拓扑学教案4

2.3 拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念

本节为教材2.3，2.4和2.5三节合并在一起，主要目的是将数学分析（度量空间）中的基本概念与拓扑学中的概念作以比较。

一、 度量空间中的几个基本概念

⑴ 邻域（开球）B (x , ε) ：在实分析中，邻域是有半径的开集。它在分析学中起着重要的作用，许多分析学的概念都有它来定义。

下面给出一个度量空间球形邻域的例子。

例 C [a , b ]表示区间[a , b ]上的连续函数全体，∀f , g ∈C [a , b ]，定义两个函数f 和g 的距离 d (f , g ) =max f (x ) -g (x ) a ≤x ≤b

令h (x ) =k (x ∈[a , b ])，则关于h (x ) 的ε-球形邻域B (h , ε) 如下图所示。

是A 的一个内点。

说明：内点x 是这样的点，它自身属于A ，并且它“近旁”的一切点都属于A 。

⑶ 外点 —— 若x ∈A ，且存在一个邻域B (x , ε) ⊂A ，则称x 是A 的一个外点。

说明：A 的外点x 自身不属于A ，而且它存在一个邻域的也不属于A ，它是A 的内点。 ⑷ 边界点 —— 若x ∈X , x 既非A 的内点，也非A 的外点。或

者说，对于任何ε>0，B (x , ε) 与A 和A C 的交均非空，则称x 是A

的一个边界点。

⑸ 内部 ——A 中所有内点的全体称为A 的内部，记为int A 或

点 C C C K+K ⑵ 内点 ——设A 是(X , d ) 的一个子集，若x ∈A 且存在点x 的一个邻域B (x , ε) ⊂A ，则称x i (A ) . ⑹ 外部 ——A 的外点全体。 ⑺ 边界 ——A 的所有边界点全体，记为b (A ) 或∂A 。 ⑻ 开集 —— 如果A 中的每一点都是A 的内点，即

A =int A 。

例如：开区间(a , b ) 是R 中的一个开集；

开圆盘是R 2中的一个开集；

一般的，任意n 维开球是R n 中的开集（但开集未必是开球）。此外，整个R n 当然是R n 中的开集。

约定：空集也是开集。

⑼ 闭集 —— 若A C =X -A 是X 中的开集，则称A 是X 中的闭集。

⑽ 聚点 —— 设A 是(X , d ) 的一个子集，x ∈X ，若∀ε>0，有

B (x , ε) ⋂(A -{x })≠∅

则称x 是A 的一个聚点（或极限点）。

说明：①注意，聚点本身可能属于A ，亦可能不属于A 。

② A 的内点一定是A 的聚点，A 的外点一定不是聚点。

③如果x 是A 的一个聚点，那么必存在一列x n ∈A （n = 1，2，…），x n ≠x ，

使x n →x ，这表明在A 内存在一列点积聚在x 周围，即谓之“聚”也。

问题：A 的边界点是不是A 的聚点呢？（不一定，有可能是孤立点）

⑾ 导集 —— A 的所有聚点全体之集合，称为A 的导集，记为d (A ) 。

⑿ 闭包 —— =A ⋃d (A ) 称为A 的闭包。

例如：直线上(a , b ) 的闭包是[a , b ]。

⒀ 稠密子集 —— 若=X ，则称A 为(X , d ) 的稠密子集，或称A 在(X , d ) 中是稠密的。 例如，有理数集在R 上稠密。

⒁ 疏子集(疏朗集) —— 若int =∅，称A 为(X , d ) 的疏子集。

例如，设A ={ n , }，有0∉A ，但是，0是A 的聚点，又Int =∅，则A 是E 1的疏子集。

⒂ 孤立点 —— 若x ∈A ，但不是A 的聚点，即存在使得

B (x , ε) ⋂A ={x }

则称x 是A 的孤立点。

思考：1）x ∉A ，也不是A 的聚点，x 是A 的什么点？（答：外点）

2）孤立点与边界点关系？（答：是边界点）

⒃ 完全集 —— 若A 是无孤立点的闭集，则称A 为(X , d ) 的完全集。

二、 拓扑空间中的相关概念的定义

（1）开集 —— 在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑ϑ 中的元素称为开集，这是公理性定义。

我们在邻域概念中回避半径ε（度量），将含点x 的集合称为x 的邻域。于是有如下定义：

（2）邻域 ——设(X , ϑ )为拓扑空间， x ∈X , U 为X 的子集。若存在一个包含x 的开集V （注：V 是ϑ 中的元素），且x ∈V ⊂U ，则称U 为x 的邻域。

注：由定义知，开集（即拓扑中的元素）本身也是所含元素的邻域。

邻域可以不是开集，即邻域U 可以不在拓扑ϑ 中，但它要含有开集。

▲ 定义：凡是包含x 的开集（ϑ 中的元素）均为x 的邻域，称为点x 的开邻域。

（注意：开邻域与邻域的区别）

▲ 定义：点x 的所有邻域构成X 的子集族，称为点x 的邻域系。

定理1（2.3.1）： 拓扑空间X 的子集U 是开集⇔U 为其每一点的邻域。即∀x ∈U ，有U 为x 的邻域。

证明： ⇒（必要性）由邻域的定义，这是显然的。

⇐（充分性）设U 为其每一点的邻域，于是，∀x ∈U ，存在开集V x 使得x ∈V x ⊂U 。 (注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明U 是开集) 由V x ⊂U ，有U =

x ∈U V x 。因为V x 是开集，故U 是开集.

重点理解该定理的意义：对于(X , ϑ ) 中的子集U ，有

U 是非空开集⇔U 是其每一点的邻域

下面关于邻域的结论是明显的（定理2.3.2）。

X 是拓扑空间，x ∈X ，U x 为x 的邻域系：

① ∀x ∈X , U x ≠∅；

解释：至少X 是x 的邻域。

② 若U ∈U x ，则x ∈U ； 解释：由定义给出。

③ 若U , V ∈U x ，则U ⋂V ∈U x ；

解释：若U , V ∈U x ，则存在u x ∈ϑ ,且u x ⊂U ，同时存在v x ∈ϑ ,且v x ⊂V ，于是有u x ⋂v x ⊂U ⋂V ，根据拓扑公理（2），有 u x ⋂v x ∈ϑ ，故U ⋂V ∈U x .

④ 若U ∈U x ，且U ⊂V ，则V ∈U x ； 解释：由定义给出。

⑤ 如果U ∈U x ，则存在V ∈U x 满足：

a ). V ⊂U

b ) . 对于任一 y ∈V , V ∈U y .

解释：若U ∈U x ，则由定义，存在x ∈u x ∈ϑ ，有u x ⊂U ，只要取V =u x 即可。于是对于任意y ∈V ，由于V ∈ϑ ，则V ∈U y .

由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理

2.3.1) 导出开集, 从 U x (∀x ∈X ) 具有定理 2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义

τ={U ⊂X ∀x ∈U , U ∈U x }, 则(X , τ) 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 U x . 详见定理 2.3.3.

定义 2.3.2(点连续) 映射f :X →Y 称为在点 x ∈X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f -1(U)是 x 在 X 中的邻域.

定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理 2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复 合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.

定理 2.3.5 设 f :X →Y 则 f 连续⇔f 在每一 x ∈X 连续.

证 “⇒”若 U 是 f(x)的邻域, ∃开集 V 使f (x ) ∈V ⊂U , x x ∈f

“⇐”若 U 是 Y 的开集, x ∈f

中开.

（3）闭集—— 拓扑空间X 的一个子集A 称为闭集，若A C 是开集。 -1-1(V ) ⊂f -1(U ) (U ) , U 是 f(x)的邻域, f-1 (U)是 x 的邻域, 所以 f -1 (U)在 X

注释：ⅰ、由于X C =∅, ∅C =X ，则X , ∅也是闭集；

平凡拓扑空间ϑ ={X , ∅}也是闭集构成的。

ⅱ、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。

上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。

拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。

（4）内点 —— A 是(X , ϑ ) 的子集，x ∈A ，若存在开集U （即ϑ 中元素）使得x ∈U ⊂A ，则称x 是A 的一个内点。

（5）内部 —— A 的所有内点的集合，记为int A 或i (A ) 。

（6）聚点 —— A 是(X , ϑ ) 的子集，x ∈X ，若x 的每一邻域U 中都含有A -{x }中的点， 则称x 是A 的一个聚点（或极限点）。

（注：用x 的邻域而不是开集, 因为{x }也是开集）

（7）导集 —— A 的所有聚点的集合，称为A 的导集，记为d (A ) 或A '。

（8）闭包 —— 称=A ⋃d (A ) 为A 的闭包。

（9）稠密集 —— 若=X ，则称A 关于X 是稠密的。

▲ 如果X 有可数的稠密子集，称X 是可分的拓扑空间。

注：实数集R 是可分的，因为存在可数的有理数集Q ，且=R .(Q 关于R 是稠密的) 思考题：

① 余有限拓扑(R , ϑf ) 是可分的。

注释：∀x ∈Q （有理数），有{x }C ∈ϑ ，且{x }C 是Q 中任何非x 的点的邻域。 ② 余可数拓扑(R , ϑC ) 是不可分的。

注释：ϑC 中的开集是可数集的余，即可数集是闭集，它的闭包是自身，则不是稠密的。

三、 拓扑空间上集合的一些重要性质

▲性质1（关于闭集的性质） 拓扑空间的闭集满足

（1） X 与∅是闭集；

（2） 任意多个闭集的交是闭集；

（3） 有限多个闭集的并是闭集。

证明： （1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。

▲性质2（关于内点的性质） 设A , B 是拓扑空间的子集，有

① 若A ⊂B ，则int A ⊂int B ；

② int A 是包含在A 中的所有开集的并集，因此，是包含在A 中的最大开集；

③ int A =A ⇔A 是开集；

④ int(A ⋂B ) =int A ⋂int B ；

⑤ int(A ⋃B ) ⊃int A ⋃int B .

证明：① (提示：只要证明A 的内点一定是B 的内点) 设x 是A 的内点，则存在开集U ，使得x ∈U ⊂A ；

又A ⊂B , 则必有U ⊂B ，于是，x 也是B 的内点。

故 int A ⊂int B .

② 设{U αα∈Γ}是包含在A 中的所有开集构成的子集族。

U α即可 (等式两侧互相包含) α∈Γ提示：我们只要证明 i n t A =

首先，∀α∈Γ, U α⊂A ，于是，对于x ∈U α⊂A ，x 是A 的内点，即U α中所有点x 均是A 的内点。故有U α⊂int A , 于是U α⊂int A . α∈Γ

又，若x ∈int A ，则必有一个开集U α，使得x ∈U α. 故对int A 中的所有x ，有

U α⊃int A , α

所以，有int A = U α。(并且int A 是开集)

α∈Γ∈Γ

③ (⇒) 根据②，任意开集的并是开集，则int A 是开集。又A =int A ，故A 是开集。 (⇐) 又，设A 是开集，由②知，A 是包含在自身内的最大开集，于是有A =int A . ( int A 是A 中开集的并) 。

④ 一方面，由于(A ⋂B ) ⊂A ，根据①，有 int(A ⋂B ) ⊂int A ；

又 (A ⋂B ) ⊂B ，则有 int(A ⋂B ) ⊂int B ，故得到

int(A ⋂B ) ⊂int A ⋂int B 。

另一方面，由 A ⊃int A 且 B ⊃int B ，则有A ⋂B ⊃int A ⋂int B , 而由 ① 有 int(A ⋂B ) ⊃int(intA ⋂int B ) =int A ⋂int B

所以，有 int(A ⋂B ) =int A ⋂int B 。

⑤ 因为A ⊃int A 且 B ⊃int B ，则有A ⋃B ⊃int A ⋃int B .

根据②，int(A ⋃B ) 是包含在A ⋃B 中的最大开集，故有

int(A ⋃B ) ⊃int A ⋃int B 。

▲性质3（关于闭包的性质） 设A , B 是拓扑空间的两个子集，有

（1）若A ⊂B ，则⊂；

（2）是所有包含A 的闭集的交集，故是包含A 的最小闭集；

（3）=A ⇔A 是闭集；

（4）A ⋃B =⋃；

（5）A ⋂B ⊂⋂；

（6）A 与B 互余，则与int B 互余。（即() =int B ）

证明：（1）~（5）留给同学们作为作业，可仿性质2的证明。下面仅证明（6）.

（思路：x ∈() ⇔x ∈int B , 即x ∉⇔x ∈int B ）

∀x ∈，意味着x 的任一邻域与A 都有交点，于是 x ∈() ⇔x 有邻域与A 不相交

⇔x 有邻域包含于B 中 （因为B 是A 的余）⇔x 是B 的内点。 上式说明：() 中的点都是int B 中的点，故() =int B 。 C C C C C

综合总结：

① 由上述性质可知，拓扑空间的闭集、内点、闭包等概念的性质与欧氏空间中相应概念的性质是一致的。

② 但是，有些概念也是有区别的，如：聚点的概念。

拓扑空间的聚点与欧氏空间聚点意义有不同之处：

● 在欧氏空间中，集合A 的聚点x 近旁聚集了A 的无穷多个点（无论球形邻域的半径有多么小），因而，有限集没有聚点。（当半径小于某个界限时，x 的邻域内不会有A 中的其他点）

● 在拓扑空间中，例如，设X ={a , b , c }，规定拓扑τ={X , ∅,{a }}。

当令集合A ={a }时，b 和c 都是集合A 的聚点。因为X 是b 和c 的邻域，b 和c 的邻域中都有点a 。

● 但是，a 不是A 的聚点，因为A -{a }=∅。

（注：在该拓扑中，点a 只有两个邻域{a , b , c }和{a }）