高中数学矩矩阵与变换综合测试

高中数学矩矩阵与变换综合测试

一、 选择题（每小题5分，共60分）

1

、已知

=5，且 =(4, n ) ，则n 的值是（ ）

A ．3 B．－3 C．±3 D．不存在

2.

a ＝(3，－1) ， b

＝(－1，2) ，则－3

a －2b

的坐标是( )

A ．(7，1) B．(－7，－1) C ．(－7，1) D．(7，－1) 3. 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )

⎛10⎫⎛-1 ⎪ ⎪A. B. ⎝01⎭⎝0

⎛1

4. 平面上任意一点在矩阵 0

⎝

0⎫⎛01⎫⎛10⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ C. D. 1⎭-100-1⎝⎭⎝⎭0⎫1⎪

⎪的作用下( ) 5⎭

1

A. 横坐标不变, 纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变, 纵坐标缩短到倍

51

C. 横坐标, 纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标, 纵坐标均缩短到倍

5

⎛a b ⎫⎛p ⎫ ⎪ ⎪⎪5．向量 (左) 乘向量 ⎪的法则是( ) ⎝c d ⎭⎝q ⎭⎛a b ⎫⎛p ⎫⎛ap bp ⎫⎛a b ⎫⎛p ⎫⎛ap bq ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ A. B. c d q cp dp c d q cp dq ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛a b ⎫⎛p ⎫⎛ap +bq ⎫⎛a b ⎫⎛p ⎫⎛ap +cq ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ C. D. c d q cp +dq c d q bp +dq ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛10⎫⎛p ⎫⎛p ⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪的几何意义为( ) 6. 变换 0-1q -q ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

A. 关于y 轴反射变换 B. 关于x 轴反射变换

C. 关于原点反射变换 D.以上都不对

⎛10⎫⎛10⎫

⎪M = 1⎪1M =7．点通过矩阵1 0⎪的变换效果相当于另一变换是( ) ⎪和2 0

3⎭2⎭⎝⎝

⎛1⎫⎛1⎛1⎫

00 ⎪ ⎪

36⎪ C. 2⎪ B. A.

1⎪ 01⎪ 0 0⎪ ⎪ 2⎭⎝2⎭⎝⎝⎛13⎫⎛-11⎫8． 24⎪⎪ 04⎪⎪结果是( )

⎝⎭⎝⎭⎛213⎫⎛132⎫⎛-2

⎪ ⎪ A. B. C. -218⎪ 18-2⎪ 2

⎝⎭⎝⎭⎝

⎫

0⎪⎛10⎫⎪ D. 1⎪ 1⎪ 0⎪

6⎝⎭⎪

6⎭

18⎫⎛18-2⎫⎪ ⎪ D. ⎪ ⎪13⎭⎝132⎭

9．关于矩阵乘法下列说法中正确的是( )

A. 不满足交换律, 但满足消去律 B.不满足交换律和消去律 C. 满足交换律不满足消去律 D.满足交换律和消去律

⎛1⎝1⎛1A. 3⎝

10． 0⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛01⎫

⎪ 02⎪⎪ 01⎪⎪ 11⎪⎪=( ) 1⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2⎫⎛13⎫⎛23⎫⎛34⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. C. D. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4⎭⎝24⎭⎝14⎭⎝21⎭

⎛0-1⎫ ⎪11．矩阵 ⎪的逆矩阵是( ) 10⎝⎭⎛01⎫⎛-10⎫⎛10⎫⎛0-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪A. B. C. D. ⎪⎪⎪⎪ -10010-110⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

12．下列说法中错误的是( )

A. 反射变换, 伸压变换, 切变都是初等变换 B.若M,N 互为逆矩阵, 则MN=I C. 任何矩阵都有逆矩阵 D.反射变换矩阵都是自己的逆矩阵 二，填空题（每小题5分，共20分） 13，给出下列命题：矩阵中的每一个数字都不能相等；二阶单位矩阵对应的行列式的值为1；矩阵的逆矩阵不能和原矩阵相等。其中正确的命题有 个。

⎛10⎫ ⎪14. 在矩阵 ⎪变换下，点A （2，1）将会转换成 。 21⎝⎭

⎛1x ⎫⎛11⎫ ⎪⎪= 0. 70. 8

⎪ ⎪15，若 ，则x x 。

⎝01⎭⎝01⎭

3

⎛-12⎫ 5⎪16，矩阵 3⎪的特征值是 。

⎝2⎭

三解答题（共70分）

17，（体题10分）试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。

⎛10⎫

⎪（1） （3分） ⎪方程为y =2x +2；01⎝⎭⎛-10⎫ ⎪（2） ；（3分） ⎪点A （2，5）01⎝⎭⎛20⎫ ⎪（3） 曲线方程为x 2+y 2=4（4分） ⎪⎝01⎭

18. （本题12分）求下列行列式的值

13（1）

24

1-3

（2）

24

-10（3）

24 a c 2（4）

b d

⎛-12⎫1⎫⎛ ⎪3M =5 ⎪=M 19, （本题5分）已知矩阵，向量，求 ⎪3⎪ 16⎝⎭⎝2⎭

20. （本题10分）已知ABC 的坐标分别为A （1，1），B （3，2），C （2，4） （1） 写出直线AB 的向量方程及其坐标形式 （2） 求出AB 边上的高

cos θsin θx =(θ∈R ) ，试求f (x ) =x 2+2x -3的最值。

21，（本题10分）若

sin θcos θ

22. （本题13

⎛a 11a 12 a 1n ⎫ ⎪ a 21a 22 a 2n ⎪A =

⎪，定义其转置矩阵如下：分）已知矩阵

⎪ a ⎪a a n 3⎭⎝n 1n 2a 21 a n 1⎫⎪

a 22 a n 2⎪ ⎪

⎪

a 2n a 3n ⎪⎭

⎛a 11

a 12A '=

a ⎝1n

⎛a b ⎫A = （1） 若 c d ⎪⎪，写出A 的转置矩阵A '，并求行列式A 和A '，两者有什么

⎝⎭

关系？

（2） 若

⎛x ⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪A = y ⎪= 4⎪

z ⎪ 8⎪⎝⎭⎝⎭

表示的方程组为

⎧2x +3z =3⎪

⎨3x +7y -2z =4⎪2y +3z =8⎩

，请写出

⎛x ⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪A = y ⎪= 7⎪

表示的方程组

z ⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭

参考答案

1．C 2，B 3，D 4，B 5，C 6，B 7，D 8，A 9，B 10，A 11，A 12，C 13，1 14，（2，5） 15，〈 16，4或-2 17，（1）变换后的方程仍为直线，该变换是恒等变换 （2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换 （3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A （x,y ）为曲线上的任意一点，经过变

⎛20⎫⎛x ⎫⎛2x ⎫⎛x 1⎫

⎪ ⎪ ⎪⎪= = ∴2x =x 1, y =y 1

换后的点我A1（x1,y1）, 则 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝01⎭⎝y ⎭⎝y ⎭⎝y 1⎭

x 12y 12

+=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，将之代入到x +y =4可得方程41

2

2

该变换是伸压变换。

18，（1），-2 （2），10 （3），-4 （1），2（ad-bc ）

⎛400⎫ ⎪19， ⎪ 952⎝⎭

20，（1）AB 的平行向量为：V 0= 2-1⎪⎪= 1⎪⎪，设M 为直线AB 上任意一点，故所求向量

⎝⎭⎝⎭

⎛3-1⎫⎛2⎫

⎛x ⎫⎛1⎫⎛2⎫

方程为OM =OA +t ⋅V 0(t ∈R ) ，其坐标形式分别为 y ⎪⎪= 1⎪⎪+t 1⎪⎪(t ∈R )

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2）5

21，当时，取得最小值-4 22，（

1）由定义可知

⎛a c ⎫A '= b d ⎪⎪, 则A =ad -bc , A '=ad -bc , 有A =A '

⎝⎭

⎛x ⎫⎛2⎫⎧2x +3y =2 ⎪ ⎪⎪A = y ⎪= 7⎪7y +2z =7⎨（2）表示的方程组为

⎪3x -2y +3z =-1 z ⎪ -1⎪

⎩⎝⎭⎝⎭