直线型经验公式与最小二乘法
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直线型经验公式与最小二乘法
根据“从点到直线距离公式的应用谈起”（李仲来．数学通报．1998年第11期35~37）改编．本节材料仅是该文一部分，有兴趣的同学可阅读全文和相关专业书籍．
内容简介：
众所周知，过1个点可有无数条直线；
过2个不同的点可求出唯一的一条直线；
过3个不同的点一般不能求出一条直线．
显然，过
个不同的点
能否求出一条直线的结论一般是否定的．在实际应用中，问题的提法降低为：能否求出一条回归方程（直线经验公式）
（1）
可以近似地描述这些点的变化趋势就够了．自然地，
到（1）应满足点到直线的距离应最短的条件．这是我们想起点到直线的距离公式（
）．
那么点
到（1）的距离
∑
/
（2）
即
∑
/
＝最小 （3）
直观分析（3），从既有绝对值，又有跟式的运算条件下确定参数
和
可能比较麻烦．从数学常用的手法看，降低条件看一看．如何降低条件哪，在两部分
和
中去掉前者恐怕不行，因为参数
被去掉了；去掉后者两个参数都在．此时（3）变为：
∑
（4）
能否给处（4）的一种比较容易接受的解释？考虑（4）的几何意义，它恰是
到（1）平行于
轴的距离之和，这样，我们使原问题得到简化．
虽然（4）的解释得到了，但有绝对值的运算还是不好解决．再改变条件，使用数学上常见的手段：两边平方，得：
最小 （5）
在（5）式中对
和
求偏导数（此为高等数学中的概念，看不懂得同学可略过）后，令其为0，解得
，
，
其中
，
，
，
此即常用的最小二乘法，具体可参阅专业书籍．
例如，部分国家13岁学生数学测验平均分数为（参考消息：1992—04—09，3版）
国家
中国
韩国
瑞士
前苏联
法国
以色列
加拿大
英国
美国
约旦
授课天数
251
222
207
210
174
215
188
192
180
191
分数
80
73
71
70
64
63
62
61
55
46
其经验公式为：
以上仅是求出回归方程的一种方法，从（3）到（4），从（4）到（5）还有其它的方法解决，不再叙述，有兴趣的同自己去阅读．
说明：该问题是点到直线距离的应用；直线型经验公式在实际中有广泛的应用，从而培养学生用数学的意识；在推导过程中蕴含着的丰富的数学思想方法和高超的数学技巧，以及对“距离”的理解对培养学生的数学技能和数学修养很有裨益．