一次函数及其图像知识点总结

第一节：函数

一、知识归纳 函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 函数的三种表达式： （1）图象；（2）表格；（3）关系式。 要使函数的解析式有意义。

函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。 ④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。 （2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。 4 常见函数关系式 几何 物理 生活

二、经典题型

题型考点一 求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。

例1. 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。

⑴写出该单位水费y(元) 与每月用水量x(吨) 之间的函数关系式： ①用水量小于等于3000吨 ； ②用水量大于3000吨 。

⑵某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元。 ⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？ 参考答案： (1)y=0.5 x 、y=1500＋ 0.8(x－3000) (2)1660 1400 (3) 3050

例2. 函数是研究 ( )

A ．常量之间的对应关系的 B ．常量与变量之间的对应关系的 C ．变量与常量之间对应关系的 Ｄ．变量之间的对应关系的 题型考点二 确定函数的自变量取值范围， 例1 ．（2010

四川凉山）在函数y =

中，自变量x 的取值范围是____ 2x -1

题型考点三 能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像

例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。游客爬山所用时间t 与登山高度h 间的函数关系用图形表示是（）

第二节 一次函数 一、知识归纳

知识点一：一次函数的定义

函数y=______(k、b 为常数，k_____,自变量x 的次数是U__ _U次) 叫做一次函数. 知识点二：正比例函数的定义

当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数. 知识点三：一次函数与正比例函数的异同

（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b 绝对值个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜ 0时，向下平移）。

（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx 二 经典题型

题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义 例1 已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m 为何值时, (1)此函数为正比例函数 此函数为一次函数

题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值

例1 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km 处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm 的气温为y ℃． （1）当0≤x ≤11时，求y 与x 之间的关系式？ （2）求当x=2、5、8、11时，y 的值。

（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？ （4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？

第三节 一次函数图像

知识归纳 知识点一

1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量x 与对应的函数y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函数的图象； 2、画函数图象的步骤：

①列表；②描点；③连线． 知识点二：一次函数的图象

比例函数y=k x (k≠0) 的图象是过原点和（1，___）两点的_____________

⑵一次函数y=kx＋b(k≠0) 的图象是过点(0，_____)、(______，0) 的___________ （3）一次函数y=kx+b的k 、b 的值对一次函数图象的影响。

② ③ ④

①k ﹥0,b ﹥0, y ＝kx +b的图象在一、二、三象限； ②k ﹥0, b﹤0, y ＝kx +b的图象在一、三、四象限； ③k ﹤0,b ﹥0, y ＝kx +b的 图象在一、二、四象限； k ﹤0, b﹤0, y ＝kx +b的图象在二、三、四象。

知识点三：一次函数的性质

比例函数y=kx(k≠0) 是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y 随x 的增大而______；当k

⑵一次函数y=kx＋b(k ≠ 0) 的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y 随x 的增大而______；当k

知识点四：三个“一次”的关系

⑴在一次函数y=kx＋b 中，令y=0，得一元一次方程kx ＋b=0，它的根就是一次函数y=kx＋b 的图象与x 轴交点的 .

⑵一元一次不等式kx ＋b>0(或kx ＋b

⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的______________的解. 二 经典题型

题型考点一：函数图象的概念 例

2. 3. 连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线. 图象：

题型考点二：通过图像确定函数的解析式 例1．（2010山东聊城）如图，过点Q （0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）

A ．3x －2y+3.5＝0 B ．3x －2y －3.5＝0 C ．3x －2y+7＝0 D ．3x+2y－7＝0

第9题图

2

题型考点三：一次函数的增减性

例

1 已知关于x 的一次函数y =(3-m ) x -2m +18． (1)m为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行? (2)m为何值时，y 随x 的增大而减小？

⎧-2m 2+18≠0⎧m ≠±3

，⎨⎨

3-m =-1⎩m =4， 解：(1)由题意，m 需满足⎩

故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x ；

当3－m3时，y 随x 的增大而减小．

题型考点四：一次函数图像与象限关系

1. 一次函数y =kx +b 的图象只经过第一、二、三象限，则( ) A ．k 0

B ．k >0，b >0

C ．k >0，b

2（2009年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知直线y=(5－3m)x+

21

m －4与直线y=x+6平行，求此直线的解析式. 32

题型考点五：自变量与因变量取值范围

例1、已知y －1与x 成正比例，当x=－2时，y=4 （1）求出y 与x 函数表达式

（2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a ，－2）在这个平移图象上求a 值。 （3）如果x 取值范围0≤x ≤5，求y 取值范围

第四节 确定一次函数的表达式

一、知识归纳

知识点一：求一次函数的表达式

用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤: . 二 经典题型

题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式

1 . 当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k 和y 的值分别为（ ） A.1,11 B. －1,9 C.5,11 D.3,3 2 . 若直线y=kx+b经过A （1，0），B （0，1），则（ ） A.k=－1,b=－1 B.k=1,b=1 C.k=1,b=－1 D.k=－1,b=1

3、已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

题型考点一：一次函数图像与面积

例8. 已知直线y =kx -4与两坐标轴所围成的三角形 为__________。

y

y

面积等于4，则直线解析式

F A

E

B

第五节 一次函数图像的应用

知识点一：

若直线l 与直线y =kx +b 关于

（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y =-kx -b （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y =-kx +b

y =

（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为

1b x -k k 1b

x +k k

（4）直线y =-x 对称，则直线l 的解析式为

y =

（5）原点对称，则直线l 的解析式为y =kx -b

例1. 若直线l 与直线y =2x -1关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。 解：由（2）得直线l 的解析式为y =-2x -1

题型考点一：利用图像信息解决实际问题

1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y （元）是用水量x （t ）的函数，其图象如图所示

（1）与出x ≤8时，函数表达式。 （2）写出x ＞8时，函数表达式。 （3）由图象知收费标准为。

（4）当某户居民该月用水15吨，则应交水费_____元。

题型考点二：一次函数的应用 1．（11分）小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图4所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：

(1)求降价前销售金额y(元) 与售出西瓜x(千克) 之间的函数关系式． (2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜? (3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

题型考点三：通过两种函数的图像解决问题

1、已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y 轴上，则k 值为 。