直线和圆的方程测试题
西中高一(14)(15)班《直线与圆的方程》单元测试 韩世强
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.在直角坐标系中,直线xy30的倾斜角是( )
A.
B.
C.
5 D.
2 6
3
6
3
2.如下图,在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是(
)
3.若直线ax2y10与直线xy20互相垂直,那么a的值等于( )
A.1 B.
13 C.2
3
D.2
4. 若直线ax2y20与直线3xy20 平行,那么系数a等于(
A.3
B.6
C.
3
2
D.23
5. 圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为(
)
A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0 C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0
若圆C与圆(x2)2(y1)2
1关于原点对称,则圆C的方程是(
)
A.(x2)2(y1)2
1 B.(x2)2(y1)2
1 C.(x1)2
(y2)2
1
D.(x1)2
(y2)2
1
)
7.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )
A.相离 C.外切
B.相交 D.内切
8.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 C.x+3y-5=0
B.3x+y-7=0 D.x-3y+1=0
9.若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点,点C是点D(2,-2,5)关于y轴对称的点,则|AC|=( )
A.5 C.10
13 10
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为( )
3 3或-3
2 2和-2
11.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3)2+4y2=1
2
2
2
B.(x-3)2+y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1
12.设圆(x3)(y5)r(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等
于1,则圆半径r的取值范围是
A.3r5 B.4r6 C.r4
D.r5
( )
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 以点(1,3)和(5,1)为端点的线段的中垂线的方程是
14.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值为____________.
15.(2004年上海,理8)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、 B(0,-2),则圆C的方程为____________. 16.设有一组圆Ck:(xk1)2(y3k)22k4(kN*).下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 .D.所有的圆均不经过原点 .其中真命题的代号是
.(写出所有真命题的代号)
西中高一(14)(15)班《直线与圆的方程》单元测试 答题卡
班级 学号 姓名 得分
二.填空题(每小题5分,4个小题共20分)
13. 14.
15. 16.
三、解答题(共6小题,计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分10分)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD外接圆的方程.
18.(本小题满分12分)
求经过点A(2,1),和直线xy1相切,且圆心在直线y2x上的圆方程.
19 (本小题满分12分) 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
20. (本小题满分12分)
设圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;
③圆心到直线l:x2y
C的方程.
(21)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上.
(I)求圆C的方程;
(II)若圆C与直线xya0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.
22.(本小题满分12分)
已知直线l:y=k (x+22)与圆O:x2y2
4相交于A、
B两点,O是坐标原点,三角形ABO的面积为S. (1)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域; (2)求S的最大值,并求取得最大值时k的值.
西中高一《直线与圆的方程》单元测试答案
班级 学号 姓名 得分 一.选择题(每小题5分,12个小题共60分)13. xy20 14.4
15. (x-2)2+(y+3)2=5 16.B,D
三.解答题(第17、18、19、20、21小题每小题12分, 第22小题14分,6个小题共74分)
17解析:(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AD上,
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1), 即3x+y+2=0.
x-3y-6=0(2)由解得点A的坐标为(0,-2),
3x+y+2=0
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0), 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又|AM|(2-0)+(0+2)=22,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
18.求经过点A(2,1),和直线xy1相切,且圆心在直线y2x上的圆方程. . 【解】:(x1)2(y2)22
19已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 2x+y-7=0, x=3, ∵m∈Rx+y-4=0, 得 y=1,
即l恒过定点A(3,1).
∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径), ∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点. (2)解:弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-
1
,∴l的方程为2x-y-5=0. 2
20.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆
心到直线l:x2y
0 2
2
2
2
解.设圆心为(a,b),半径为r,由条件①:ra1,由条件②:r2b,从而有:
2b2a212ba1.
可得:|a2b|1,解方程组
5|a2b|1
2
2
a1a12222
或,所以r2b2.故所求圆的方程是(x1)(y1)2或
b1b1
(x1)2(y1)22.
21解(Ⅰ)曲线yx6x1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(32,0),(322,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32(t1)2(22)2t2,解得t=1.
2222
则圆C的半径为(t1)3. 所以圆C的方程为(x3)(y1)9.
2
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
xya0,22
,消去y,得到方程 2x(2a8)xa2a10. 22
(x3)(y1)9.
由已知可得,判别式5616a4a0.
2
因此,x1,2
(82a)5616a4a2
4a202a1
2
,从而
x1x24a,x1x2
①
由于OA⊥OB,可得x1x2y1y20,又y1x1a,y2x2a,所以
2x1x2a(x1x2)a20.
②
由①,②得a1,满足0,故a1.
22.【解】::如图,
(1)直线l议程 kxy22k0(k0), 原点O到l的距离为oc
22kk
2
弦长AB2OA2
OC2
248K21K
2
△ ABO面积
S1
2ABOC
42K2(1K2)1K2
AB0,1K1(K0), S(k)
42k2(1k2)
1k
2
(1k1且K0
(2) 令 1
1k2t
,1
2
t1,S(k)
42k2(1k2)
1422t23t1422(t3)21
k2
48
.
当t=314时,
1k234
,k213,k3时, Smax2
●典例剖析
【例1】 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
剖析:由于OP⊥OQ,所以kOP·kOQ=-1,问题可解.
解:将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0. 设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1、y2满足条件
12m
. 5
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2, ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
y1+y2=4,y1y2=
15,3),半径r=. 22
22
例2.如图,过圆O:x+y=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线,M为上任一点,过M
∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-
作圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。
分析:
从寻找点P满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连OQ,则由OQ⊥MQ,AP⊥MQ得OQ∥AP 同理,OA∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2
x0x
设P(x,y),Q(x0,y0),则
yy20
又x0+y0=4
∴ x+(y-2)=4(x≠0)
评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆的
弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
例3.(2003北京春理,12)在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( ) A.95 B.91 C.88 D.75 答案:B 解析一:由y=10-
2
2
22
22
x(0≤x≤15,x∈N)转化为求满足不等式y≤10-x(0≤x≤15,x33
∈N)所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0,y有11个整数,x=1,y有10个,x=2或x=3
时,y分别有9个,x=4时,y有8个,x=5或6时,y分别有7个,类推:x=13时y有2个,x=14或15时,y分别有1个,共91个整点.故选B。
解析二:将x=0,y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。
对角线上共有6个整点,矩形中(包括边界)共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有
1766
=91(个) 2
点评:本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑,通过不等式解等知识探索解题途径。
练习.(训练题14)已知ABC的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点),且
A(0,0),B(36,15).则ABC的面积的最小值是(B).
(A)
例4.已知x,y满足(x1)y1,求2x3y。
分析:根据2x3y的结构特征,可联想道点(x,y)到线2x3y180的距离公式
2
2
1357
(B) (C) (D) 2222
2x3y(x,y)到直线2x3y180的距离的最,则原题可转化为圆上一点
小值,由图形可知,该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差,即:2x3y=2x3y18
2018
1)16
∴二元表达式2x3y的最小值为16
练习
.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为( D ) A.
22 B.1 C.1+ D.2 22