15-16版:四 柱坐标系与球坐标系简介

四 柱坐标系与球坐标系简介

[学习目标] 1. 了解柱坐标系、球坐标系的意义.2. 掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.3. 能够根据空间坐标的转化解决某些问题.

[知识链接]

1. 在极坐标系中，平面的任意一点都能用极坐标表示出来，那么对于空间任意一点A 的位置，应怎样表示呢？

答案 需要增加表示点A 的高度的量.

2. 阅读教材16页的基础上，说出柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？ 答案 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆. 因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面.

3. 给定一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，如何建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置？

答案 以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z 轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足ρ＝r (0≤z ≤h ) ，下底面上所有点坐标都满足z ＝0(0≤ρ≤r ) ，上底面上所有点坐标都满足z ＝h (0≤ρ≤r ). [预习导引] 1. 柱坐标系

(1) 定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，

用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ

x ＝，⎧⎪

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z ) 与柱坐标(ρ，θ，z ) 之间的变换公式为⎨y ＝⎪⎩z ＝z .

2. 球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点P 的位置就可以用有序数组.

这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ) 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系) ，有序数组(r ，φ，θ) 叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ

x ＝r

·

sin φ·cos θ，⎧⎪

sin φ·sin θ，(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z ) 与球坐标(r ，φ，θ) 之间的变换关系为⎨y ＝r ·⎪⎩z ＝r cos φ.

要点一 将点的柱坐标化为直角坐标

例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标： 5π

62⎫；(2)(1，π，0). (1)⎛3⎝⎭5π

6，，－2⎫， 解 (1)∵(ρ，θ，z ) ＝⎛3⎝⎭

⎧

⎪

5π∴⎨y ＝ρsin θ＝6sin ＝－3

⎪⎩z ＝－2，

5π

x ＝ρcos θ＝3，

3

3，

∴(3，－3，－2) 为所求. (2)∵(ρ，θ，z ) ＝(1，π，0) ， x ＝ρcos θ＝cosπ＝－1，⎧⎪

∴⎨y ＝ρsin θ＝sinπ＝0，⎪⎩z ＝0，

∴(－1,0,0) 为所求.

规律方法 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义，点(ρ，θ，z ) 是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且ρ≥0,0≤θ

标(ρ，θ，z ) 为直角坐标(x ，y ，z ) ，需要运用公式⎨y ＝ρsin θ，

⎪⎩z ＝z ，算即可.

转化为三角函数的求值与运

跟踪演练1 根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标： 3π

3，1⎫. (1)(2,0，－2) ；(2)(π，π，π) ；(3)⎛2⎝⎭解 设点的直角坐标为(x ，y ，z ). (1)∵(ρ，θ，z ) ＝(2,0，－2) ， x ＝2cos θ＝2，⎧⎪

∴⎨y ＝2sin θ＝0，⎪⎩z ＝－2，

∴(2,0，－2) 为所求.

(2)∵(ρ，θ，z ) ＝(π，π，π) ， x ＝πcosπ＝－π，⎧⎪

∴⎨y ＝πsinπ＝0，⎪⎩z ＝π，

∴(－π，0，π) 为所求.

3π

3，1⎫， (3)∵(ρ，θ，z ) ＝⎛2⎝⎭x ＝0，⎧2

⎪

3π∴⎨y ＝3sin ＝－3，2

⎪⎩z ＝1，

3π

∴(0，－3,1) 为所求.

要点二 将点的球坐标化为直角坐标

例2 将下列各点的球坐标分别化为直角坐标： 3π5ππ2π2；(2)⎛6，⎫. (1)⎛44⎝⎝33⎭解 设点的直角坐标为(x ，y ，z ) ， 3π5π

2，⎫， (1)∵(r ，φ，θ) ＝⎛44⎭⎝

⎧⎪3π5π

∴⎨y ＝r sin φsin θ＝2sin 441，⎪2，⎩z ＝r cos φ＝3π4

∴(－1，－1，－2) 为所求. π2π

6，，， (2)∵(r ，φ，θ) ＝⎛⎝333π5π

x ＝r sin φcos θ＝2sin cos ＝－1，

44

⎧⎪π2π9∴⎨y ＝r sin φsin θ＝6sin 332

⎪＝3，⎩z ＝r cos φ＝6cos π3

339⎫∴⎛－为所求. ⎝22，3⎭

π2π33

x ＝r sin φcos θ＝6sin cos ＝－332

规律方法 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ) 中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ

跟踪演练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标： π7π5π5π

2⎫；(2)⎛3，，. (1)⎛63⎝44⎭⎝解 设点的直角坐标为(x ，y ，z ) ， π7π

2，，， (1)∵(r ，φ，θ) ＝⎛⎝44⎧⎪π7π

∴⎨y ＝r sin φsin θ＝2sin 441，⎪2，⎩z ＝r cos φ＝π4

∴(1，－12) 为所求. 5π5π

3，⎫， (2)∵(r ，φ，θ) ＝⎛63⎭⎝

π7π

x ＝r sin φcos θ＝2sin cos ＝1，

44

⎧⎪5π5π3

∴⎨y ＝r sin φsin θ＝3sin 634，

5π3⎪z ＝r cos φ＝. ⎩62

3333∴⎛为所求. ，－

42⎝4

5π5π3x ＝r sin φcos θ＝3sin cos ＝634

要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标

例3 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系

Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标. 解 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，

设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z ) ，球坐标为(r ，φ，θ) ， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ

由公式⎨y ＝ρsin θ，

⎪⎩z ＝z

x ＝r sin φcos θ，⎧⎪

及⎨y ＝r sin φsin θ，⎪⎩z ＝r cos φ，

ρx ＋y ，r ＝x ＋y ＋z ，⎧⎧⎪⎪得⎨及⎨ y z

tan θ＝(x ≠0)cos φ＝⎪⎪x r ⎩⎩

r ＝3，⎧⎪⎧ρ2，π得⎨及⎨结合图形得θ＝ 34⎩tan θ＝1⎪⎩cos φ＝3

由cos φ＝

3

得tan φ＝2. 3

π⎛3，φ，π，2，，1⎫，∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎛球坐标为4⎭4其中tan φ2，⎝⎝0≤φ≤π.

规律方法 化点M 的直角坐标(x ，y ，z ) 为柱坐标(ρ，θ，z ) 或球坐标(r ，φ，θ) ，需要对公式 x ＝ρcos θ，⎧⎪

⎨y ＝ρsin θ，⎪⎩z ＝z

x ＝r sin φcos θ，⎧⎪

以及⎨y ＝r sin φsin θ，

⎪⎩z ＝r cos φ

进行逆向变换，

⎧⎪y

得到⎨tan θ＝(x ≠0)，

x

⎪⎩z ＝z

ρx ＋y ，

⎧⎪r x ＋y ＋z ，以及⎨ z

⎪⎩cos φ＝r

在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可.

跟踪演练3 若本例中条件不变，点C 的直角坐标、柱坐标与球坐标如何分别表示？点D 呢？

πππ

2，0⎫，球坐标为⎛，⎫，同解 结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为⎛4⎭24⎭⎝⎝πππ

1，0⎫，球坐标为⎛1，，. 样点D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为⎛⎝2⎭⎝22

1. 把点M 的直角坐标(－1,1,1) 化为柱坐标是( ) 3π

A.(2，1)

4

B.(2，

4π

，1) 3

π

C.(，1)

4答案 A

π

D.(21)

4

解析 点M 的直角坐标(－1,1,1) 化为柱坐标，得 －1＝r cos θ，⎧⎪

⎨1＝r sin θ，⎪⎩z ＝1，

3π

解得r ＝2，θz ＝1.

4

3π

1). 4

∴点M 的柱坐标为(2，

2. 点M 的直角坐标为(3，1，－2) ，则它的柱坐标为( ) π

A.(2，2)

6π

C.(2，2)

6答案 C

解析 ∵点M 的直角坐标为(3，1，－2) ，设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z ) ，

π

B.(22)

3π

D.(2，－2)

6

⎧3＝ρcos θ，⎪

∴⎨1＝ρsin θ，⎪⎩z ＝－2，

ρ＝2，

⎧⎪π即⎨θ＝6，⎪⎩z ＝－2.

π

∴点M 的柱坐标为(2，，－2).

6

5π

3. 若点M 的柱坐标为(21) ，则它的直角坐标为.

6答案 (3，1，－1)

5π

解析 ∵M 点的柱面坐标为M (2，，－1) ，设点M 的直角坐标为(x ，y ，z ) ，

6

⎧⎪

5π∴⎨y ＝2sin ，6

⎪⎩z ＝－1，

5πx ＝6

⎧x ＝－3，⎪

即⎨y ＝1，⎪⎩z ＝－1，

∴点M 的直角坐标为(3，1，－1). ππ

4. 把点M 的球坐标(8，化为直角坐标为.

36答案 3，4)

ππ

解析 由点M 的球坐标(8，) 化为直角坐标为

36

⎧⎪ππ⎨y ＝8sin 362⎪＝4. ⎩z ＝8cos π3

ππ

x ＝8sin ＝6，

36

3，

∴点M 的直角坐标为3，4).

1. 空间点的坐标的确定

(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x ，y ，z ). (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z ). (3)空间点的球坐标是点在Oxy 平面上的射影和原点的连线与x 轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z 轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r 组成的，即(r ，φ，θ). 注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r ；②与z 轴正方向所成的角φ；③与x 轴正方向所成的角θ.

2. 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z ) 表示，(ρ，θ) 是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标.