趣味数学资料

趣味数学

科学的灵感，决不是坐待可以等来的．如果说，科学上的发现有什么“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人． ----华罗庚

哥德巴赫猜想

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。简称“1+1”。例如：

6=3+3 100=3+97 1000=3+997

8=3+5 102=5+97 1002=5+997 …… 12=5+7 104=7+97 1004=7+997

哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都说明这个推断是正确的。以后有人对偶数进行了大量的验算，从6开始一个一个地一直验算到三亿三千万个数，都表明哥德巴赫的发现是正确的。

但是，自然数是无限的，是不是这个论断对所有的自然数都正确呢？还必须从理论上加以证明，哥德巴赫自己无法证

明。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的想法:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。因为没能证明，不能成为一条规律，所以只能说是一个猜想，人们就把哥德巴赫提出的那个问题称为“哥德巴赫猜想”。

从此，哥德巴赫猜想成了一道世界有名的难题。有人称它为“皇冠上的明珠”，它好比是数学上的一座高峰。谁能攀登上这座高峰呢？二百多年来，许许多多数学家都企图给这个猜想作出证 明。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen„s Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。

1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c 是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫

(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。

四 色 猜 想

世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图

都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德. 摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

费马大定理

费马大定理(又名费马最后定理) ：当

无正整数解。

费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，时，方程

突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式

当

理）：的正整数解的问题，时就是我们所熟知的毕达哥拉斯定理（中国又称勾股弦定，此处表一直角形之斜边而、为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等于它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解。 费马声称当

方程式时，就找不到满足的整数解，例如：就无法找到整数解。 当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马大定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P. Wolfskehl ）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。

二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助

电脑运行5782秒证明当为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。

虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终于解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles ）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

五○年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。

在八○年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。

这个结论由威利斯在1993年的6月21日于美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终于交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终于结束。

1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。

分形——真实还是想象？

多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念(诸如点、线、平面、空间、正方形、圆、„) 来描述我们这个生存的世界．而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象．分形就是这样一种对象．

分形的思想初见于公元1875至1925年数学家们的著作．这些对象被贴上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值．它就是今天人们众所周知的分形．分形一词是曼德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现．

雪花曲线是一个分形的例子，它是在现有等边三角形的边上加上等边三角形而形成的．

从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样．这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直．分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形．计算机和计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观．

可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点．分形是一个新的数学领域——有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用．

皮亚诺曲线是又一个分形的例子，还是一条充满空间的曲线．在一个空间充满曲线是指在给定范围内的每一个点都被曲线经过，随曲线的描绘整个空间逐渐变黑．图例是一个不完全的痕迹．

自然中的数学 蜜蜂为什么选择了正六边形?

正三角形固然坚固，但空间狭小，且相对费料 正四边形两侧又不太牢固，容易遭到外部力量的破坏 正六边形——边相互对接紧密；结构坚固；用料较少，经济实用

自然中正六边形的身影？

蝉与数学

大约五、六年前，记不得是哪一年了，那年夏天美国的蝉特别多，不仅鸣声如雷，昼夜不停，扰人清梦，而且由于过多的蝉吸食树的汁液，树木也显得比往年枯萎。大家都感到奇怪，为什么突然冒出这么多蝉来呢？据报道：昆虫学家作过仔细的研究，和其他许多昆虫一样，蝉的一生分为四个阶段：从卵开始，卵孵化为幼虫，幼虫再变为蛹，蛹最后蜕化为成虫-—就是我们看到的蝉。在蝉生命周期的四个阶段中，前三个阶段都是蛰伏在地下。只有到最后的成虫阶段才钻出地面，吸食树的汁液，寻找配偶进行交配，然后产卵在地下。到秋风起、寒露降时，这一代的蝉就在完成了自己的生命周期后死去。有一种美国蝉的生命周期是１７年，那年恰好是这种蝉生命周期的最后一年，成虫从地下爆发出来，形成所谓“大年”

。还有另一种美国蝉的生命周期

是１３年，即每隔１３年爆发一次。

细心的科学家注意到１７和１３两个数都是所谓的“质数”。质数是数论中的一个概念，它是整数中的一类，除了１和本身以外没有其他的整数因子。换言之，除了１和本身以外，质数不可能被任何其他整数所整除。科学家心想：蝉的生命周期为什么偏偏是质数呢？在常人看来，这个问题似乎荒唐可笑，生命周期是什么数难道还值得研究吗？但真正的科学家是不会轻易放过任何可疑线索的，一定要寻根究底，不水落石出决不罢休。

科学家经过仔细研究，终于弄清楚了，原来这是蝉生存及种族繁衍的需要。蝉的生命周期长达十几年，在这漫长的岁月中，除了最后一年的夏天以外，都是在地下蛰伏。好不容易钻出地面见到天日，蝉希望能好好利用这个一生只有一次的短暂机会。俗语说：“不是冤家不碰头”，蝉当然希望碰到“冤家”越少越好。蝉的“冤家”——天敌和与之竞争的昆虫都具有不同的生命周期：１年、２、年、３年、４年„„各种年份的都有。蝉以质数为生命周期是最佳选择，因为这样出土时可能碰到的“冤家”最少。以１７年生命周期为例：蝉的第一代出土时是上一代产卵后的第１７年，因为１７是质数，除了１和本身以外没有别的整数因子。它碰到的只有以１年为周期的一种“冤家”，所以对蝉来说这是很聪明的选择，不妨称之为“聪明”蝉。这也可以从反面来分析：假如有另一种以１８年为生命周期的“笨”蝉，第一代在１８年后出土，因为１８不是质数，具有许多整数因子：１、２、３、

６、９以及１８。所以就会碰到许多“冤家”，包括：１年、２年、３年、６年和９年为周期的，一共五种“冤家”，这要比１７年为周期的“聪明”蝉的多得多了。不仅第一代出土的蝉是如此，其后代子孙也是如此，仍以１７年周期的“聪明”蝉为例：第二代出土时是第３４年，这时它碰到的“冤家”只有周期为１年和２年的两种。以１８年为周期的“笨”蝉的运气就差得多了，它的第二代出土时是第３６年，碰到的“冤家”很多，包括：１年、２年、３年、４年、６年、９年、１２年为周期的，共有七种之多。依此类推，第三代出土的“聪明”蝉与“笨”蝉碰到的冤家数目也有很大的差别。至于以１３年为生命周期的蝉的命运如何，相信读者们能自己算出来。

至此，聪明的读者心中一定已经有很多疑问：一、难道蝉真有“聪明”与“笨”之分吗？二、难道蝉真的懂数论吗？三、难道蝉对自己的生命周期真有选择的自由吗？四、科学家是否在自作聪明？„„下面就这些问题加以讨论：先讨论第一个问题，蝉并无大脑，不会思考，它的本领大多是来自先天遗传的本能，所以如果真有“聪明”蝉与“笨”蝉之分的话，也只不过是遗传的优劣而已。

第二和第三两个问题可以合并讨论：数论之难是出了名的，就连数学家都感到头痛。常人中懂数论的更是少之又少，蝉当然不可能懂数论。聪明之人尚且无法选择自己的生命周期，更遑论蝉矣。但既然如此，蝉的生命周期为什么会与数论的原理相符合

呢？原来答案在于“进化论”中“物竞天择，适者生存”的自然选择规律。太古时，蝉的祖先可能具有各种不同的生命周期：１年、２年、３年„„以至１７年、１８年都有。它们之间互相竞争，经过亿万年的进化过程，自然选择规律在起作用。在前面的讨论中我们已清楚地看到，生命周期为质数的蝉由于“冤家”少，在生存竞争上占显著的优势。优胜劣败，劣种被淘汰了。所以剩下的是以质数为生命周期的现有品种，就不足为奇了。因此答案是：蝉本身并不懂数论，也无法自己选择生命周期，而是由于自然选择规律，蝉不自觉地“利用”了质数的特性而已。

再来讨论第四个问题：科学研究结论的正确性是由实践来检验的，生命周期为质数的蝉之竞争优势至少已由美国的两种蝉证明了。以后如在世界各地再发现类似的例子，就可以证明科学家的结论是正确的。但如发现反例，就需要研究其原因，然后再修正理论。

我们从蝉的这个小故事中或许可以学到一点东西：其一，谁说数论没有实际应用？连蝉都会“利用”，难道人反而不能利用吗？所以数论并不是没有实际应用，只是尚未发现而已。其二，我们已看到蝉要生存，种族要繁衍，就必须服从自然规律。其实一切生物都是如此，万物之灵的人也不例外。但有一点不同，人可以通过认识规律自觉地顺应。孙中山先生说：“世界潮流，浩浩荡荡，顺之者昌，逆之者亡。”证诸生物进化以及人类社会发展，确为至理名言

埃舍尔画中的数学奥秘

镶嵌图形

规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有

重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构

成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形

状, 例如经常在地板上使用的方瓦。然而, 埃舍尔被 豪华装饰的草图每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; (92k） 并且对一种他称为metamorphoses （变形）的形状特

别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突

破平面的自由。他的兴趣是从1936年开始的，那年他

旅行到了西班牙并且在Alhambra 看到了当地使用的

瓦的图案。他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些 "是我所遇到的最丰富的灵感资源" ，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：" 在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了. . . ，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。"

无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。

鸟分割的平面 （21k ） 蜥蜴（65k ） 循环（40k ） 逐步展开1（59k ）

在 "蜥蜴" 里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风, 然后又重新陷入原来的图案。埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式。在 "逐步展开1" 中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化。

多面体

规则的几何体, 例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅

力。他把它们作为许多作品的主题，并且在许多作品中作为第二

重要的元素出现。仅仅只有五种多面体被称为理想的多面体。四

面体有四个三角形的表面；正方体有六个正方形的表面；八面体

有八个三角形的表面；十二面体有十二个五边形的表面；而二十

面体有二十个三角形的表面。在木版画" 四个常规的几何体" 中，

埃舍尔把理想多面体中的四个匀称地交叉了，并且使它们呈半透

明状以便每个都可以透过其它得以辨认，请看漏了哪个？

有许多有趣的几何体可以通过理想几何体的交叉和星形化来获

得，即几何体的每一面都由表面为三角形的金字塔形来替代，通过

这种变换，多面体转变成了一个尖锐的, 三维的星形几何体。在埃

有序和无序

（61k ） 舍尔的作品" 有序和无序" 中我们可以发现. 一个美丽的星形十二面体，星形的轮廓隐现在一个水晶球中，严谨构造的美丽与在桌子上

混乱摆放的其他的杂物形成了鲜明的对比。注意一下还可以猜测到

光的来源，球面上反射出左上方有一个明亮的窗口。 交叉的几何体也常常出现

在埃舍尔的作品中, 其中最有 四个规则的几何体（42k ）

趣的是一幅木版画" 星" 。这是一个由八面体、四面体、立方体和其他东西

交叉构成的几何体，我们不妨这样认为，如果埃舍尔简单地画一些数学的

形状并且把它们放在一起，我们也许永远不可能听说他或他的作品。相反,

通过将变色龙放置在多面体内并向我们嘲笑和恐吓的构思，埃舍尔给了我

们一种奇异的视觉刺激，使我们对他的画刮目相看。显然，数学家们对埃

舍尔的作品颇为赞赏的另外的原因就是所有伟大的数学发现背后都具有

与此相同的感性和创意。

星（44k ）

空间的形状

在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作品中，

最重要是处理空间性质的那些。他的木版画" 三个方

向交叉的平面" 是评论这些作品的好例子, 因为它显三个方向交叉的平面示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式表（27k ）

现三维的能力。在下一节我们将看到，埃舍尔经常利

用了后者的特征来获得令人震惊的视觉效果。

受一位名叫H.S.M Coxeter 的数学家在一本书中

绘画的启发, 埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间

的作品，例如木版画" 圆形限制III" 。这是非欧几里

圆形限制III （71k ）

德几何学的二种空间之一，在埃舍尔的作品中它的原

型实际上源自法国数学家Poincaré。要得到这个空

间的感觉，必须想象你实际上是在图像的内部。当你

从它的中心走向图像的边缘，你会象图像里的鱼一样

缩小, 从而到达你移动后实际的位置，这似乎是无限度的，而实际上你仍然在这个双曲线空间的内部，你必须走无

限的距离才能到达欧几里德空间的边缘，这一点确实不是显而易

见的。然而, 如果你能仔细观察 的话，你还可以注意到一些其

他的事情, 例如所有类似的三角形都一样大小，以及你能画没有

直边却有四个直角的图形，这就是说，这个空间没有任何正方形蛇（72k ）

或矩形。这确实是一个奇怪的地方！

更不平常的是木版画" 蛇" 所表现的空间，在缠绕和缩小的 环的表现下，空间既向边界也向中心延伸并且无穷无尽。如果你

在这一空间里，你将是什么模样？

除了欧几里德几何学和非欧几里德几何学，埃舍尔

对拓扑学的视觉效果也很感兴趣, 拓扑学是在他艺术

创作的鼎盛期发展起来的一个数学分支。拓扑学关注空

间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或

弯曲，但不是撕裂或折断。拓扑学家们忙于向世界展示

那些奇怪的物体，莫比乌斯带也许是最主要的例子，埃

莫比乌斯带II 舍尔利用它创作了许多作品。它有一个令人感兴趣的性

（32k ） 质--它只有一条边和一个面。这样, 如果你在 "莫比乌

斯带II" 上跟踪蚂蚁的路径, 你将发现它们不是在相

反的面上走，而是都走在一个面上。制作一个莫比乌斯

带很容易; 只要用剪刀把纸剪成条状，将它扭曲180

度, 然后用胶水或胶带粘住两头就可以了。如果你试图

把这条东西纵向的剪成两半，请你预想一下会发生什么

情况？

另外一幅很著名的平版画, 叫做" 艺术画廊" ，它探

索了空间逻辑与拓扑的性质。一个年轻人在一个艺术画

廊正看着海边小镇的一角，在船坞边有一家小店，在店

艺术画廊（57k ）

里面是一个艺术画廊及一个年轻人--他正朝着海边小镇

的一角望去. . . 但是等一下！发生了什么？埃舍尔的

所有作品都值得细细观赏，但是这一次尤其特别。某种

程度上, 埃舍尔把空间由二维变成了三维, 使人感觉到

那个年轻人同时既在画像内又在画像外面。

达到这样效果的秘密在艺术家创作这幅平版

画的格子草图中有所显现注意格子的边框连续地

按顺时针方向排列这一规律，并且特别注意这个技

巧的关键：在中间的一个洞。一个数学家将这叫做

奇异点，一个空间的结构不再保持完整的地方，要

将整个空间编织成一个无洞的整体是非常困难的，

埃舍尔也宁可保持这种现状，并且把他的商标

initials 放在了奇异点的中心。

空间的逻辑

这里所说的空间的逻辑是指物理中的物体之

间的那些空间的必要的关系, 在产生违背视觉的

悖论时，被叫做视错觉。所有的艺术家都关心空

间的逻辑，而且许多艺术家深入地探索了它的规有带子的立方体（46k ） 律，例如毕加索。埃舍尔知道：立体几何学决定

了空间的逻辑，同样地，空间的逻辑也经常决定

其自身的立体几何学。他经常使用的空间逻辑的

特征之一是展示在凹面和凸面物体上的光和阴影。在平版画" 有带子的立方体" 中，带子上的凹凸是我们觉察它们怎样与立方体缠绕在一起的视觉线索。然而, 如果我们相信我们的眼睛，那么我们不能相信这带子！

埃舍尔关心的另一个主要方面是

透视。在任何透视画中，趋向消失的

点被选择用来代表无穷远。正是由于

Alberti 、Desargues 以及其他一些人

在文艺复兴时期对透视和趋向无限的

点的研究直接导致了现代射影几何学

的出现。 通过一些不平常地消失的点高和低的引导并迫使一幅作品的基本元素去（37k ） 服从于它们，埃舍尔能够使作品" 上和

下" 、" 高和低" 表现的场景取决于观众

观察它的目光如何。在他的名为" 高和

低" 的透视作品中，艺术家总共设置了

五个消失点：上方的左边和右边，底 部的左方和右边，以及中心。其结果

是：在作品的下半部观众是在往上看,

但是在作品的上半部，观众是在朝下看。为了强调他所取得的成功，埃舍尔把上半部和下半部合成了一幅完整的作品。

这种另类的" 不可能的绘画" 用二

维的图形表示并构造一个三维的物

体，它们主要依靠人的大脑通过视觉

暗示来理解，埃舍尔创作了许多这种

瀑布（53k ） 表现反常规图形的作品。其中最吸引

人的一个创意源于一个叫罗杰·彭罗

斯的数学家所提出的不可能的三角

形。在这幅名叫" 瀑布" 的平版画中，

两个彭罗斯三角形被结合成一个不可

能的形状。一个人如果明白空间的逻辑对如此的一个构造就必然会觉得不可思议：瀑布是一个封闭系统, 但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动，这就违背了能量守衡的定律。（请注意一下在塔上交叉的立方体和八面体。）

自我复制和信息科学

我们对埃舍尔的艺术所作的最后研究包括了其艺

术与信息科学、人工智能的关系，这在先前的研究中

被忽略了，但是这一点的重要性被道格拉斯·R·霍夫互绘的双手（54k ）

施塔特细心的发现了，并写在他赢得1980普利策奖的

《Gödel，Escher ，Bach ：一条永恒的金带》一书中。

埃舍尔表现的一个核心概念是自我复制--这被许多人

认为已经逼近了大脑知觉这个难题的核心，并且至今计算机还不具备成功地模仿人类大脑处理信息能力。平版画 "互绘的双手" 和木版画" 鱼和规模" 用不同的方法表现了这个思想。前者的自我复制是直接的，概念化的。双手互绘对方，互绘的方式就是意识思考和构建自己的方式，神奇的是，在这里自我和自我复制是连结在一起的，也是相互同等的。

另一方面, 在" 鱼和规模" 这幅画中，自我复制具有

更大的功能; 人们也许宁愿称之为自我相似。这样木板

画描述的就不仅是鱼，而是所有的有机体。因为，尽管

鱼和规模（55k ）

从物理角度来说，我们不是由微小的自我复制建造起来

的, 但是，从信息理论角度说，我们的确是以这样一种

方式建立起来的，因为我们身体上的每一个细胞都以DNA

的形式携带了我们个体的完整信息。 在更深层次的水平

上，自我复制是一种我们的认知世界互相反映和互相交错的结果。我们每一个人都像一本书里的正在读他（或她）自己的故事的人物，或者像反映它自身风景的一面镜子那样。许多埃舍尔的作品都展现了相互交错的世界这个主题, 我们在这里只举一个这样例子。正如通常埃舍尔对这个想法的处理那样, 平版画" 三个圆球II " 利用了球形镜面的反射原理。这里, 正如Hofstatder 提到的那样" 世界的每个部分似乎都包含它，也似乎都被包含进去了， . . .."。这些球体彼此相互反射，折射出艺术家自己、他工作的房间和他用来画这些圆球的纸。

最后，就象本文开头一样我们

用这幅埃舍尔的自我肖像结束本

文，它表现了艺术家的工作，艺术

家被反映在他的作品中。 三个圆球II （51k ）

结 论

我们这里仅仅分析了埃舍尔在 1972年去世之前留给我们的几百幅素描、平版画和木版画中的一小部分。关于他的作品的深度、意义和重要性还有很多可谈，或已被谈过。读者可以进一步更深入地去探索M.C. 埃舍尔留下的丰富的遗产, 并且再思考他从幻想的世界、数学的世界和我们现实的世界中抽象出的这些世界之间丰富的联系。

普通几何学研究的对象，一般都具有整数的

维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴

的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和

自然科学者的极大关注。

分形几何的产生

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。

如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。

如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。

电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。

分形几何的内容

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯

把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入

高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2) 。

对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面) ，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618„„。

分形几何学的应用

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动) ，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次) 下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。

在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈„„，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

其它数学分支学科 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学

分形几何

普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal 一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal 译作“碎形”。 分形几何的产生

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。

在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。

如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。

这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。 电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。

法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形：形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)》，开创了新的数学分支：分形几何学。“分形”(fractal ) 这个词正是芒德勃罗在1975年造出来的，词根是拉丁文的fractus ，是“破碎”的意思。 分形几何的内容

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南

北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2) 。

对于我们上面提到的Koch 曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面) ，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的豪斯多夫维数(分维数) 为d=log(4)/log(3)=1.[1**********]...

分形几何学的应用

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动) ，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次) 下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1.

在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

古代的数学迷宫——图形数

古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。

若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图1－1。

然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，

从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。

像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。设以Tn 来表示第n 个三角数，则Tn 就等于1、2、3„n 个自然数的和，把它列成数学式就是：

Tn=1＋2＋3＋„＋

n

能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。若以Sn 表示第n 个四角数，则数学式就是：

Sn=n2

但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：

Sn=1＋3＋5＋„＋（2n-1）=n2

与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。以Rn 表示第n 个长方数，它的数学式就是：

Rn=2＋4＋„＋2n=n（n ＋1）

在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。

在三角数Tn 、四角数Sn 、长方数Rn 之间存在着各种各样的关系。如图1－7所示，两个三角数的和就等于一个长方数。

2Tn=n（n ＋1）

从而，下式是可以成立的。

假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。

这种关系，如图1－8，用数学式表示，则可为：

Tn-1＋Tn=Sn=n2

让我们再看看图1－9，图中用○符号表示的数是S5；用●表示的数是S6，由图可以看出

4T5＋1=S5＋S6

从而，一般可以认为下式是成立的。

4Tn ＋1=Sn＋Sn ＋1

如果把含有符号×的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。

8Tn ＋1=S2n＋1

希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。他们把五角数排列成

1、5、12、22、35„

把六角数排列成

1、6、15、28、45„

设Pn 表示第n 个五角数；Hn 表示第n 个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。

P n =Sn ＋T n-1，H n =2Sn -n

假如你观察不出来，你可以把五角数中的○那部分看成是S n ，把●那部分看成是T n-1，两者相加不就是Pn 了吗；

另外，可以把六角数中的●部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的●部分不就成了H n 了吗。

下面让我们看看求三角数T1、T2„Tn 之和的情况吧。为了醒目起见，我们把T1、T2、T3„Tn 先各乘上3，然后把3T1、3T2、3T3„3Tn 排列成如图1－12所示的样子，使之成为左右横向是Tn 行；上下纵向是n ＋2列的长方形。于是由

3（T1+T2+„+Tn）=（n+2）Tn

可以得到下边比较易看的关系式：

然后，我们还可以看看求四角数S1、S2„Sn 之和的情况。因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以S1、S2„Sn 的和就可以排列出如图

1－13所示的摩天楼样形状。图中○表示奇数编号的四角数S1、S3、S5„●表示偶数编号的四角数S2、S4„

若在摩天楼的两侧各加上S1、S2„Sn 的话，那么，从上到下的Tn 行与从左到右的2n ＋1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S2„3Sn 之和。因而

3（S1＋S2＋„＋Sn ）=（2n ＋1）Tn

故可将上式变成

也就是可以得到下述的公式：

13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个„n 2个小立方体堆积成

A 、B 、C 三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块，如图1－15所示，在C 上就会凸出来Tn 个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在A 上，就可以

形成一个底面

是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：

现在看看关于13、23„n 3的求和公式。让我们首先参看图1－16左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为1＋2=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是22×2=23。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。

然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为1＋2＋3=6的正方形。于是，添加的磬折形数就是33（3个32）。进一步，相邻两边再延长4个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。这样作出的正方形，因为每边都是1＋2＋3＋4单位长度，所以就成为：

13＋23＋33＋43=（1＋2＋3＋4）2

其一般通式，可以证明为：

13＋23＋„＋n 3=（1＋2＋3＋„＋n ）2

希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图1－17所示。

其第n 个三角锥数是

再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n 个四角锥数应是：

古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有心多角形。其有心三角形，如图1－19所示是：

1、4、10、19、31、46„

图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n 个有心三角数的通式应为：

有心四角数如图1－20所示为：

1、5、13、25、41„

同理，第n 个有心四角数，可以用下式表示：

4Tn-1＋1=2n（n-1）＋1

前边的图1－9也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。

此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么，第n 个有心五角数应该是由5Tn-1＋1给出，而第n 个有心六角数则是由6Tn-1＋1给出。 如果在第n 个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图1－22所示），其第n 个星形六角数，可以由12Tn-1＋1给出。

我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如，

若令第n 个星形六角数6n （n-1）＋1等于一个平方数m2，即：

m 2=6n（n-1）＋1

然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：

3m 2＋2=（m-1）2＋m 2＋（m ＋1）2

=（3n-2）2＋（3n-1）2

不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比1大的最小值是121。此时，n=5、m=11，代入上式计算为：

365=102＋112＋122=132＋142

其次，能构成平方数的星形六角数是11881。此时，n=45、m=109，代入上式为：

35645=1082＋1092＋1102=1332＋1342