2017期末考试材料力学
绝密★启用前
一、（本题16分）薄壁圆筒扭转—拉伸试验的示意图如图所示。若P =20kN ，
2017年本科生期末统一考试
M =600N ⋅m 且截面平均半径d =50mm，厚度δ=2mm ，材料弹性模量E =200GPa ，μ=0.25。
材 料 力 学 A
（满分：100分 考试时间：100分钟）
（1）（12分）求A 点在指定斜截面上的应力与线应变； （2）（4分）A 点主应力的大小。
考生注意事项
1．考试日期与时间：2017年4月26日 4：00—5：40
2．答题前，考生须在试卷的指定位置上填写考生姓名、考生学院、专业班级、座位 号、学号、任课老师等信息。
3、答题时，直接将答案书写在试题卷的相应位置上，在草稿纸上答题无效。 4、填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰。 5、考试结束后，将试题卷与草稿纸按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）
（以下信息由阅卷老师填写）
二、（本题20分）如图所示刚架，A 为固定端约束，C 为可动铰链。AB 段有集度为q 的均布荷载作用，抗弯刚度EI 为已知常数。试求 （1）（13分）铰链C 处的约束力； （2）（7分）B 截面的转角。
三、（本题20分）如图5所示，一刚架水平放置，一个重为2kN 的物体从高H =40mm 处自由下落，冲击刚架的C 截面。已知刚架截面为圆截面，且直径d =100mm ，AB 与BC 等长，且长度为l =1m 。刚架的材料的弹性模量E =200GPa ，剪切弹性模量
μ=0.25，许用应力[σ]=180MPa 。
（1）（17分）找出危险点，并画出其单元体的应力状态； （2）（3分）用第三强度理论校核刚架强度；
四、（本题22分）
图示正方形结构，由六根圆杆组成，结构连接处均为光滑铰链（其中AC 杆与BD 杆相互无约束）。正方形边长l =1m。圆杆材料的弹性模量E =200GPa，比例极限
五、（本题22分）如图所示的开口圆环，弹性模量为E =200GPa，切变模量G =80GPa，R =35mm，d =4mm，F=10N，P=2F，许用应力[σ]=200MPa 。忽略开口处间隙的尺寸。
（1）（13分）试确定危险面与危险点（在图中标出），并按第三理论校核圆环强度； σp =200MPa ，屈服极限σs =240MPa ，材料常数a =314MPa，b =1.12MPa，圆杆的
直径为d =50mm，许用应力[σ]=160MPa ，稳定安全系数[n ]st =3。 （1）（11分）在如图所示的载荷F 下，求各个杆的内力。 （2）（11分）求此结构的许可载荷[F ]。
（2）（9分）求开口沿F 方向的位移。
2017年中南大学本科生期末统一考试
参考答案与评分细则
材料力学A
一、本题满分16分，考查了薄壁圆筒扭转切应力的计算、应力状态的计算、应变状
态的计算、拉扭组合变形的应力状态分析。 （1）A 点的应力状态如右
σ=P A =P πd δ=20⨯130
π⨯50⨯2⨯1-6
0=63. MPa 7（2分） τ=M 2M 2⨯6002A ==2⨯2⨯10-9
=76.4MPa （2分）
0δπd 2δπ⨯50指定截面与竖直方向成-60 角，故该斜面上的正应力为
σ=σ+σ
22cos120 -τsin120 =63.7⎛2 ⎝1-1⎫2⎪⎭-76.4-60
=-50.2MPa （2
分） τσ
-60
=-
2
sin120 -τcos120 =-
63.7276.4⨯1
2
=10.6MPa （2分）
∵σσ
σ
30 =2
+
2
cos60+τsin 60 =
63.7⎛2 ⎝1+1⎫2⎪⎭+76.4=113.9MPa （2分） ∴ε130 =
σ16E (30 -μσ-60 )
=2⨯10
11(113.9+0.25⨯50.2)⨯10=6.3⨯10-4（2分） （
2）由主应力计算公式，
⎧⎪63.7⎪σσ
1=⎨22+=114.6MPa
（4分）
⎪⎪σ=σ⎩
22-
=63.72=-50.9MPa
二、本题满分20分，考查了刚架弯矩图的画法、图乘法求结构位移、力法解决超静
定问题。
（1）该结构为一次超静定结构（1分）。
解除C 处滑动支座的约束，得基本结构如右图所示（1分） 列力法正则方程δ11X 1+∆1P =0（1分）
M 图（2分）： M 图（2分）：
a
故δ1⎛a 22a ⎫4a 31⎛1qa 2⎫qa 411=EI ⨯+a 2
⨯a ⎪=；∆⎭1P =EI -⨯a ⨯
⨯a ⎝233EI ⎝32⎪=-⎭
6EI ∴X -∆1P
1=
δ=
qa
11
8
(↑)（2分） （2）由（1）得原刚架的弯矩图如下，在B 处施加一单位力偶矩，得弯矩图如下
M 图（2分）：qa qa 2
P 2 M 图（1分） 8
∴θ1⎛1qa 2B =EI ⨯a ⨯
-qa 2
⨯18⨯a ⨯1⎫⎪=qa 3⎭
24EI (↵)（4分） ⎝32三、本题满分20分，考查了动载荷作用下动荷因数的计算、弯扭组合变形下的应力分析、组合结构位移的计算、第三强度理论。 当Q 静止作用在C 点时，有
f Ql 32000⨯64B =3EI =3⨯2⨯1011⨯π⨯1004⨯10
-12
=6.79⨯10-4(↓)； （2分） ϕQl 2GI =2000⨯32B =10⨯π⨯1004⨯10
-12
=2.55⨯10-3（2分） p 8⨯10Ql 3
f 4c 1=3EI
=f b =6.79⨯10-(↓)（1分）
∴f c =f B +ϕB l +f c 1=f b =3.9⨯10
-3
(↓)（2分）
∴K d =1=15.6（2分） （1）依题意固定端的截面上任意一点均为危险点，其应力状态如图所示。（2分）
其中σd =K d σst =K Ql W =5.6⨯2000⨯32
d
⨯1003⨯10-9
=114MPa （3分） z πτd =K d τst =K Ql W =5.6⨯2000⨯16d
1003⨯10-9
=57MPa （3分） p π⨯（2
）σr 3=161MPa
故刚架的强度满足要求。
四、本题满分22分，考查了超静定桁架的内力计算、压杆稳定临界压力的计算、杆
件强度的校核。
（1）图示结构为一次超静定桁架。
取如图所示的基本体系（2分）。
力法正则方程为δ11X 1+∆1P =0
基本体系在F 、单位力作用下的各杆内力如图所示（4分）
。
故δ1⎛2
⎛⎫(2 ⋅l ⋅4+12
⎪+
l 11=EA ⎝ ⎝=（1分）
⎭⎪⎭
EA ∆11P =
EA (-F ⋅1)
=1分） ∴X 1P
1=
-∆δ=
1分）
11
=0.4F （∴N =N AB =N BC CD =N DA =X 1=-
0.3F （1分） N AC =-F +X 1=-0.6
F （1分）
（2）校核杆件强度，则
0.6F ≤[σ]⇒F ≤A [σ]=π
⋅
502A 0.64⨯0.6
⋅10-6⋅160⋅106=524kN （2分）校核杆件稳定性，则
λa -σs 314-2401==99；λ2
=b =1.12
=66（2分）对AC 杆，λAC =
μ⋅l AC
i =
=113>λ1属于细长杆，（1分）
AC
2
π2⋅2⨯
1011⋅
π
故F πEI
crAC =⋅504⋅10-12
(μl )
2
=AC 2
=302kN （1分）
∴
F crAC 0.6F ≥3⇒F ≤302
1.8
=168kN （1分） 对AB 杆，λμ⋅l AB
AB =i =80⇒λ2
故F crAC =A (a -b λAB )=
π
4
⋅502⋅(314-1.12⨯80)=441kN （1分）
F crAC 0.3F ≥3⇒F ≤441
0.9=490kN （1分） 综上[F ]=168kN （1分）
五、本题满分22分，考查用摩尔积分计算曲杆位移、第三强度理论、弯扭组合变形应力分析。
（1）根据对称性，取右半部分进行分析
θ
M P =P R
s i n θ；M F =FR sin θ；T =FR (1
-cos θ)（3分）
则对任意截面有M =sin θ（
1分）
故危险点位置如图所示。（2
分）
根据第三强度理论，对任意截面有
σF
r 3==2分）
z z
令ϕ(θ)=-4cos 2θ-2cos θ+6，则ϕ' (θ)=8cos θsin θ+2sin θ
令ϕ' (θ)=0得cos θ=-14⇒θ=104.47 , ϕ(θ)=5
2，
此时ϕ'' (θ)=-7.5
即危险面在θ
=104.47 处。（4分）
此时σr 3139MPa
故圆环强度满足要求。
（2）令F =1，得M F =R sin θ，T =R (1-cos θ)（1分）
由摩尔积分
∆12=EI ⎰
π
M F M F ds +
1
π
GI p ⎰
TTds
=13EI
⎰
π
sin 2θd θ+
1⎰π
2
FR GI p
(1+cos
θ-2cos θ)d θ
=πFR 3
3πFR 3
2EI +2GI (6分)p
故∆=πFR 3
EI +3πFR 3GI =10⨯0.0353⋅641144⋅10-12+3⨯10⨯0.0353⋅32
8⋅1010⋅44⋅10
-12
=2.54⨯10-3（2分）p 2⋅10⋅