0体物放在保常持 为的室温，内温求 度T与 时间 t 的系关 .解:设 t刻时物的温体度为 T,由意有

题

Td  (Tk  ) dt分离

量变

得( k为比系数)例

T  dkd t,两积边得分,l n   T  k t 1c ,得T c ekt  , 由意有 题 T

 0 时t, T 0T ,入上代式,得  Tc0  .

 T (T0  )e tk  

( 为k例系比数).

3

． 求下列微方分程通的解在给定或条下件特解的 (：) 1xy′yx  y ＝ 0 (2)；y ′

22

y y

 is n x；x

(3 3)y2xd＝y(23xy3dx; )()4x2y xy′y， y(1)21 (5；) xyy′ln(yln),xy( 11) (6); (xy2)dx(x4)dy; (y)

7

(xy)dx3(x3y4)dy0 解: (．) 1方原可程为 y化 

y

yy 则 y  ux y , u xu  1( 2 , 令 ) ux xx d u1

2

u

入代原

方程

:

得xu 1 u 2

即



dx

x两边积得

分

nlu( 1  2u)  l xn c 1

即  1  uu2 cx

y22 代2入 得y  x y cx .x y () 2 令u , 则y ux ,y u  xu  代原方程得入:x du d du x sn iu 即dx sin ux u u边积分两得 l tnan l nx c ,则1 an  cx, u t 2acratncx ,2 y 将2 u 代 得 y 入 2x rctana x c x

.将u (3) 原方程可化

为

d y2y 1 x y du2 y d( ) ( ), 令 u , 则 x  , 代入上式得, xu dxdx dx 3 x 3y

4

Ge

enraed tybF oix PDFtCr aeto r oFxi toSftawr etht:p//ww.wofxtisftware.oomc Fro ealuativnoo ln.

y

3u2 x du  d, 3 1 u x

将u

两边积分 l得(1  un3 )  l x  c1n 即

x(,1 u 3)  c

,

代入y得 x

x

3 3y c x .

2 y yy  )(2, x x 令u,

4()原 程可化为

方y

y dud u x ,代上入 式 则 y , ux , dxxd

两边积x分得

得

d

du x  u, 2 ux2

即

 111  dx  2 u  2   x

将u u

1 2u lnx  c1 l 2n

u即

u

  c2x u

2y 代入得

x

y  2c xy, x

由 (1y) 1 c得 1



y, 2  xy , 即 x

y

2

x 1 x 2x2 1. x2则

所

原以方满足程初始条件的解为 特y 5) (方程可原为化

dyy yy  n l ,令 ux dx x x 即

yd ud ux , 上程方化为可dx xd

u

x

两积分边得亦 即

du uln dux

uddx u(l nu  1)

x即

lnl nu 1  ln x c1 将

ln

 1u  cx

(

c e c 1)

u e1 cx

u

yx

入代得

y

xe1 c

由初x始件 条y(1)  1 得c 1 故原方程足初满始件条特的解

为y x1ex .解方程

组(6

原)程方可化为

d y yx 2 xdx  y4

y  x 2 0 x  y 4 

0得

x    1y  3

作

变换

x

u1 ,方程化为 原  y v3

v v d  u u u  vd

是这一个齐次程方,齐按次程方的解法:令  

1

 udv d  ,方程 可为化 u 21 u

5

Gneretea dy boFxi tDF CPraeotr oFxtiS foware thttp//www:f.oixsofttarw.cem Foro eavulaito onnly

.2

2边积分可得两整理,得可 2,actrna  n l (u 1 ) c

将

v入代上得 式uv 2 ratcn a nlu( 2 v 2 ) c

u将 u

 x  1 ,v y  3 入上式得

代

arc2an

t7)(方原可化程为

y3  ln  (x  1 2) ( y 3 ) 2c x  1

dy

x y  dx3 x 3y  4

令t x y ,

则

tddy   ,代入1方上程 得d dxx t 2dt 4  x dt3

4

即

2t 

4  2 dx 2

t即 3 (

)d2t 2dx, t2

积分得

3 t 2 n tl 2 2 x  c . 将 t x  y 入代上得式, x 3y  l2 xn  2

y

 c. ．4求 列微分下方程的解或通在定初给条件始下特解的 ：1( )yy′isx; (2) y′

nn

y xnx； e

(3x)( 2x)yyddx;0 () (14xsiny)yco′ys； (05) ′y



y x(1ex), y(01) x ;12 x2 x22y  y，0( ) ; 22 13  x1x 1 2 y nx,l y1();1 xx

x2

(6)

′y

(

) 7y′

(

8 )y′2x(xyins)· x e9) y′(

，y＝0(1);

x4 y3 ；xy

2

(0)1y′＝

1

．xy  x

y33

6

eGenaredtb Fyoxt iDP FCearort Fox i tSofwtra httpe//:ww.fwxiotsotfawrec.mo oFreva ultaonio ln.

y

:解( 1 )是这阶非齐一线性微次方分程

,P x(  )1 Q,( x) sin x

P ( x )d xP( x) d x y e ( Q ( xe)  x d c)



e(  sinx e x dc )

xd



x

d e x

( snix exd x c ) s in x e x  oscx  e  x c ) 12 ec x sin( x c o x)s 2 ex(

( 2) 是这阶一非齐线次微性方程分 P, x( ) 

(Px ) dx P (x ) xd ey ( ( x)Qedx  c )

,n Q( )x x ne x x

e

x d

xn

( ne xx e



 dxx

n

dx  c) ne n lx (x en x  en ln xx d c)

xn (  x n e x x  ndx ) c n (x ex xd c  )xn (ex  c

)3) 原(方 程 可 化 为

d  x x 2y, 这一是个关于y 的阶一次线齐性微分程,且方 yd

(P y) 1, Q( y )2 ,y 所以

P ( )y dyP ( y) dy x e ( Q( y )e d yc ) d dy y e ( y  e2d y c)

ey 2(ye dyy c ) e (y2ey ( y 1) c ) ( y2 1)  ce

y() 4原程可化为

方dx x tan y sec ,这是y个关一于y 的一阶非齐次线性 分微程, d方

y以

且 P(所y )   ta y,nQ (y )  ecs ,

y

G7enreaetdby Foitx DF CPeatorr Fxiot Sftowar httep/:w/wwfoxit.sotwfreac.o mForev luataiono nyl.



(Py ) d y P( y d)y xe (  Q(y e) d  cy

)  e

tan dy

y

t an dy y( esc e y y dc)

1 ( se y c csoyd y  c)c s o y 1  y( c) cosy 1 Q, x)( ( x 1 e) ,x以 (5) 这是一阶所非齐线性次分微程方且 P () x  1x

 P (x d ) x P ( x )dx y   e( Q ( )exd x c

)

e

x1 dx

1

(  ( x 1)ex  e



x 1d

1x

x dc )

( x 1)  (e dxx  ) c (x  1) (ex  c

)初始条件将y ( 0) 1代上式中入得 c 0 故原方,满程足初始件的条特解

y是 1( x)ex

.() 6是一阶这非齐次性微线方程,分 P 且 (x )

2x

x22 ,Q ( x ) 所以,1 x21  x

 P2 x (d) Px (x d) yx e(  Q( )exdx  )c

e

2x 21 2 exd x c ) 1 x2 x 2 ln21( x2 )ln( 1 x  )2e dx c ) e ( 1 x21 ( x22dx c) 2 1x 12 3 (x  c )1 x 32



1 x2d

x

2

xx2

(



将

初条始 y 件0)  1( 代入上式得c 

2

,所原方程满以初始条足

件的特是 3

解

(21 x 3 )y  3.1 (  2x )(7

这是一阶非齐)次性微分线方,且 程P( x )



12 , ( x )Q  l nx, 所 x以

x

8

eGneratd eb yoFxtiP FD reaCotr Foix tSftwoar ehttp://wwwfo.ixsotftare.womcFor ev laation uolny.



P( x )d xP ( x) xd ye ( Q (x) ex  d ) 1c- d 2x (  nlx e x d  xc) x 2 (   x l2 xdxn c ) x22  ( lnxx   ) x x c2(  1l nx) cx



e

xxd

1

初将始件 y条( 1) 1 入上式得代c   1所 以,原程满方初始条件足的解特 y 是 (2 1 nlx ) x .( 8 )这是阶非一齐次线微分性程,方 P且 x) ( 2x Q(,x ) xis x ne x 所,

以 ( xP ) xd P(x ) x y e d ( Q ( x)e x dc )

22 x dx 2 xxd e ( x is n x e xe dx  c)

2

e x ( x s ni xx d c  )e  (xsn i x xos c x c

将初始条) 件 (y) 0 1入代式得上 c 1 故原方程,足初满始件的条特是解

:2

2

y

e x si( xn x os cx 1 .

(9)) 原程可化方 y  为

12 y x 3 y2 这是,  2 伯努的方程,方利两边同程除以 y 2 ,得

x 2 yy 

13 y x3 x d z3 z 3 x , 这是3一非齐次线阶性微分方程 且 d, x

x1 () 2  3y ,则 上面方化为程令 z

y

3P x)(  , Q (x) 3 x3 其,解通为 x

z

e

x d

x

3

( x 3e

3

 x x

d3

d

x c )  x3 ( d3x c) 3 4 x c3

3 3x 43 将z y代 上入得式方原程通的为 y 解 3x  xc.

(0) 1方原可化为程 述方程可上化为

dx

 y x x 3 3 y,是这于 关 y   3的 伯的利方程努令,  z1x3  2x, dy

9

Gneretade b Fyoxit PF DreCtoa rF oix Stftoawre http://wwwfo.xisottwafr.eocmFor e avulation onl.

dzy  2zy 2 y 3d

y是这关 y于的 阶非齐次线一微分性程方且 ,P ( ) y 2y Q, (y)  2y 3 ,通解为:其

2 y d y2y d y ze ( 2(y 3) e yd c

)

 ey (  (2 y 3e y)dy  c) e  y( e (1y y2 ) c ) 1 y  2e yc

22

1  1  y2  ce  y . 2x

2

2

2

2

2 将

z x代入上式得原 方的通解为

程

5．设函 f(数x)［1在,∞)上连续，＋由若线 曲yf()，x直 线x,1xt(t＞1)与x 所轴围成的 面图形绕平 x轴旋 转一周成的所旋体的转积为体 Vt()

π ＝2 t f［()tf(1)］． 3 2 特的． 解9

试求

yf(x)所满的足分方程，并微该求分方程满微条足件 y() 2

2解 依题:意有π f( x )d 

x

t

1

π2  tf t( ) f(1 )  ,两同时边对t 求导 :有3  πfπ2 t ()  2tf( t)  2 f t(t ) 3

即

2 ft (t)  f32 t( ) 2 t (ft 亦)

即 2x y  3 y2 2 y

x

故 yf ( )x 所足的满分方微是

程 yy x2y  3y 2 2 x y ,该方可程为化y   (3 )2 2( ), x

这x齐是方程次

.

可求得该次齐方程的通解:

y 为 x  c 3xy

将始条初件y (2) 

2 2代 上入式 得c 1 , 以 ,该所分微方满足条件 程 (2) y的 解是特9 9

y  x x3 .

y*． 6设某生群体的物生率为出数常a ，由于挤及对食物的拥争的加竞等原因，死剧率与 当时群体亡的中个体量成比正(例比数为 b＞系)0如．果 t0时生物 体个数总 x0为，求时刻 t时 的 物生体个的总数(注：将 物群生体中的个体当量做间时 t的连续可微变量待看． 解: 设时刻) t时生物个的的总体数为x, 题依得意



解得a

dx dx b x即  xb adt d

ta

x e b t( bt  e ) b ca,故 b 1

0又t  0时 x x0 代,上式入 c  x得 0



eGeratnedby oFixt DPF Craetor Fxot iSfotwra htep://twww.foixsofttawer.oc mFr eoaluativn onloy

a. aa a x e b t( bte 0x )  (0x )e bt .b bb b7

．已知 f(x＝

)



x3

0



t f d x＋3x， 3求 (fx) ．3即

:解方 两边对程 x 导求得 f x) ( 3 f( )x

y3  3y 3

这是阶一齐次线性微分非方,程 ( x)P 3 Q , ( )x 3 ,其通为

 3d解 x3dxy  e ( e dx 3 c ) 3 xe ( e3 xd3x c

)

e3 x (e3  x ) c1  c 3ex 3x t 由已知 f ( )x   f (d) t 3 x  3得 (0f)  3 ,代 入上 式得 0 3

( fx)  1 2 e3x .

8 ． 知某商品已成的 C本＝C(x随产量 ) x的加而增加，其增长增为 C率′x)＝(

c

 2 , 所 以

1x C ，1 x

且

产量零时，固定为成本C( )0＝C＞00求．商的品生产本成函数 Cx()．解 :由 C( x )

1x C 1C 1 ,这是一阶齐次非性线微方分,程 得 且  1Cx 1 x

P

( x) 

1

,( Qx ) 1 ,其解为通  x1

C

e



1 x d

1

(x 1 e



1  xxd

1

dx

1C)  1 (x)  ln( 1x ) C1 

由初

条件始C (0  )C 代入上式0 得C  C1 .0以商所的生品产成函数

C 本 x() (  x )1 l(1  xn ) C 0

9.．某 司公某对种电器备的使设用费进行考察用，果结发现，该随电使用时间 路 的延长x，它 的保养维费修加倍会增长 因，而平单均时间位的使费用S 在也增加，即 S 为x 的数 SS(x函， 其)变化率

为

d bS b 1 S 2 a ， x xd x其中

a, 均b正为常．若当数x x0  时SS＝0，试问使：时间为多用时，少平其均位时间的单 使用费 S最高

?

d s bb 1 d sb( b 1a ) s  2a可 为化 s ,是这一阶齐非线次微分性方 xx2 x d xdx x (b b1 a) 其,解为通 程,且 P ,(x )  , ( Qx )  xx

解:2 原方

程

11

Gen

reaet db yFoxti DPF Certoar F xoi tofSwtrae htt:/pw/ww.oxitfsftoarwe.co Fom ervluataino nol.

ySe

(  1ba)  x x db  1)( a b dxe c)  x b (  x xd c ) 2 xx a2  b (xa

x 1b c ) c xbx x dx( 

b

b

由 知已x x0 时 ,  ss0 代 上 入式 得 C ,

s0

x0  aa b , 又由 S  cx得 b x 10

xS  

a

cbxb 1a a 1 bs ax b 1  cbx x  ( )1 , C将 0 0b 1 代入 得 ,令 得唯一 驻点  S 02 x 2 xc b0

xa

1

x(

bs

0x0 ab a sb0 0  ax

b) 1 b x0, 由问 题 的 实际 义 知 , 最 值意 存在, 所 以当是 时 间1 b 1

x(

)

x 0时,平其均单位间的时用费 使S最高.

习题

1 031． 求下 列微方分程的通：解 1( y )xe x； 3() 1(x2y″2xy)′0； () y2″

1 ；1  x

2(4)

y″(′)y20 ；6( )yy″(′y2)y(′)30

d．2x1 ；0 5) ( xd 2

3

t

:解（）1对程两端连方续积三次分得

 y ( x1 e ) x c1y  x ( 2e )  c1x x 2c y (x )3 x ec x1 2 c2 x 3 c2

这就

是所求的解通 .2（）对程两端方续连分积次两

y得  actrna  xc1

y1  acrantxd x c 1x xa rtcn x al n1 (x 2 ) c1 x c2

2就是所这求通解. 的3（令 ）y  p x)( ,则 y  p (x) ， 于原是方程可为

化12

eGerantde yb Fxit PoFDCr ateo rFo it xSfotwre ahttp:/w/w.fwxiotsftoware.co moF evaluartoin nlo.

y(1

 x 2 )  2 xp p

分0变量得离

d px 2dx 积分得 ， p 1 2

cx1 1 ,即c y . 2 1x 1 x2



p再

分得 积  yc a1rcat xn c2 . 4（令） y (p x) 则， y p 原方程可化为，

 p p2  0即，

d  pxd 2p

两

边分得 积



11  x c1 ,即 p  .p x 1cdy

1  d xx c

y1   ln |x  1 c|c

dp2 p 1 d3 1 0 ,即 dpp  d3x. ,原 程变为方 p dxxdx x

即

亦即

再积分

得（

）令 5  xp ()x, 则 x  p

两边分得

积p

2

1 c1 x 2x2

p

1

1 c 2 x. x

亦

即

1 c1 x 2 x dx 即 dx dt . dt 1x c1 x 2

2

积

分  得 1c 1x  c1t 2 . 从c

而1 c x1 2 (c1 t c2 )2

.这

就所是的求解. 通（6） y令  (py )则 y, 



d p·,代p入方程得.原 d

yy

pdp dp   p 2 p 30 即 p y p  2 p 0 d yd y



p若0,则 y = 0, y c 是 方的程解

.1

3

eneGraet bdyF xotiPDF Cr atero Fxoi Sottfawerh ttp/:ww/w.oxifstoftarwe.cm oFor vealatuoi onnl.y

若y

dp dp 1 pp 2 ，分离变0量 得 dy. 2 yd  ppy

即

积得 分p 1 c (y1 )p

p



c y1 . 1c y

1于是:

1y cdy 1即 ( c )1yd c1x d y.dt 1 1 c

y (c  yx)

分得积 y 2c 1e2．

.

下求列分微程方满初始条足件的解特：

(1 y) lx，n(y1)0,y (′1)

3

,3

y

(1″)1

;(2)

x2y x″y′, y11)0, (y′(11) ;() y″3y 21 y,(0),0y′ (01)．

由

y 1)( 

1 得c 1  0 ，是 于 y x ln x x , 解 ：（）1 程方边两积得分：y  x l xn x c1 ，

上

式边再积分两得

y 

x

23 ln xx 2  2c . 2 4

由y 1) ( 

3得 c 2 0 于是，4

y 

两边再 积得分 y

x23 ln x x 2 2 4

1 31 x l1n x  3  c3 x . 63611 由y (1)  得 0c3  3.6所

以原，程满方初始足件的特条解为 y

3 11 11 x1 nl x  3x  .6 63 63 p d 2 d1 px p 1.  即 p x 2这，是（2 令）y   p x() ，则 y   p， 原程化方为 xd dxx x一

非阶次线性齐微方分方.

程( px)

1

, Q( x )x 2 ，其通解为

dxx xd p1  ex (  x 2e  x x  cd 1 ) (n xl c1 ) x 1

1即

y 

11 ln( x 1c) ， 由 y1() 1 得c1 1 于是，y ( l x n 1),从而 x

x

41

Gene

raetd ybFox tiP F DCrateo rF xiotSo twarfe tthp:/w/wwf.xitoostfwre.camoFor evluatiaono nly.

1 1

y   ( nl x 1)dx  (l nx 1) d(n x  1) l (1  l n) 2 xc2 x

由2y (1) 0 得 c2 

1 121  y  ( 1 lnx 2  )即2

2

1y n l  xn 2l x .

2（3）令

y   ，p则 y p 原，程方化为

可dp 1  p ,2由 y (0) 1 ，即 x  0时 p ，1 . dx dy  ，1积得 y分 x  c,由 y (0) 0得 c  0， 所以，显然 p  是上1方述的解程即，dx 原方 程满初足条件的始解为特y  x.3．

已知某二个非齐次线性阶微方程有三个特解分 1yx,y2x ex y3和1xe，x这求个方 的通程．解 ： 解为因y1 ,2 ,yy3 某二阶是非齐线性次微方分的三个特程解， 则 y2 y  e 1 y, 3y2  是1x

ex e x 常数， 某对应的次齐微分程的特方且 故 e x解 和 1是对其应的二阶次线性齐微方 1分

的程个两线无性关特解的故对，应齐线次方程性的通解

为y

 1c c2 e

x 又y1 x 是 个二阶这齐次线性非微分方程特解，故的这个方程的解是通

yc 1 c2 e x x . 4． 求

下列次线性齐程方通解的在给定或条下件的解特 ：1( )y″4′y4y0; 2( y″)y′y20 (;)3 ″y5y′y6, 0(y0), 1y′()0; 6(4 )y″2′10yy0,y

π(π )0, y′ ) e(6 ． 6

6

π

解：（ 1）特征程方为r  4r2 4 0 ， 它有两相个的等特征根r1  r2 2 ,以，所求的所解 通为y  (c 1c 2x)e. （ ）2特征方程为r 2 r 2 0 它有两,不个相等的特征根实 1 r 1 r2 ,2, 故 求所通的解 为 y c1ex

x

 c2 e22 x

（.）特征方程3 r为 2  5r  60 它有两个，不等相实的征特根r 1 ,2 2r 3 ,故 求

1所

5eGnearedt byFo ixt PFDCrea tr oFxoitS fotwreah ttp/:www./fxitsoftwora.coem oFr evluataon oilny.

的通解为 y ce

1 x2

c2e  3x .2

x

由 y

(

0)  1 得c1 c 2 ,又1 y由 () 0 6及  y 2c1 e程方组

32 e3cx 得c1 23 2 c  ， 6解



1 cc  1  22c  1c23 6

得

c1 9 2 c 8

以所原，方程足满始初条件特的为解 y 9 e2x  8e3 x. 4）（特方征为程 2 r r2 01 0, 有它个共两复数轭， 根1r,2 1 3i ,方故程通解为的

ππ π 1y e x c(1 cso 3 x 2csin x3 )，由 y(  0, y)( )  6 e得 c1  , 2c=0,故所 求特为: 解 63 6

y 1  exc s o3x 3

5．求下 列非齐线次微性方分的通程解给或初定条始件的下解：特 1( y″)y3′10y144xe2; (x2 y″6y′)8yx284x2 (;)3y y″cs3xo y(,

π π)4,y′ ( )1 2 ;2

y0)(,y′(0)01．

(4

) ″y8′y16yex,4

解： 1（）特 征程方r 2 3 r 01  0两个不相有的实等数根r1  5,r 22 ,故应齐次对方的 程解为通

Y

c e1 5  c2x e 2

因为x  2 是不征方程的根特，故特解可为

* y (x A Be) 2x

则

y

 * 2 (A  xA 2 Be )2x , y*  ( 4Ax  B  44A xe) 2

x代原入方可解得

程A 

1, 2B  .1

所 y以*  (  11 x)  2e x . 所求2解为通

y 1( 12 )ex 2x c1 5e x c 2 2 e

x（2）征方程 特 r2 6 r 8  0 有两个不同 的特根征r 1 2, r  24 故对应齐次方,的程通

1

6

Gneretead y bFxoit DP FCerato r Foxi Stotfwre httpa://ww.fowxtsioftwreacom.F o eravuationl noyl

解为

.Y

c e1 2x c 2e 4

又因x为  0是不特方程征的根，可故设解特

为y * A 2x bx c

则 *y   Ax  B2, y*  2A 代，原方程可入解

得

A 1,B 2, C  1,

故 y * 2x 2x  1 ( x 1)2 .

2x 4x 所2求通为解y (x  1 )c e 1c2 e .

（3）特征方为 程r2  1 0 ，它有 个共两数复 r1根, 2i 故对应齐次，方程通解的为

Y 1cc os  xc 2sn i

x察考程 y方  y 3iex ，为因w  3 i是不征方程的根特，故设可特解

y 为* eAi3x

则 y *3 Ae3iix ,

1 y*

  9 Ae3xi ,入代程 方y   y e3x i得 , A ,以 所8 1 y 1*  3iex (c os3x  isi n3 x 8)8

取

y 的实*部，即得到方程y  y co s x3的 特.

解1

y 1*  cs 3 x o

8原方故 y 程 y  co 3 sx 的通为

又解

1

y  os cx3 1cc o sx c2 si n x8 3y  sin3 x c1 sin x c 2co xs8 5π  π 4, y  1 c得1 c2, 4 ,故所 求的解为特 8 2 2 1 5y   cs ox3 csox  4s i nx8

由初8条件始 y

2 4（特）征方程 r r 8 1 6 0 有两个相的等根实r1 r2  4 故，应对次齐程方通解

的为

:17

Gneretae db yFxotiP D CrFateo r oxiF Stoftwaerh ttp

:/ww/w.fxiotoftsarwe.com Fo evaluration nly.o

y

(c1 c2x e4 )x因为

 4 特征是方程重根的故可设，特解为

y* Ax 2 e4 x将

其入代程方 y  8 y 1 6 y e 4 得x A 所以原方程特解的 y为

1 21 x4* ,故解特为y  e 2x2

1

24x x e (c1 c2 )e 4xx .2

4x 2 4x 4 x4 又x y由 xe  2 x e  c2 e 4 2 cex及 (0y) 1, 得c 21 .

所以所，求特解 y为 

1

42xx e xe x4 2.f′(

x)2x

6

设对．切一数 x实函数 ,(f)连续且满足等x式



x

0

f

( t)d t， f(且0),

求2数函f(x )． ：方程解边两求得 f导( )x 2 x f ( x) ，即y   y  2 ，x特征方 程 2r 1 0 两有不个

同xx 的实根 r 1 , r2 1 1 ,对故应次方程齐通解为的Y c1e c 2e.

因  为 0 不 特 征 方是 程 的根 ， 故 设 可 解 为 特y*  x AB , 入 代原 方 得

A 程 2, B 0，故 特为解y *  2 π 所，方程以通解的

为y  x2  1e xc c e 2 .x

xx 由 已 知f(0) 2 得c1 c2 2 ， 又由 题 得设f (0) 0 , y及   2c 1e  c 2 e得

c

1 c 22 . 解

方程

c1  c 2 2得 c  1,2 c  20 c1 c 2 

2所

以满题足条件特设解为

y

 2x  e x

即2

f

( x)  2 x e x .2

7． 二设常系数非齐阶次线微性分程方 ″ay′ybyex 的一特解为个ye x2(1x)x,e试确常数定 ,a,b求并该微分程方通的．解解：将 已给的特代解入原程方得

，

( 42 ab) e x 2 (3  2  b)aex (1  ab) ex  x ex1

G8neertad beyFo xi PtDFC eatror oxitF ofSwatr hetpt//w:wwfox.isoftwatr.ceom Fr eoalvautoi nolyn

.比较两

端类同的系数，项有



 24  ba 0 1 a b  0 32a b  

解得 a 3 ,b  2  , 1 .是于原程为方

y

 3 y  y2 e x.其

特 征 方 程 为 2  3r r 2 0, 征特 为根r1  1 ,r2 2 ,对 齐 次 方 程的 通解为

Y 1ec  xc2 2 ex

.又因为 1 是征特程方的单，根设特解故 为 y  A*xex ,代程 y方 3 y  y  2ex ，可 得解A 1=故,解为 y * 特 x e x所以该微分程方的通解

为 y c1e x c e 22 x x e x.

．8设 数函(x)可微，且满足x

(x)ex (t x )(t ) td

，

求0(x)．解： 由 ( x ) e x





x

0( t  x) ( )dt 得  (t0  1 )又 , (x ) e  xt  t() td x ( t d)

t 00

x

x

两求边得导  ( )x e x  x x ) (



x0

 (t )dt

x( x) 即,x 0

 (

x ) e  x   ( t)d t从，而 () 01

再求 得 导 (x  e )x  (  )x 即 ,y  y e 可x 求得 对 应齐 次方 程 的

通

解 为 Y 1c cs o x 2 csn x i 又, 因  为  不1 是特 征方 程

2r 1 0 根，故可设的特为

解 y * Ae x

1 1x,故 方的通程为 y解 c1 co sx  c 2sin x  e.又 221 x1 1,所 由 以( )0 1 , 0( ) 1及 y   1csin x  c 2cosx  e得 c  ,1c2 2 2 2 1 y  1c(sox  in x s xe ，即) ( x)  c(s xo s ni x  e x) .2

将2其方代程y   y e x 可求中得 A9 ． 方程求y ″′y2y3e x在x 0 处直与线y x相切解．

的1

9

G

eenaredtby F xio PtF DrCeatro Foxi t Sfotawer htpt//:ww.woxftiostfawre.cmo oF revluatianoon l.

y解

： 特征方 程r 2   r2 0有 两 个 实根 r 1  1 ,r2 2 , 故 对 的应 次 方齐程 的通 解 为

Y c1e x 2ce 2x ,因又 为 1 是特征程方单的，故根方程可特的为

解

y * A xe x

代原入程可方得 A解=1-故原方，的通解为

程y

ce1 x  2ce 2 x e x x L (1,

)已知在 x  由 处0直与线 yx 切，则相 (y)0 0 ,y0)( 1 ，又

y  1ec x2c 2e2 x e x xe x,L (2 )

将y( ) 00, y(0 )1 分 代别入（1） （2，式中）得

c1  2c 0 2 2 可解 c得1  , c2  3 3 1 c c22 2所

以，求所的解 为 y 

2 x

2 2 x e  e x  xe 3 .

y(x3)1

1． 0设数 y(x函的二阶导函)连续数且y ′0(),0试由程

1 方 xy t )( 2 y(t )  6t e  t d 3t 



0

确

定此函数．解： 方程 两边对x 求得 y 导 (x ) [ y(x ) 2 y () x6 xe ] 即 ,y  3 y  2 y  6x e x L ( 1

)x

1

3

2它 特征的方 程r r 32 0 有个相两异实的根r1 1,r 22, 故方程1）（对的应次齐

方程

的解是通

Y

1ec x c2 e 2

x又  1 是 征特程的单根方故，程方1（）特的可设为

解y

 *x Ax( )eB x  ( x 2A Bx  e ) x将其代

入程方1（ ），可得解A 3, B  6 ，从特解为 而 *y (3 2x 6 x e ) ，方程（1）的x 通解为

yc e1 x  2ce  2 x (x3 2 6 )e x x, (2L

) y (由x ) 1

 1 xt   [0 (y )t  2 (y t) 6 te ]dt得 y(0  1),  3

又y  c e  x1 2 c2e 2x  6 x ( )e6 x ( 3 2 x 6 )e xx , (3)L

由

(0) y1 ,y (0 ) 0 (及2,)3(式可)得20

Genretade ybF xiot PF CDratoe r Foxi Stotwarfe tht:p/www/f.oitxsotfare.wcmoFo r evlaaution nly.

o

c1  2c 1 c1 2c 2 6

解得

1 c8 c2  7

故程方1）（满的已足知件 条y( 0) 1 , y0) (0 的特解

为y

8  xe 7e2 x ( 3 x2 6 x) e x 即

由所方程确给的定数函为

y( x ) 8  ex 7 e2 x  3 x 2 (  x6e)

1x． 一质点1徐

徐

地沉入液，体沉当时，液入的反作用力与体沉下速度的成比例正求质， 点的动运律． 解规：题由设件条牛与顿第二定律

有

md2 s

ds m  kg 2 dtdt

k 为(例比数系)

即

d 2sk ds  g L ,1( dt m )d

2t

这是

一个二线阶性非次齐方程它的，征特方程 

r

kr  0 有 两个不等相实的根m

r , r0 

k 

tk ，它对 的应次方程齐通解 的 s c1 c 2 me, 又因  0特方程征的单根故， mk

代入方

程1） （得可 A 可设解为特 s * tA，

t mgmg t . ，故程 方1） （通解的为 s 1c  c 2em  k k

k k mg s m d0 ，其将代入上式可解两得且 s   c 2 e，又 开沉入始即 时t0=时， s  0, d mtk

c 1 



2 gm m g2c   ， .而因 有 2k2k2 S 

 kt 2 mg 2mg  m m ge  .t2 2 kk k

习

题10 4 ． 某公1司办公用品的平月均本成 C与 司公员雇人 x 数有下关系：如 ′CCe2x2C 且 (0C1), 求(x)C

．2

1

Gneeraetdby oFxi tDFP reaCotr Foxt iofStwraehtt :p/ww/wfo.ixtsotwfrea.oc For emavultion anlo.y

解 :

方 C程 C 2 e x 2 C 可 变 形为 :C  2  C ex  C2 ,这是  2 的伯 利努方 程 , 令

Z  C1

  C2 1 ,方 程可 化 为 : Z   Z2  e  x 这,是 一 非阶 齐次 线 性 微 方 分程且 P (x)  2, Q( x  ) e x, 其解通:

为 d2x2 x d Z  ( e (e  )xe dx m )e 2 x ( e 3 x dx  m

)

1 1e 2x ( e x d3x m) e x  em 2x3 3 1 1x 2x( 了与为成本C 区,这里的任意别数常用 表m示,)于是 e  e ,由已m知 C(0)  1 , 可 3C得

m :



1 1x 2 2x 12 e 3 3x xe C2( x  ),从而  e e  , 以 . 所 3 3 3C e3 1 x2 3e

xa ,S

． 设2 R(t)R小汽为的运车行成本S，(tS为)汽小的车卖价值转它，满下列足方：程 ′R ′bSS,

其中

a,b为 正已的常数，若 R(知0)0S,0)(S(购0买本成)， R求(t) 与(tS) ．:先解一阶线解方程性 S  bS,求 出S (t ) ,分离变量得: 由已 条知 S件( )0 S0 可,得C 1 S ,所0 S (以 ) t S 0e

 t

bd

S b dt 积,分得S  C e1 bt,

 Stb

将 S (t,) S 0e

代入所给

程方

R



a a

tba bt a得:R  , e 积,得: 分(R )t e 2 C由已,条知件 R0() 0 C得2  SS0 b S0bS0

所 以R ( ) t

a

bta e. S0 bbS0

．3 设 DD(t为)国民债务，YYt)(国民为入，收它们满如足下关的：系 ′DY,Y′ Y中其,,为正知常已．数 1() 若 D(0)0,Y(0)D0,求 YD()和 t(t); (Y)2 极求限 lmi

t





D( ) t Y (t．) d

 Y dt ,分得积 Y C1 et ,由 Y(0 ) Y0 得Y

解

(1):解方程先Y  = ,Y求出 Yt() ; 分离量得:变

1 C Y , 0所 Y以 (t) Y0 e t ,将 Y (t

) Y0 et 代入 D  Y 得中 : D= 0 e Yt  ,积 分得

D

Y0 t Y e  t C 2 ,由 D 0() D 0得 2C 0 D 0 ,以所 

2

2

Gneraeed bt Fyxoit DFP reaCtro Foix toftSwre atth:p//ww.woxitfsfotare.wco moFr eavulaiotnonl y

.

(D ) 

tY0   tYe   t 0D 0 .  

0Y t  Ye  t D0  0  Y0

e

t(

) 2lim

t



Dt ( )li Y (tm t) 

 im (

l t

  t D0

 t   t    e  e ) Y0 e  t 0 Y



．4 C设C()t 为t 刻时的费消平，I水It(为 )t 时的投刻资平，水YY()t为 t时刻的国 收入，民它们 满下列足方程

 Y C I , C aY , 0b a 1, b 0 ,a b均,常为数,I kC  k  ,0为常. 

(数)1 设(Y)0Y0，求 Yt)(C(,t,)(t)I ;() 2极限 li求m

Y

( t) t    I(t)

解: ()1 C由 a Y 得 bC  Y a ,而I  kC  kaY ,于是Y  C I  a Y b  kY a,即 有 Y

a 1  b a1 b Y, 这 一阶非是齐线性次分微方 , 程P ( )t ,Q ( t ) ,其通 解 a kaka kk

a a 1 a1 1 a k dt (a b e a kd dtt  m )  bme a k t 由,Y ( 0 )Y , 得m  Y b 所以 0 ,0 ak a  1 1

为a:  Ye

1

a tb bb 1 a  (Y t)  Y0  (e)a ,k了方便起见为记 ,e Y ,  ,则  1a k 1 aa 1 

Y a( t )Y e (Y0 Ye ) et, 是于 C t ( ) aY  baYe a( 0 Y Y )e et b  a Y(0 e )Y e t Ye ,

I( t) C k k a  Y0 ( Y )e te k  a

2( l)im

1

 (aY 0 Y ee)t  1( a )(Y  Y0e e) t. k

aY(t ) Y ( Y)e t Y 1 eYe1 .  ilm0  leim (  e t ) t  I( ) t  t1  (a)(Y  Y)e  tt  1 a (1 a ) Y0( Y e) 1 a0 e

2

3