第十一章 三角形教案
第11章 三 角 形
教学内容
本单元主要内容是学习三角形边、角的有关概念, 并拓展到多边形及其内角和、镶嵌等知识。设
计了一系列情境,发展学生的空间观念并提高学生的认知水平。
教材分析
教材力求创设现实、有趣的问题情境,使学生经历从现实世界中抽象几何模型和运用所学习的
内容解决实际问题的过程,在内容的安排和呈现上,教材提供了多种情景,给学生 充分的实践和探
索空间,目的是使学生通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论,解决一些实际问题,
为空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发展打下坚实的基础。本单元在直观操作的基础
上,将直观与简单相结合,并更多的注重学生推理意识的建构以及对推理过程的理解。本单元以内
角和 为主题,先讲三角形内角和,再拓广到多边形的内角和,然后应用于镶嵌。这种设计迎合了学
生的认知特点,又能够激发学生的兴趣。
教学目标
1知识与能力
了解三角形有关的线段,理解三角形两边之和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能
否构成三角形
(1) 会画出任意三角形的高、中线、角平分线
(2)了解三角形的稳定性
(3)了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并了解多边形的内角
和与外角和公式
(4)通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面,并能运
用这几种图形进行简单的镶嵌设计
2过程与方法
(1)经历探究三角形的有关知识的过程,了解三角形有关的线段、角及其它们之间的关系,
能够理解和应用三角形的稳定性。
(2) 经历探究多边形的有关知识的过程,了解多边形有关的概念及其内角、外角和公式,并能运用
几种多边形进行简单的镶嵌设计。
3情感、态度与价值观
培养学生抽象的数学思想以及“建模”的数学方式,感受几何推理的应用价值。
教学重点
掌握三角形的有关概念(内角、外角,三角形角平分线、中线和高),三边、三角之间的关系
教学难点
用三边关系判断三条线段能否构成三角形,以及画钝角三角形的高
课时划分
11.1 与三角形有关的线段„„„„„„„2课时
11.2 与三角形有关的角„„„„„„„„2课时
11.3 多边形及其内角和„„„„„„„„2课时
11.4 课题学习—镶嵌„„„„„„„„„1课时
复习与小结„„„„„„„„„„„„„„1课时
教学设计
11.1.1三角形的边
教学目标:
1知识与技能
(1)、能说出三角形的有关概念,认识三角形的基本要素(边、角、顶点)
(2)、会用数学符号表示三角形
(3)、会从较为复杂的图中寻找不同的三角形
(4)、掌握三角形三条边之间的关系
(5)、会应用“三角形三边之间关系”解决一些实际问题
2过程与方法
经历探索三角形中三边关系的过程,认识三角形这个最简单、最基本的几何图形,提高推理能
力。
3情感、态度、价值观
培养学生推理能力,运用几何语言有条理的表达,体会三角形知识的应用价值。
教学重点
掌握三角形三边的关系
教学难点
三角形三边关系的应用
教学方法
采用“情境——操作——观察——归纳”的教学方法。
教学过程:
一、认识三角形
1、通过学生从生活中所观察到的三角形事物的回忆引入本课的课题
2、观察下面的屋顶框架图问题: ⑴、你能从图中找出3个不同的三角形吗?并把它们画下来 (设
计思路:从具体事物中,抽象出数学图形,培养数学思想) ⑵、这些三角形有什么共同的特点? (设
计思路 :回顾已有知识:边、角、顶点,同时也为引入概念作铺垫)
3
(学生可以自由发言) 在学生充分交流的基础上得:由不在同一直线
上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
4、三角形的表示:以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所
三角形
不能明确区分”这一现象引入问题:有什么方法能明确区分三角形?(让学生思考、交流) 可得:用三
角形的三个顶点字母来表示在学生回忆角与平行线的表示方法的基础上得:“三角形”的符号表示
“△”最终得:上图三角形可表示为:△ABC
5、练习:
指
⑴、你能表示刚才所找出的三角形吗?
⑵、图中以AB 为边的三角形有哪些?(在学生回答的基础上让学生思考
有无好的寻找方法,培养学生正确的数学思维)
⑶、图中以A 为顶点的三角形有哪些? (在学生回答的基础上让学生
思考有无好的寻找方法,培养学生正确的数学思维)
6、想一想:小明在纸上画了四点,如果把这些点彼此用线段连结,连成一个图形,则图形中有
几个三角形?并把它们一一表示出来。(先让学生试一试,并让学生把产生不同结果的图形在黑板画
出、交流,引导学生思考有无其它情况,共有多少种情况,培养学生正确、科学的思考方法)
二、三角形三边的关系
1、活动:用长度分别为4cm 、5cm 、6cm 、10cm 的四根木棒,用其中三根首尾相连搭三角形,你能
搭成几个三角形?(先让学生任意搭,并把产生能搭与不能搭情况写在黑板,让学生讨论:还有
其它情况吗,为什么?从而培养学生正确的分类思想。在讨论了所有情况的基础上,引出“为什么
四种情况中,只有其中两种能搭而另两种不能搭,你有何发现?”这一问题。让学生观察、思考、
讨论、交流。最终可得: “三根中的较短两根之和大于最长一根就能搭成三角形”这一结论。
2、判断下列每组数分别是三根木棒的长度,用它们首尾相连能搭成三角形吗,为什么?
⑴、3、4、5 ⑵、5、5、9 ⑶、8、7、15 ⑷、6、13、9
3、你的想法对吗?
⑴、小方有两根长度分别为5cm 、8cm 的游戏棒,他想再找一根,使这三根游戏棒首尾相连能搭成
一个三角形。小方想到了下列长度的游戏棒:2cm 、 4cm、 8cm、13cm ,他的想法对吗?
⑵、你能帮小方再想出一些与上面长度不同的第三根游戏棒吗?(长度为正整数)
⑶、问题:如果把上面“长度为正整数”这一条件拿掉,则第三条应在怎样的范围?(让学生思考,
讨论,交流) 最终可得:3㎝<第三边<13㎝,通过几何画板的演示可以验证这一正确结论。
4、想一想:如果已知两边,则构成三角形的第三边的条件是什么? (学生通过对上题的探索,
不难得出:“两边之差小于第三边”;“两边之和大于第三边”;及“两边之差<第三边<两边之和”
这三个重要结论。
5、例题:
(1). 一个等腰三角形的两边分别为2.5和5,求这个三角形的周长
提示:腰和底都有两种可能
(2)用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形。
1如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少? ○
2能围成有一边的长为4cm 的等腰三角形吗?为什么? ○
6、思考题:已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ,则这个三角形的周长的取值范围是什么?
解:根据三角形构成的条件得:第三边的范围为: 3cm<第三边<11cm
三、巩固练习
教材P4. 练习1,2题
四.回顾:
通过你对本节课的学习,你尝到了哪些知识?
五.作业
教材P8. 习题11.1,1,2(书上),6,7题(本子上)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标
1了解三角形角平分线、中线、高线的概念以及三角形稳定性的知识,并能准确画出三角形的
高、中线、角平分线
2、经历探索与三角形有关的线段的过程,感受三角形稳定性的内涵,发展空间观念。
3、培养良好的几何推理意识和简单的分析思想,感受三角形“三线段”的应用价值。
教学重点:
了解三角形的高、中线和角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线和角平分线。
教学难点:
画钝角三角形的高
教学方法:
采用“操作——猜想——验证——合作”的教学方法。
教学过程:
一.创设情境,导入课题
操作实验:
用纸任意剪三个锐角三角形。按下列要求用折纸的方法折出线段:(1)三角形的所有的角平分线;
(2)三角形的所有的中线;(3)三角形的所有的高。 (说明和建议:折纸活动中有少数学生折三
角形的中线和高有错误或困难,教学中教师作示范并及时纠错。)
二.新课探究
三角形的三种重要线段都是用连结顶点——对边(或对边所在直线) 上一个特殊点的方法来定义
的,所以具体折纸的过程(先确定折痕的两个端点,再确定折痕) ,为学生具体形象地叙述它们的定
义增加了清晰的感性认识。
问题1:请你借助折纸的方法来描述三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
问题2:从折纸中你发现锐角三角形有几条角平分线?几条中线?几条高?你还能得到什么结
论?
形成共识:
1. 三角形的一个顶点到对边的垂线段,叫做这个三角形的一条高;
2. 三角形的一个顶点到对边的中点的连线,叫做三角形的一条中线;
3. 在三角形中,一个内角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做这个
三角形的一条角平分线 。
三.能力训练
1. 三角形“三线段”的画法
(1)三角形的角平分线的画法
(2)三角形的中线的画法
(3)三角形的高的画法
2. 逻辑推理训练:
看图(图3.l -3)填空:
(1)∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠____=∠____=1/2∠____( )。
(2)∵AF是△ABC的中线,
∴____=____=1/2____( )。
(3)∵AG是△ABC的高,
∴∠____=∠____=90o( )。
3. 三角形的稳定性的有关知识
四. 例题解析
例:如图所示,∠ACE=∠BCE,BD=CD,指出图中
三角形的特殊线段。
解:CE 是△ABC的角平分线, AD是△ABC的中线,
ED 是△EBC的中线, CF是△ACD的角平分线。
五.巩固练习
教材P5. 练习1,2题
六.课堂小结
1.学习三角形的有关概念,不仅要弄清它们的意义,而且要学会在复杂的图形中,从不同的角
度认识同一个角(或边)的不同的“身份”。
2.三角形的角平分线、中线、高都是线段。三角形的角平分线、高与角的平分线、垂线既有联
系也有区别,前者是线段,后者是射线和直线。
3.三角形的三条角平分线交于一点,三条中线交于一点,三条高交于一点。
七.作业
教材P8-9. 习题11.1,3,4,5,8,9,10题。
11.2 与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
教学目标
1、通过运用拼图的方法解决“三角形的内角和等于180°”这一重要定理。
2、能运用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
3、培养学生思维的灵活性。
教学重点:
理解和应用三角形内角和定理。
教学难点:
三角形内角和定理的简单推理。
教学方法:
采用“尝试——交流——讨论”的教学方法。
教学过程:
一创设情境,导入课题
在小学里, 我们曾用量角器量出三角形三个内角的具体度数后得到它们的和; 也曾用折叠一张三
角形硬纸片的方法, 把三角形的三个内角拼在一起(教师出示课件上的图形(图一),并用两张硬纸
片演示这一过程)
问题:图1中的方法, 相当于把三角形的三个内角剪下来拼在一起, 你们有没有不同的拼合方法,
老师这里有一种拼合方法(如图),你们有没有不同的拼合方法?
二.新课探究
活动:学生剪下两张完全重合的三角形硬纸片的三个角剪开,试一试,你有多少中方法可以拼
出∠A+∠B+∠C=180○ 学生拼图后,教师可出示课件上的图形。(如课件)
从上述的拼图过程中,我们不但体验了图形的位置关系是变化的,而且更进一步的得出这一个
确定的结论:三角形的内角和等于180°。
问题:可以用我们已学过的那些知识来说明?
已知:△ABC (如下图),求证: A+∠B+∠C=1800.
三.知识拓展
1练一练
(1)在△ABC 中,已知∠A :∠B :∠C=1:2:3。求出∠A 、∠B 、∠C 的度数。
(2)在△ABC 中,已知∠A+∠B+∠C=100○,∠C=2∠A 。求∠A 、∠B 、∠C 的度数。
2. 问题:三角形的三个内角可以都是锐角吗?都是直角吗?都是钝角吗?你认为最多能有几个直
角?几个锐角?几个钝角?
3. 活动:如图,个有一张三角形纸片,不知它们的形状,图中分别出示了三角形的一个内角,其余
部分被另一张长方形纸片遮住,你能不能判断它们各
为什么? 北 北
(1) (2)
四.应用举例
例,如图,C 岛在A 岛的北偏东50度方向,C 岛在B 岛的北
偏西40度方向,B 岛在A 岛的北偏东80度方向,从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度?
解:∠CAB=∠BAC-∠CAD=80○-50○=30○由AD ∥BE :可得 ∠BAD+∠ABE=180○
∴∠ABE=108○-∠BAD=180○-80○=100○ ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100○-40○=6○在△ABC 中:∠
ACB=180-∠ABC-∠CAB=180○-60○-30○=90○
答:从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是30。
五. 课堂练习
教材P14. 练习1,2
六.课堂小结:
三角形的内角和等于180°,灵活应用三角形内角和定理。
七.作业
教材P 16-17页 习题11.2 , 第 1,2题(书上);第3、4、5,7题(本子上)。
○
11.2.2 三角形的外角
教学目标
1. 理解三角形外角的有关概念,会进行简单的说理。
2. 经历探索三角形外角的有关知识的过程,感受三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角的
关系。
3培养学生的探究意识和主动参与课题学习的良好习惯,体会本节课内容的应用价值。
教学重点
三角形外角与它不相邻的两个内角的关系的探究。
教学难点:
运用三角形外角性质进行计算。
教学方法:
采用“情境——交流——反思——归纳”的教学方法。
教学过程:
一.复习导入
1三角形的内角和定理是什么?
2. 相对于三角形的内角而言,有三角形的外角吗? 二.新课探究
把∆ABC 的一边AB 延长到D ,得∠A CD ,它不是三角形的内角,那它是三角形的什么角?
它是三角形的外角。
定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
1. 想一想:三角形的外角有几个? 每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角
2. 议一议
∠ACD 与∆ABC 的内角有什么关系?
(1)∠ACD =∠A +∠B
(2)∠ACD >∠A ,∠ACD >∠B
再画三角形ABC 的外角试一试,还会得到这个性质吗? 同学用几何语言叙述这个性质:
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和; 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗? 已知:∠ACD 是∠∆ABC 的外角 说明:
(1)∠ACD =∠A +∠B
(2)∠ACD >∠A ,∠ACD >∠B 结合下面图形给予说明
三.应用举例
例:如图所示,∠BAE, ∠CBF, ∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是多少?
四.巩固练习
教材P15. 练习 五.作业:
1. 教材P16—17. 第6,8,9,10,11题 2. 备选题
(1). 如图,∠1, ∠2, ∠3是三角形ABC 的不同三个外角,则∠1
+∠2+∠3=
(2). (3).∆ABC 的两个内角的一平分线交于点E ,∠A =52 ,则∠B EC = (4).已知∆AB C 的∠B , ∠C 的外角平分线交于点D ,∠A =40 ,那么∠D =
(5).如图,∠BD C ∠B D C =,∠EFC ∠EFC = ,∠BFC 外角,∠BFC ∠BFC , ∠BFC >
(6).在∆ABC 中∠A 等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B 的两倍,那么
∠A =,∠B =∠C =
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
教学目标
1.了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.
2. 探索四边形对角线的条数、n 边形的对角线的条数,会应用它进行简单的计算。 3.能够区分凸多边形与凹多边形.
教学重点:
探究多边形的对角线
教学难点:
多边形定义的准确理解.
教学方法:
采用“直观——操作——感悟”的教学方法。
教学过程
一、创设情境,导入课题
投影:图形见课本P84图7.3一l .
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗? 上面三图中让同学边看、边议.
在同学议论的基础上,老师给以总结,这些线段围成的图形有何特性? (1)它们在同一平面内.
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形,那么什么叫做多边形呢? 二.新课探究
提问:三角形的定义.
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗?
1.在平面内,由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n 条线段组成,那么这个多边形叫做n 边形.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
2.多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 让学生画出四边形、五边形、六边形等多边形的所有对角线,并讨论
4.凸多边形与凹多边形
看投影:图形见课本P85.7.3—6.
在图(1)中,画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD 所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5.正多边形
由正方形的特征出发,得出正多边形的概念. 各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
二、巩固练习 教材P21练习1.2. 三、课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念. 四、课后作业 教材P24第1题. 备用题: 一、判断题.
1.由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.( )
2.由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.( )
3.由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形,且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧,叫做四边形.( )
4.在同一平面内,四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.( ) 二、填空题.
1的线段,叫做多边形的对角线.
2 3.各个角 ,各条边的多边形,叫正多边形. 三、解答题.
1.画出图(1)中的六边形ABCDEF 的所有对角线.
2.如图(2),O 为四边形ABCD 内一点,连接OA 、OB 、OC 、OD 可以得几个三角形?它与边数有何关系?
3.如图(3),O 在五边形ABCDE 的AB 上,连接OC 、OD 、OE ,可以得到几个三角形?它与边数有何关系?
4.如图(4),过A 作六边形ABCDEF 的对角线,可以得到几个三角形?它与边数有何关系?
11.3.2 多边形的内角和
教学目标:
1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
教学重点:
(1)多边形的内角和公式. (2)多边形的外角和公式.
教学难点:
多边形的内角和定理的推导.
教学方法:
采用“直观——操作——感悟”的教学方法。
教学过程:
一、探究
1.我们知道三角形的内角和为180°.
2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°.
3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢? 画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果. 从中你得到什么结论?
同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为 360°的感性认识,是否成为定理要进行推导. 二、思考几个问题
1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?
2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角
和为多少度?
3.从n 边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n 边形分成几个三角形?n 边形的内角和等于多少度?
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗? 设多边形的边数为n ,则
n 边形的内角和等于(n 一2)·180°.
想一想:要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n 边形的内角和公式吗?
由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)
分法一:在五边形ABCDE 内任取一点O ,连结OA 、OB 、OC 、OD 、OE ,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°.
如果五边形变成n 边形,用同样方法也可以得到n 个三角形的内角和减去一个周角,即可得:n 边形内角和=n ×l80°一2×180°=(n 一2)×180°.
E
B
分法二:在边AB 上取一点O ,连OE 、OD 、OC ,则可以(5-1)个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去.
∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°
用同样的办法,也可以把n 边形分成(n 一1)个三角形,把不是n 边形内角的∠AOB 舍去,
即可得n 边形的内角和为(n 一2)×180°.
D
三、例题
B
例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系? 已知:四边形ABCD 的∠A +∠C =180°.求:∠B 与∠D 的关系.
分析:本题要求∠B 与∠D 的关系,由于已知∠A +∠C =180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案.
B
C
D
解:如图,四边形ABCD 中,∠A +∠C =180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×360°=180°, ∴∠B +∠D= 360°-(∠A +∠C )=180°
这就是说:如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
A 6
F
5
C
E
D
4
已知:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF 的外角. 求:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°.
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
解:∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°. ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°. 由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720° ∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n 边形.(n 为不小于3的正整数) 同样也可以得到其外角和等于360°.即 多边形的外角和等于360°.
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.
如下图,从多边形的一个顶点A 出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A 点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
四、巩固练习
教材P24. 练习1、2、3题. 五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容. 六、课后作业
教材P24—25,习题11.3,第2,4,5,7,8,9,10题(本子上);3,6,10题(书上). 备选题:
A B C
D
F
E
一、判断题.
1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( ) 2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( ) 3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.( )
4.从n 边形一个顶点出发,可以引出(n 一2)条对角线,得到(n 一2)个三角形.( ) 5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.( )
二、填空题.
1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形. 2.一个多边形的每个内角都等于135边形. 3边形. 4.内角和为1440.
5.一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是 边形.
6.若多边形内角和等于外角和的3 7. 8.一个多边形的内角和为4320.
9.多边形每个内角都相等,内角和为720
10.四边形的∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的外角之比为1:2:3:4,那么∠A :∠B :∠C :∠. 11个, 锐角最多有 个.
12.如果一个多边形的边数增加一条,,. 三、选择题.
1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是( )
A .互为余角 B .互为邻补角 C .两个角相等 D .外角大于内角 2.若n 边形每个内角都等于150°,那么这个n 边形是( ) A .九边形 B .十边形 C .十一边形 D .十二边形
3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为( ) A .6条 B .7条 C .8条 D .9条 4.随着多边形的边数n 的增加,它的外角和( ) A .增加 B .减小 C .不变 D .不定
5.若多边形的外角和等于内角和,那么它的边数是( )
A .3 B .4 C .5 D .7
6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是( ) A .五边形 B .八边形 C .十边形 D .十二边形 7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形( ) A .四边形 B ,五边形 C .六边形 D .七边形
8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为( ) A .180° B .360° C .720° D .1080° 9.n 边形的n 个内角中锐角最多有( )个. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
10.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是( ) A .八边形 B .九边形 C .十边形 D ,十一边形 四、解答题.
1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°. (1)求它的边数; (2)求少的那个内角的度数.
2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?它共有多少条对角线?n 边形呢? 3.已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数.
1
4.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的,求这个多边形的边数.
2
5.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数. 6.n 边形的内角和与外角和互比为13:2,求n .
7.五边形ABCDE 的各内角都相等,且AE =DE ,AD ∥CB 吗? 8.将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形?
9.四边形ABCD 中,∠A+∠B=210°,∠C =4∠D .求:∠C 或∠D 的度数. 10.在四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,∠DAC =2∠BAC . 求证:∠DBC =2∠BDC .
11.4平 面 镶 嵌
教学目标
知识与技能目标:
1、使学生掌握正多边形平面镶嵌的条件;
2、能运用两种常见的正多边形进行简单的镶嵌设计。 过程与方法目标:
1、经历探索正多边形镶嵌条件的过程,训练学生的合情推理能力;
2、通过平面图形的镶嵌活动,培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的能力。 情感、态度与价值观目标:
1、通过情景的引入,使学生体会数学知识与现实生活的密切联系; 2、通过合作学习培养学生团结协作的精神;
3、通过拼图和图片欣赏增强学生创新意识的审美意识。
教学重点
1、掌握正多边形平面镶嵌的条件;
2、探究一种正多边形、两种正多边形的镶嵌问题。
教学难点
两种正多边形镶嵌问题。
教学过程:
一、创设情景 引出概念
图片欣赏:生活中常见的地板铺设图片
提出疑问: 生活中地板的铺设大多是用正方形地砖,因为正方形地砖能够既无空隙又无重叠的将一块地面铺满,那么其他的正多边形是否也可以呢? 观看三张不同的正多边形地砖铺设图案,并回答问题.
提问:三个图案从铺设的角度看有什么不同特点? 二、观察比较,理解概念
让学生欣赏几张正多边形平面镶嵌的图案进一步加深对概念的理解
观察: 1、镶嵌的正多边形的顶点、边长有什么特征?
2、在一个顶点处的各内角和有什么关系? 第五组:用正八边形拼图
通过学生自主的实践,用投影仪将探究成果进行展示,得出结论:单独用正三角形、正方形、正六边形能够镶嵌成平面图案,正五边形、正八边形不能镶嵌成平面图案。
讨论:为什么单独用正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成平面图案,正五边形、正八边形不能镶嵌成平面图案? 实验报告单:
四、再创情景,拓展探究
欣赏几张多种正多边形镶嵌的图案:
提出问题:, 地板想用两种正多边形来镶嵌,在建材市场我买了正三角形、正方形、正六边形三种地板砖,请大家帮我设计一个铺设方案
总结结论: 两种正多边形镶嵌的条件:
1、镶嵌的两种正多边形的各内角度数的整数倍之和是360度;
2、两种正多边形的边长相等。
思考题: m个正四边形和 n个正八边形能进行平面镶嵌,则m =_______,n=_______。 (五)归纳小结,交流感悟
谈一谈:通过本课的学习有哪些收获和体会? 1、平面镶嵌的定义:
用形状相同或不同的平面图形把一块平面既无空隙又不重叠地全部覆盖,叫做平面镶嵌(或用多边形覆盖平面)。
2、正多边形平面镶嵌的条件:
(1)顶点公用 、边长相等 (2)一个顶点处的各内角之和360°
3、用一种正多边形进行镶嵌,只有正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成平面图案 4、两种正多边形镶嵌的条件:
(1)镶嵌的两种正多边形的各内角的整数倍之和是360度; (2)两种正多边形的边长相等。 (六)课后演练,张扬个性 课后作业:
请用二种以上正多边形设计一个平面镶嵌图案, 比比谁的设计更漂亮。
复习与小结
教学目标:
1.
进一步认识三角形的概念及基本要素,掌握三角形三条边、三个角之间的关系,会按角将三角形进行分类
2.
了解三角形的“三线”,并学会运用;认识三角形稳定性;了解多边形概念以及有关多边形的性质、定理,会进行推理和计算;了解镶嵌的意义
3. 4.
经历探究三角形有关知识的过程,发展表达能力、推理能力。
进一步培养学生的审美能力,感受数学的美;体会三角形在现实生活中的应用价值。
教学重点:
掌握三角形的概念,三角形边角关系,以及“三线”的概念
教学难点:
利用三边之间的关系判断能否构成三角形,以及钝角三角形高的画法。
教学方法:
采用“类比”的思想方法,讲练结合进行教学。
教学过程:
一. 知识回顾,发散思维 知识结构图:
二. 知识点精析
1. 三角形的边、顶点、内角、外角。
三角形的角之间的关系
2. 三角形的主要线段(角平分线、中线和高)。 注意:三线是否相交一点。 3. 三角形的分类:
(1). 按边分类(不等边三角形,等腰三角形和等边三角形)。 (2). 按角分类(锐角三角形,直角三角形和钝角三角形)。 4. 三角形边的性质。 (1)三角形具有稳定性。
(2)三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 (3)判断是否构成三角形的方法:
1当a+b>c, b+c>a, c+a>b都成立时,a 、b 、c 三边可构成三角形。 ○
2当a -b <c <a+b时,a 、b 、c 三边可构成三角形。 ○
3若a 是最长的线段,且有a <b+c,a 、b 、c 三边可构成三角形。 ○5. 多边形
(1)多边形对角线的条数:
n (n -3)
2
(2)多边形的内角和:(n-2)⨯1800 (3)多边形的外角和:3600 6. 镶嵌
要拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的原理是n 个多边形的内角和相加等于3600。 三. 应用举例
例1. △ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足0≤a ≤b ≤c, 如果b=4,问这样的三角形
有多少个?
解:依题意得:a+b>c ,可有以下10个三角形。
三角形教案 陈杰主备
例2. 用一批相同的正多边形地砖铺地,要求顶点要聚在一起,且砖与砖之间不留空隙,哪几种正多边形可用?
解:设围绕正n 边形的一个顶点处有k 个正n 边形,由于每一个正n 边形的内角为
(n -2) ⨯180=3600, n (n -2) ⨯180,n 则k.
∴k=2n 4=2+ n -2n -2
k 为正整数,∴4也是正整数, n -2
即只有n-2=1,2,4.
所以得出n=3,4,6.
也就是说正三角形,正四边形和正六边形可用。
四. 课堂小结
由学生再一次进行系统归纳。
五. 作业
教材P28—29. 复习题,5,6,7,8,10,11,12题(本子上);
1,2,3,4,9题(书上)。
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