平面与平面垂直的性质(教案)
平面与平面垂直的性质（教案）
揭阳第一中学 许丹敏
教学目的
通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标：
1 理解掌握面面垂直的性质定理
2 能初步运用性质定理解决问题
教学重点难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理
难点：运用性质定理解决实际问题
教学过程：
(一) 复习提问
师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）
生：线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于
这个平面.
生：面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二) 引入新课
师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：
如图，长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，判断下面结论的正误。
1) 平面ADD ′A ′⊥平面ABCD
2) DD′⊥ 面ABCD
3)AD ′⊥ 面ABCD
师：我们发现：平面ADD ′A ′⊥平面ABCD ，平面ADD ′A ′∩平面ABCD = AD，D ′
是平面ADD ′A ′内一点，过D ′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD 垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD 垂直呢？ （提出问题，引发思维, 并引导学生积极寻找这些直线与交线AD 的关系）
生：（略）
师：平面ADD ′A ′⊥平面ABCD ，平面ADD ′A ′内的任一点，平面内过该点且垂直于
交线的直线垂直于平面ABCD 。
（三）新课
已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB ⊥a 于 B ，
求证：AB ⊥β
(让学生思考怎样证明)
师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于
平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，
故可过该直线作辅助线）
证明：在平面β内过B 作BE ⊥a ，又∵AB ⊥a ，
∴∠ABE 为α﹣a ﹣β的二面角，又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB ⊥BE 又∵AB ⊥a, BE ∩a = B,
∴AB ⊥β
1. 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB ⊥a 于 B ，则 AB ⊥β
师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们
知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
2. 例题分析
例1． 空间四边形ABCD 中，ΔABD 与ΔBCD 都为
形，面ABD ⊥面BCD ，试在平面BCD 内找一
AE ⊥面BCD
解：在ΔABD 中，∵AB=AD,取BD 的中点E ，
连结AE ，则AE 为BD 的中线
∴AE ⊥BD
又∵面BCD ∩面ABD=BD, 面ABD ⊥面
∴AE ⊥面BCD 正三角点，使BCD
例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB，直线a ⊥β, a α,
求证：a ∥α
(引导学生思考) (
分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系) b 证明：在α内作垂直于α 、β交线
AB 的直线b ， 又∵ α⊥β,
β ∴b ⊥β 又∵ a ⊥β
B ∴ a ∥b , a α
∴ a ∥α a
3．课堂练习： 练习P 77
4. 小结：
① 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
② 利用性质定理解决问题
5思考题
1 已知平面α 、β，直线a, 且α⊥β, α∩β =AB，a ∥α ,
a ⊥AB, 试判断直线a 与平面β的位置关系
(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系) 解: ∵ a ∥α , 过a 作平面与α相交于直线b, 则 a ∥ b a b ∵ a ⊥AB , ∴ b ⊥AB 又∵ a ⊥β , α∩β =AB
∴b ⊥β (面面垂直性质定理) β ∴ a ⊥β B
2 已知α∩β = c, α⊥γ , β⊥γ, 求证: c⊥γ
(可从多方面思考证明本题)
问题1:能否证明直线c 垂直于平面γ内的两条相交直线?
问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ, 那么另一条也和该平面γ垂直?
问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?
6. 作业：P 78 1 , 4