九年级数学用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程
【学习目标】
1．了解一元二次方程的含义．
2
2．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(x －a ) ＝b (b ≥0) 的方程． 3．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程． 4．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程． 【主体知识归纳】
1．整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．
2．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
22
3．一元二次方程的一般形式为ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ，其中ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．
4．直接开平方法 形如x ＝a (a ≥0) 的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2
＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
2
b 2b -4ac 2
5．配方法 将一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 化成(x ＋) ＝的形式后，当b －4ac ≥2
2a 4a
2
2
0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．
-b ±b 2-4ac 2
6．公式法 用一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 的求根公式x ＝(b －4ac ≥0) ，这
2a
2
种解一元二次方程的方法叫做公式法．
【基础知识讲解】
1．一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2”．
一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而
22
言的．例如，判断方程2x ＋2x －1＝2x 是否是一元二次方程？应先整理方程，得2x －1＝0，所以此方程不是一元二次方程．
2
2．在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax ＋bx ＋c ＝0，再确
2
定所求．方程ax ＋bx ＋c ＝0只有当a ≠0时，才是一元二次方程，例如a ＝0，b ≠0时，它就是一元一次
2
方程，因此，如果明确指出ax ＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，那么就一定包括a ≠0这个条件．
2
3．直接开平方法适用于解化为x ＝a 形式的方程，当a ≥0时，方程有实数解；当a ＜0时，方程没有实数解．
4．配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是负数时，方程无实数解．
5．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，
22
才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b －4ac 的值，当b －4ac ≥0时，代入公式求出方
2
程的根；当b －4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公 式了．
【例题精讲】
例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：
223
(1)5x ＋6＝3x (2x ＋1) ；(2)8x ＝x ；(3)y －y －1＝0；
222
(4)4x －3y ＝0；(5)－x ＝0；(6)x (5x －1) ＝x (x ＋3) ＋4x ．
剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．
只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．
222
解：(1)去括号，得5x ＋6＝6x ＋3x ，移项、合并同类项，得x ＋3x －6＝0， ∴此方程是一元二次方程．
2
(2)移项，得8x －x ＝0，∴此方程是一元二次方程．
(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程． (4)∵方程中含有两个未知数， ∴它不是一元二次方程． (5)∵a ＝－1≠0， ∴它是一元二次方程． (6)整理，得4x ＝0
∴它不是一元二次方程．
例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
22
(1)2x ＝3x ＋5；(2)(x ＋1)(x －1) ＝1；(3)(x ＋2) －4＝0．
剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程．
2
解：(1)整理，得2x －3x －5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
2
(2)整理 ，得x －2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
2
(3)整理，得x ＋4x ＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
2
例3:关于x 的整式方程(m －1) x ＋(2m －1) x ＋4＝0是一元二次方程吗?
剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2．原方程显然满足(1)、(2)．由于不知m 是怎样的实数，所以不一定满足(3)．因此，需分类探讨．
解：当m －1≠0，即m ≠1时，原方程是一元二次方程．
当m －1＝0，即m ＝1时，原方程是x ＋4＝0是一元一次方程．
说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数．特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号．
例4:用直接开平方法解下列方程：
22
(1)3x －27＝0；(2)(3x －5) －7＝0．
222
解：(1)3x －27＝0，3x ＝27，x ＝9，
∴x ＝±9，即x ＝3或x ＝－3．∴x 1＝3，x 2＝－3． (2)(3x －5) －7＝0，(3x －5) ＝7， ∴3x －5＝±，
即3x －5＝7或3x －5＝－． ∴x 1＝
2
2
7+5-7+5
，x 2＝． 33
例5：用配方法解方程2x ＋7x －4＝0．
剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；
(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；
2
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a ) ＝k 的形式，然后用开平方法求解． 解：把方程的各项都除以2，得x ＋＋(
2
2
7777
x －2＝0．移项，得x 2＋x ＝2．配方，得x 2＋x ＋() 2＝22224
72817281
) ＝，即(x ＋) ＝． 441616
解这个方程，得x ＋
817791
＝±，x ＋＝±．即x 1＝，x 2＝－4．
164442
说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变
2
形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x －4x ＋3的值恒大于零，可以
222
做如下的变形：2x －4x ＋3＝2x －4x ＋2＋1＝2(x －1) ＋1．
例6：用公式法解下列方程：
(1)2x ＋7x ＝4；(2)x －1＝23x ．
解：(1)方程可变形为2x ＋7x －4＝0．
22
∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b －4ac ＝7－4×2×(－4) ＝81＞0，
2
2
2
-7±72-4⨯2⨯(-4) -7±91∴x ＝．∴x 1＝，x 2＝－4． =
2⨯242
(2)方程可变形为x －2x －1＝0．
∵a ＝1，b ＝－23，c ＝－1，b －4ac ＝(－23) －4×1×(－1) ＝16＞0．
2
2
2
∴x ＝
-(-23) ±23±4
．∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2． =
2⨯12
说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式．
222
例7：一元二次方程(m －1) x ＋3m x ＋(m ＋3m －4) ＝0有一根为零，求m 的值及另一根．
2
解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m ＋3m －4＝0，解得m 1＝1，m 2＝－4，又因为此方程是一元二次方程，所以m －1≠0，即m ≠1，所以m ＝－4．
2
把m ＝－4代入方程，得－5x ＋48x ＝0， 解得：x 1＝0，x 2＝9. 6， 所以方程的另一根为9. 6．
说明：方程有一根为零时，常数项必须为零；求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件．
【同步达纲练习】 1．选择题
(1)下列方程中是一元二次方程的是( )
24
A ．2-＝0
x x
x 2x
-＝0 B ．
23
C ．x ＋2xy ＋1＝0
2
D ．5x ＝3x
－1
(2)下列方程不是一元二次方程的是( ) A ．
12
x ＝1 2
B ．0.01x ＋0．2x －0.1＝0C ． x－3x ＝0
22
D ．
12
x －x ＝2
12
(x ＋1) 2
(3)方程3x －4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A ．3，－4，－2 B ．3，2，－4 C ．3，－2，－4 0
(4)一元二次方程2x －(a ＋1) x ＝x (x －1) －1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
22
(5)若方程(m －1) x ＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )
A ．m ≠0 B ．m ≠1 C ．m ≠1且m ≠－1 D ．m ≠1或m ≠－1
(6)方程x (x ＋1) ＝0的根为( )
A ．0 B ．－1 C ．0，－1 D ．0，1
2
(7)方程3x －75＝0的解是( )
A ．x ＝5 B ．x ＝－5 C ．x ＝±5 D ．无实数根
2
(8)方程(x －5) ＝6的两个根是( )
A ．x 1＝x 2＝5＋6
B ．x 1＝x 2＝－5＋6 D ．x 1＝5＋，x 2＝5－6
2
2
D ．2，－2，
C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6
2
(9)若代数式x －6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )
A ．1或5 B ．7或－1 C ．－1或－5 1
2
D ．－7或
(10)关于x 的方程3x －2(3m －1) x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2
B ．－
1
2
C ．－2 D ．
1 2
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
2
(1)4x ＋1＝9x ； (2)(x ＋1)(x －3) ＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3) ＝2(x －3) ；
2
2
(4)3y －2y ＝2y －y ＋5．
22
3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1) x －4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程? 当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x ＝
22
9； 4
(2)x ＝1．96；
2
2
(3)3x －48＝0； (6)(6x －7) －9＝0．
2
2
(4)4x －1＝0； (5)(x －1) ＝144；
5．用配方法解下列方程：
22
(1)x ＋12x ＝0； (2)x ＋12x ＋15＝0
(3)x －7x ＋2＝0；
2
2
(4)9x ＋6x －1＝0；
6．用公式法解下列方程： (1)x －2x ＋1＝0； ＋x ＝0．3；
(5)4x －1＝0；
22
(5)5x －2＝－x ；
2
(6)3x －4x ＝2．
2
(2)x (x ＋8) ＝16； (3)x －
2
5
x ＝2； 3
(4)0．8x
2
(6)x ＝7x ；
2
(7)3x ＋1＝23x ；
2
(8)12x
2
＋7x ＋1＝0．
2
7．(1)当x 为何值时，代数式2x ＋7x －1与4x ＋1的值相等?
22
(2)当x 为何值时，代数式2x ＋7x －1与x －19的值互为相反数?
8．已知a ，b ，c 均为实数，且a 2-2a +1＋｜b ＋1｜＋(c ＋3) ＝0，解方程ax ＋bx ＋c ＝0．
2
2
2
9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的根．
10．用配方法证明：
22
(1)3y －6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x －7x －4的值恒小于零．
22
11．证明：关于x 的方程(a －8a ＋20) x ＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．
【思路拓展题】
怎样付车费才合理
节假日里，乘坐出租车出游成为城市市民经济实惠的一种选择，朋友们合乘一辆出租车，AA 制(即平均分摊) 方式分摊车资是一种合理且现代的消费方式．有一次，甲、乙、丙三位朋友合乘一辆出租车，讲好大家分摊车资，甲在全程的
12
处下车，乙在全程的处下车，最后丙一人坐到了终点，共付了90元钱．请33
你算一算，甲、乙应该付给丙多少车费?
参考答案
【同步达纲练习】
1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D
2．(1)9x －4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x －4x ＝0，1，－4，0； (3)x －12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(＋(
2
2
2
－2) y 2
－2) y －5＝0，3－2， 3－2，－5．
3．m ≠－1，m ＝4．(1)x 1＝
1
2
33，x 2＝－； 22
(2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－
11
，x 2＝； 22
(5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝
25，x 2＝． 33
21，x 2＝－6＋21；
5．(1)x 1＝0，x 2＝－12； (2)x 1＝－6－(3)x 1＝
7-417+41
，x 2＝； 22-1+2-1-2(4)x 1＝，x 2＝；
33-1-41-1+41(5)x 1＝，x 2＝；
10102+2-(6)x 1＝，x 2＝．
33
6．(1)x 1＝x 2＝1； (2)x 1＝－4－4(3)x 1＝
2，x 2＝－4＋42；
5-5+13
，x 2＝；(4)x 1＝，x 2＝－； 664211
(5)x 1＝，x 2＝－；(6)x 1＝0，x 2＝7；
22
(7)x 1＝x 2＝；
311
(8)x 1＝－，x 2＝－．
34
1
7．(1)x ＝－2或x ＝；
25
(2)x ＝－4或x ＝．
3
8．x 1＝
1+1-，x 2＝． 22
2
2
2
9 把1代入ax ＋bx ＋c 中，得ax ＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0 ∴1是方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根．
10 (1)∵3y －6y ＋11＝3y －6y ＋3＋8＝3(y －1) ＋8
又(y －1) ≥0，∴3(y －1) ＋8＞0． 即3y －6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x －7x －4＝－10(x ＋＝－10［(x ＋
2
2
2
2
2
2
2
2
74
x ＋) 1010
72111
) ＋］
40020
72111
＝－10(x ＋) －．
204072
又－10(x ＋) ≤0，
20
72111
∴－10(x ＋) －＜0．
4020
即－10x －7x －4的值恒小于零． 11 ∵a －8a ＋20＝(a －4) ＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程 【思路拓展题】
甲付给丙15元，乙付给丙30元
2
2
2