椭圆与双曲线
一 . 椭圆的标准方程
1. 定义法: 根据椭圆定义,先确定 a 2,b 2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程。 2. 待定系数法: 根据椭圆较焦点在x 轴上还是在y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a ,b ,c 的方程组,解出a 2,b 2,从而写出椭圆的标准方程。 注意:①如果椭圆焦点位置不能确定,可设方程Ax 2+By 2=1(A >0, B >0, A ≠B )或 x m
22
+
y n
22
=1(m ≠n
2
2
)
x
22
②与椭圆
x m
22
+
y n
22
=1共焦点的椭圆可设为
m +k
+
y
2
2
n +k
=1k >-m , k >-n
(
22
)
③与涂椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)有相同离心率的椭圆可设为
x a
22
+
y b
22
=k 1(k 1>0)焦点
在x 轴上,或
x a
22
+
y b
22
=k 2(k 2>0)焦点在y 轴上。
④ s ∆PF
1F 2
的最大值为 bc F 1F 2
⑤e =
PF 1+PF 2
二. 椭圆性质的推广与焦点三角形的处理方法 以椭圆顶
点
2
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)上一点P (x 0, y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(-c , 0)、F 2(c , 0)为定
的
2
∆PF 1F 2
2
中,若
∠F 1PF 2=θ
,
12
则①
PF 1+PF 2=2a
;
②4c =PF 1+PF 2三. 双曲线
-2PF 1PF 2cos θ;③s ∆PF 1F 2=
PF 1⋅PF 2⋅sin θ
2. ⑴等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线。 ⑵双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e =置关系)。
3. 点P (x 0, y 0)和双曲线
22
2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0)的关系:
⑴P 在双曲线内⇔
x 0a
-
y 0b
2
2
>1(含焦点)
⑵P 在双曲线上⇔
x 0a
22
-
y 0b
2
2
=1
⑶P 在双曲线外⇔
x 0a
22
-
y 0b
2
2
4. 焦点三角形:双曲线上的点P (x 0, y 0)与两焦点构成的∆PF 1F 2称作焦点三角形,∠F 1PF 2=θPF 1=r 1,PF 2=r 2.
12
sin θ1-cos θ
b tan
2
⑴S ∆PF
1F 2
=
r 1r 2sin θ=
b =
2
θ
2
=c y 0
⑵ 离心率e =
F 1F 2PF 1-PF 2
5. 焦点弦:过双曲线焦点的直线与双曲线交与A 、 B 两点,则称线段AB 为双曲线的焦点弦,通径长为
2b a
2
.
6. 线段AB 为双曲线
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0)的弦,A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),弦中点
M (x 0, y 0),设直线AB 的弦率存在,为k.
⑴ 弦长
l =
2
+k
2
x 1-x 2=
+k
2
(x 1+x 2)2-4x 1x 2
=+
1k
2
y 1-y 2(k ≠0)
⑵ k =
b x 0a y 0
2
或k ⋅k OM =
b a
22
⑶直线AB 的方程:y -y 0=
b x 0a y 0
2
2
(x -x 0)。
a y 0b x 0
22
⑷直线AB 的垂直平分线方程:y -y 0=-
22
22
(x -x 0)
x a
22
7. ⑴与双曲线
x a
-
y b
=1(a >0, b >0)有共同渐近线的双曲线方程为
-
y b
22
=k (k ≠0)
⑵以
x a
±
y b
=0为渐近线的双曲线方程为
x a
22
-
y b
22
=k (k ≠0)
四. 求双曲线的标准方程
⑴ 定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a 、2b 或2c ,从而求出a 2, b 2,写出双曲线的方程。
⑵ 待定系数法:先确定焦点在x 轴上还是在y 轴上,设出标准方程,再由条件确定a 2, b 2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x m
22
-
y n
22
=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
注意:①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2+ny 2=1(mn ≠0),其中m >0且n >0,且m ≠n 时表示椭圆;mn
②常见双曲线设法:
(i )已知a=b的双曲线方程可设为x 2-y 2=λ(λ≠0); (ii )已知过两点的双曲线方程可设为Ax 2-By 2=1(AB >0);
x a
22
(iii )已知离心率为e 的双曲线方程可设为-
y
2
2
e
2
-1a
=1或
y a
22
-
x
2
e
2
-1a
2
=1;
(iv )已知渐近线为
x m
±
y n
=0的双曲线方程可设为
x m
22
-
y n
22
=λ(λ≠0)
五. 关于双曲线的渐近线
⑴求法:求双曲线
x a
y b
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0)的渐近线方程是令
x a
22
-
y b
22
=0,即得
两渐近线方程为
±=0,即y =±
b a
x
⑵两条渐近线的倾斜角互补,弦率互为相反数,且关于 x 轴、y 轴对称
六. 判断直线l 与圆锥曲线r 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +c =0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线r 的方程F (x , y )=0. 消去y (也可消去x )得到一个关于变量
⎧Ax +By +c =02
x 的一元二次方程,即⎨消去y (也可消去x )后得ax +bx +c =0
⎩F (x , y )=0
⑴当a ≠0时,则当①∆>0时,直线l 与曲线r 相交;②∆=0时,直线l 与曲线r 相切;③∆
⑵当a=0时,即得到一个一次方程,则l 与r 相交,且只有一个交点,此时,若r 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若r 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。
七. 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦
直线l :f (x , y )=0,曲线r :N ,F (x , y )=0,M (x 1, y 1),l 与r 的两个不同交点为M 、N (x 2, y 2),则(x 1, y 1)
⎧f (x , y )=0
的两组解。方程组消元后化为关于x (x 2, y 2)是方程组⎨
()F x , y =0⎩
(也可以是y )的一元二次方程Ax 2+Bx +c =0(A ≠0). 判别式∆=B 2-4AC ,应有
∆>0,所以x 1, x 2是方程Ax 2+Bx +c =0(A ≠0)的解. 由根与稀疏的关系(韦达定理)求
出x 1+x 2=-
B A
,x 1x 2=
C A
,所以AB 两点距离AB =
1k
2
+k
2
x 1-x 2,此即为弦长公式,
也可以写成关于y 的形式,弦长公式为AB =+
y 1-y 2(k ≠0)
八. 已知弦AB 的中点,研究AB 的弦率和方程 ⑴AB 是椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)的一条弦,中点M 的坐标为(x 0, y 0),则AB 的
斜率为-
b x 0a y 0
2
2
. 运用点差法求AB 的斜率,设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2). 因为AB 在椭圆上,
⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x 1
22
2x 2a
++
y 1
2
2y 2b
2
2
=1
两式相减得
=1
x 2)
x 1-x 2
a
2
22
+
y 1-y 2
b
2
22
=0
2
所以
(x 1-x 2)(x 1+
a
2
+
(y 1-y 2)(y 1+y 2)b
2
=0
即
y 1-y 2x 1-x 2
2
(x 1+x 2)b x 0
=-2=-2,故k AB
a (y 1+y 2)a y 0
b
2
=-
b x 0a y 0
2
2
⑵运用类比的方法可推出:已知AB 是双曲线
2
x a
22
-
y b
22
=1的弦,中点M (x 0, y 0),则
k AB =
b x 0a y 0
2
已知抛物线y =2px (p >0)的弦AB 的中点M (x 0, y 0),则k AB =
2
p y 0