高中数学2-3排列组合典型例题教师用
1.分类计数原理: 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+„+nM种不同的方法.
2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,„„,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·„nM 种不同的方法.
注:分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时,每一种方法都独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步。
3.⑪排列的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同......
元素中取出m个元素的一个排列.
⑫排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元
m素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数, 用符号An表示. 其中n,m∈N,并且
m≤n.
m⑬排列数公式: Ann(n1)(nm1)n!(m≤n,n,mN) (nm)!
n当m=n时,排列称为全排列,排列数为An=n(n1)21 记为n!, 且规定O!=1.
mm1注:nn!(n1)!n! ; An nAn1
4.⑪组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
⑫组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cn表示. m
Amn(n1)(nm1)n!mn⑬组合数公式: Cn. mAmm!m!(nm)!
0规定Cn1,其中m,n∈N+,m≤n.
注: 排列是“排成一排”,组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质:
nm①Cm
nCn; 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的.
1m②Cm
nCmCnn1 根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元
1素中再取m-1个元素,所以有Cm
n,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个
m1mm元素,所以共有Cm
n种,依分类原理有CnCnCn1.
5.解排列、组合题的基本策略与方法
(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法:
①直接法; ②排除法;
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先
特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有Ann种,m(mn)个元素的全排列有Amm种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有Ann
Amm种排列方法.
(Ⅱ)排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略; ②合理分类与准确分步策略;
③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列); ④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略;
⑧分排问题直排处理的策略; ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略; ⑩构造模型的策略.
1.1两个计数原理(1)
例1、某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。
(1)若学校分配给该班1名代表,有多少不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女代表各一名,有多少种不同的选法? 解:
aaa3b1b2b3b4c1c2c3c4c5练习1、乘积12展开后共有多少项?
例2(1)在下图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?
(2)在下图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法?
(1)
(2)
解:
例3、为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中,
(1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
(2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的密码共有多少个?
(3)密码为4~6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个? 解:
例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色, 要求相邻两块涂不同的颜色, 共有多少种不同的涂法? 解: 1
一、选择题
(3) (2) 4)
1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( ).
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( ).
A.种 B. 种 C.18种 D.36种
3.已知集合 , ,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ).
A.18 B.10 C.16 D.14
4.用1,2,3,4四个数字在任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和共有( ).
A.8个 B.9个 C.10个 D.5个
二、填空题
1.由数字2,3,4,5可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数.
2.用1,2,3„,9九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数. 3.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法.
4.大小不等的两个正方体玩具,分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6,则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种.
三、解答题
1.从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,能得到多少个不同的对数值?
2.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中,与正八边形有公共边的有多少个?
2.用1,2,3,4,四个数字组成没有重复数字的四位数,所有四位数的数字之和是( )
A. 10 B.24 C.240 D.60
3.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( )
A.25 B.26 C.36 D.37
4.某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话门数是( )
A. 9×8×7×6×5×4×3 B.8×96
C.9×108 D.81×105
5.将3名大学生分配到4个不同的工厂去实习,每厂接受的名额不限,总的分配方案数是( )
A.3+4 B.3×4 C.34 D.43
6.已知集合A={a,b,c,d},B={x,y,z},则从集合A到集合B的不同映射个数最多有( )
A.3+4 B.3×4 C.34 D.43
7.有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同的日文书5本,从中取出不是同一国文字的书2本,共有 种不同的取法.
8.集合A{1,2,3},B{1,2,3,4},从A,B中各取一个元素作为点P(x,y)的坐标,
(1)可以得到 个不同的点.(2)这些点中,位于第一象限的有 个.
9.有三个车队分别有5辆、6辆、7辆车,现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务,共有 种不同的抽调方案.
10.某巡洋舰上有一排四根信号旗杆,每根旗杆上可以挂红色、绿色、黄色三种信号旗中的一面(每根旗杆必须挂一面),则这种信号旗杆上共可发出 种不同的信号.
11.四名学生争夺三项比赛的冠军,获得冠军的可能性有.
12.用0,1,2,3,4,5可组成个无重复数字的三位偶数.
13.72所有不同的正约数的个数有 个。
14. 现要排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?
15.现有一袋,袋中装有有一角纸币4张,一元纸币3张,五元纸币3张,50元纸币4张,从袋中任意取纸币,至少取一张,共可取多少种不同的币值结果?
16.某座四层大楼共有三个大门,楼内有两个楼梯,那么由楼外到这座楼内的第四层的不同走法种数有多少?
1.从甲地到乙地每天有直达班车4班,从甲地到丙地,每天有5个班车,从丙地到乙地,每天有三个班车,则从甲地到乙地,不同的乘车法有( )
A.12种 B.19种 C.32种 D.60种
2.若x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则x·y的不同值有( )
A.2个 B.6个 C.9个 D.3个
3.有4部车床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有( )
A.34 B.43 C.4×3×2 D.44
4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每个同学可自由选择,则不同的选择种数是( )
A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4
5.集合M=1,2,3的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
6.设集合A=B=5,6,7,则从A集到B集所有不同映射的个数是( ) 1,2,3,4,
A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确
7.某班三好学生中有男生6人,女生4人,从中选一名学生去领奖,共有________种不同的选派方法;从中选一名男生一名女生去领奖,则共有_________种不同的选派方法.
8.从1到10的所有自然数中任取两个相加,所得的和为奇数的不同情形有___种.
9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有.
10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有.
11. 乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有
项.
12.某校信息中心大楼共5层,一楼和二楼都有4条通道上楼,三楼有3条通道上楼,四楼有2条通道上楼,那么一人从一楼去五楼,共有 种不同的走法.