椭圆与直线之定点
椭圆与直线之定点
x 2y 2x 2y 2
1、椭圆+=1的关系是( ) +=1与椭圆
9-m 15-m 159
A 有相等的长短轴 B 有相等的焦距 C 焦点相同 D 准线相同
bx 0bx 0x 2y 2
∙2、点P (x 0, y 0)在椭圆2+2=1上,则
b -y 0b +y 0a b
A 、b B 、a C 、a b D 、c
2
2
22
2
的值为( )
x 2y 2
3、椭圆2+2=1 (a>b>0)的半焦距为C ,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为C ,则此椭圆的
a b
离心率为( ) A
2-222-1 B C –1 D 22
2
2
2–1
4、椭圆4x +9y =36上一点P 到直线x -2y +10=0的最大距离是P 点坐标,最小距离是 , 此时P 点坐标 。
5、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为恰好过椭圆的一个焦点,则椭圆的标准方程为
42
5和5,过P 作长轴的垂线33
x 2y 2
6、方程-=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______.
2m m -1
7、已知椭圆中心在原点,它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点和椭圆上的点最近距离为-,则椭圆方程
8、已知椭圆的焦点为F 1(-3,0),F 2(3,0)且与直线x -y +9=0有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为 。
x 2y 29、设F 是椭圆+=1的右焦点,且椭圆上至少有21个不同点P i (i=1,2,3 )使|FP 1| , |FP 2| ……,
76
组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围
x 2y 2
10、椭圆:2+2=1:内接矩形的边平行于对称轴,则矩形最大面积=____________,最大周长_________
a b
(2007)20、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
x 2y 2
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0)
a b a +c =3, a -c =1,a =2, c =1, b 2=3
x 2y 2
∴+=1. 43
⎧y =kx +m
⎪
(II)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,由⎨x 2y 2得
=1⎪+3⎩4
(3+4k 2) x 2+8mkx +4(m 2-3) =0,
∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0,3+4k 2-m 2>0.
8mk 4(m 2-3)
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=.
3+4k 23+4k 2
3(m 2-4k 2)
y 1⋅y 2=(kx 1+m ) ⋅(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =. 2
3+4k
2
2
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),k AD ⋅k BD =-1,
∴
y 1y
⋅2=-1,y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0, x 1-2x 2-2
3(m 2-4k 2) 4(m 2-3) 16mk
+++4=0,
3+4k 23+4k 23+4k 27m 2+16mk +4k 2=0,解得
m 1=-2k , m 2=-
2k
,且满足3+4k 2-m 2>0. 7
当m =-2k 时,l :y =k (x -2) ,直线过定点(2,0),与已知矛盾;
2k 22时,l :y =k (x -) ,直线过定点(,0). 777
2
综上可知,直线l 过定点,定点坐标为(,0).
7
当m =-
x 2y 2
=1的焦38.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))设椭圆E :2+2
点在x 轴上
(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1, 求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆E 上的第一象限内的点, 直线F 2P 交y 轴与点Q , 并且, 证明:当a 变化时, 点p 在某定直线上. F 1P ⊥FQ 1
58x 28x 2
【答案】解: (Ⅰ) a >1-a , 2c =1, a =1-a +c ⇒a =+=1.
853
2
2
2
2
2
2
(x -c , y ), QF 2=(c , -m ) . (Ⅱ) 设F 1(-c , 0), F 2(c , 0), P (x , y ), Q (0, m ), 则F 2=
由1-a >0⇒a ∈(0, 1) ⇒x ∈(0, 1), y ∈(0, 1) .
2
⎧m (c -x ) =yc
F 1=(x +c , y ), F 1=(c , m ). 由F 2//QF 2, F 1⊥F 1得: ⎨
c (x +c ) +my =0⎩
⎧x 2y 2
=1⎪2+2
a 1-a ⎪⎪2222
⇒(x -c )(x +c ) =y ⇒x -y =c . 联立⎨x 2-y 2=c 2解得
⎪222a =1-a +c ⎪⎪⎩
2x 22y 222
⇒2+=1⇒x =(y ±1) . x ∈(0, 1), y ∈(0, 1) ∴x =1-y 222
x -y +11-x +y
所以动点P 过定直线x +y -1=0.
46.(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】C
解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心
(x , y ), MN 线段的中点为E ,由几何图像知ME =
MN
, CA 2=CM 2=ME 2+EC 22
⇒(x -4) 2+y 2=42+x 2⇒y 2=8x
(Ⅱ) 点B (-1,0), 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 由题知y 1+y 2≠0,y 1y 2
2
2
⇒
y 1-y 2y -y
=⇒21=22⇒8(y 1+y 2) +y 1y 2(y 2+y 1) =0⇒8+y 1y 2=0直线PQ 方x 1+1x 2+1y 1+8y 2+8
程为:y -y 1=
y 2-y 112
(x -x 1) ⇒y -y 1=(8x -y 1)
x 2-x 1y 2+y 1
所以, 直线PQ 过定点(1,0)
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知A 、B
为椭圆C
上的动点,当PA ⊥PB 时,求证:直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相
交于P
、Q 两点,且AP AQ =0.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)求证:直线l 过定点,并求出该定点N 的坐标.
成等差数列.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)求证:线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .
x 2y 2如图已知椭圆2+2=1(a >b >0
,且过点A (0,1).
a b
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ,N 两点.求证:直线MN 恒过定点.
CD ,设M ,N 分别为线段AB ,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程;
(2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;
(3)若k 1+k2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标.
x 2y 2⎛31⎫
已知椭圆+=1及点M -, -⎪,过点M 作直线l 交椭圆于P ,Q 两点.
124⎝22⎭
(1)若M 是弦PQ 的中点,求直线PQ 的方程;
(2)求证:以线段PQ 为直径的圆恒过椭圆上一定点A ,并求出定点A 的坐标.
x 2
+y 2=1的右焦点为F ,过焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ,设弦AB 、CD 的中点分如图,椭圆E :2
别为M 、N .
(Ⅰ)求证:直线MN 恒过定点T ,并求出T 的坐标;
(Ⅱ)求以AB 、CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程,并判断定点T 与轨迹的位置关系
y 2+2=1
(a >b >
b