离心率问题的解题策略及方法
离心率问题的解决策略及方法
河北省正定县第一中学-----赵志军
离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质，是刻画椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度，纵观近几年高考，求离心率的值或范围的问题在高考中屡见不鲜, 其表现是：题型多样，解法灵活. 本文介绍一些常用的方法，供同行参考。
一．定义法
利用圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。
x 2y 2
例1. 设F 1, F 2是离心率为e 的双曲线2-2=1的左右焦点，若在双曲线的左支上存在点
a b
P ，使PF 求双曲线的离心率e 的取值范围 1是PF 2与点P 到左准线的距离d 的 等比中项，
解
析
：
PF 1
,
是
PF 2
与d 的等比中项等价于
PF 2PF 1
=
PF 1d
=e
∴PF 1=ed
(1),
PF 2=e 2d
(2),又因为
a 22a 2a d =2⇒2≥a -(左支上的点到准线的PF 1-PF 2=2a,∴e d -ed =2a , ∴e -e c e -e
2
a 22
最小距离为a -）∴e -2e -1≤0（e >1), 解得1
c
此题也可这样来解：由双曲线的第二定义，知
PF 1d
=
PF 2PF 1
即PF =e ，2=e PF 1 (1)
又由双曲线的第一定义，得PF 2-PF 1=2a (2) , 由（1）（2）解得
2a 2ae
PF 2=. 在∆PF 1F 2中，PF 1, P , F 2三点共线时，1+PF 2>F 1F 2, 当F e -1e -1
2a 2ae c
+≥2c e =, ∴(3) 式可化为∴e 2-2e -1≤0解. （3）∴PF +PF =F F 1212
e -1e -1a PF 1=
得1-2≤e ≤1+2， e >1，∴1
1
点评 ：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来，通过构造离心率e
的不等式，从而顺利实现求解目的.
二．公式法
圆锥曲线离心率的公式为e =
c a
例2. 若双曲线的渐近线方程为y=±3x , 则它的离心率可能是
A. B. 2 C.
2或2 D. 3
3或
2 3
解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有
b 1b
，或=（2），由（1）=（1）
a a 3
c c 2⎛b ⎫⎛b ⎫
得= ⎪+1=2，由（2）的= ⎪+1=，故选C a a a a 3⎝⎭⎝⎭
例3，已知F 1, F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
22
A.
22 B. C. D. 3322
解析由椭圆的定义可知, AF 2是正三角形，1+AF 2=2a , ∆ABF
AF 2=∴AF 2=2AF 1, ∴
42c
a , 从而cos 300=, ∴e =, 选B
4a 333
点评：以上两例将求离心率问题转化为求a.b.C 关系的问题，其中例2运用了整体思想将看做一个整体, 利用离心率e 与
b
a
b
的关系. a
三．函数法
x 2y 2
例4. 若直线l 过双曲线2-2=1（a>0,b>0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交
a b
点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 A. e >
2 B. 1
a 2+b 2b 2b b 2
=1+2>5 解：双曲线的一条渐近线y =x 要满足题意须>2，由e =2
a a a a
所以e >，选D
x 2y 2
例5. （2004年全国I.21）设双曲线C:2-2=1（a>0)与直线l: x+y=1相交于两个不同
a b
的点A,B, 求双曲线C 的离心率e 的取值范围。
⎧x 2-y 2=1
⎪a
解：由C 与l 交于两个不同的点故知方程组⎨有两个不同的实数解，消去y 并整理得
⎪x +y =1⎩
2
(1-a )x
2
2
+2a 2x -2a 2=0所以4a 4+8a 2(1-a 2)>0且1-a 2≠0解得0
61+a 2
a ≠1, 因为双曲线的离心率e =a ≠1e >+1=, 又，所以，且0
2a 2a
⎛⎫
⎪ , 2e ≠2，即离心率的取值范围为 2⎪
⎝⎭
2, +∞。
)
点评:例4将离心率e 构造成了关于a 为自变量的一种函数，特别需注意a 的范围否则前功尽弃。例5可把
b
看做一个整体仍然是函数问题，注意整体思想。 a
四．方程法
x 2y 2
例6. 已知双曲线2-2=1，一直线经过A （a,0),B(0,b)两点，若原点到直线AB 的距离
a b
为
1
a 2+b 2，则此双曲线的离心率是( ) 2
A.2 B. C 2 D2或
解析：在∆OAB 中，AB =
a 2+b 2
=ab得a +b ，由面积相等a +b ×
2
2
2
2
2
c 2c 2-a 2222
e ，解之得=2，∴e =2故选C c =2a c -a ∴2=2⇒e =2e -1
a a 2
2
2
2
点评：求离心率的值常通过构造关于a 与c 的齐次等式，并进一步转化为离心率e 的方程，
只需解e 的方程即可.
五．向量法
x 2y 2
例7 .双曲线2-2=1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
b a
A.2 B. 3 C. 2 D.
3
2
解析在双曲线的一条渐近线上取点(b , a )，由对称性知A ' (b , -a )必在另一条渐近线上，记
OA =(b , a )，OA ' =(b , -a ).
2
2
OA ⊥OA ' , 所以OA ∙OA ' =0，所以b 2-a 2=0，即
c 2a 2+b 22a 2
b =a ，∴e =2==2=2，∴e =2，选C
a a 2a
2
点评：向量常与解析几何结合，但向量主要作为工具来使用，向量的运算比较简单，应树立
应用向量解题的意识.
六．比例性质法
在椭圆或双曲线含焦点的三角形中, 若已知两个角, 可用正弦定理及比例性质来求 离心率。
例8. 已知M 为椭圆上一点, F 1 , F 2 是其两个焦点, 且∠MF 1 F 2 = 2α, ∠MF 2 F 1 =α（α≠0）则椭圆的离心率为( )
(A) 1 -2sin α (B) 1 - sin2α (C) 1 - cos2α (D) 2cosα- 1 解 由已知及正弦定理, 得|
MF 1MF 2F F
==12，由比例性质，得sin α2αsin 3α
，
所
以
MF 1+MF 2F F
=12
sin α+sin 2αsin 3α
F 1F 2s 3α3s αi -4s 3α3-i 4s n 2αi n i e =====2c α-1
MF 1+MF 2s α+s 2αs i α(1+2i c α) 1i +n 2c αn o n o
故选D
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