概率的计算

第一课时：概率的认识

教学目标：

知识与技能目标：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件

的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。

过程与方法目标：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，

并抽象成数学概念。

情感与价值目标：体验从事物的表象到本质的探究过程。 重点：随机事件的特点

难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学过程：

一、创设情境

1、情境引入

妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈让他们在红黄蓝三种颜色中各选择一种颜色，然后掷一个正方体（涂上红、黄、蓝三种颜色，对面的颜色相同）后，什么颜色朝上就由选该颜色的人去看马戏？你觉得这样公平吗？说说你的理由！ 2、问题情境

下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些事件是有可能发生的？ (1)早晨太阳从东边升起； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b 都是实数) ； (4)水往低处流；

(5)雪是白色的； (6)掷一枚硬币，着地时正面向上；

（7）姚明投篮一次，进球。 （8）买一张福利彩票，开奖后，一定能中特等奖。

二、新课探究

1、三种事件：

①必然事件

在一定条件下，必然会出现的事件叫必然事件 ②在不可能事件

在一定条件下完全不可能发生的事件叫不可能事件 ③随机事件

在一定条件下可能出现也可能不出现的事件叫随机事件

2、辨别：

在引入课题的问题情境中： 哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ 3、概率：

① 定义：

在随机现象中，一个随机事件发生的可能性大小叫这个事件的概率 ②概率的取值范围：

随机事件的概率P 的取值范围是：0＜P ＜1 必然事件的概率P=1 不可能事件的概率P=0 4、概率的求法：

①实验法：

通过做大量实验：求出某件事件的概率的估计值

在随机现象中，一个随机事件发生与否，事先无法预料。表面上看似无规律可循，但是当我们大量重复试验时，这个事件发生的频率会呈稳定性。因此，做了大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 注意：a 、实验次数越多，频率越接近概率。 b、实验时要避免走两个极端：

既不能为了追求精确的概率而把实验的次数无限的增多, 也不能为了图简单而使

实验次数很少.

②列举法：（列表法或树状图法）

通过画树状图或列表求出某件事件的概率

③推理计算法

通过推理和计算求出某件事件的概率

四、例题分析

例题1：五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大

小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题： （1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？

（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能求出小军抽到1的概率吗？

例题2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考

虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ （2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ （3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ （4）你能求出小伟掷出偶数点的概率吗？

拓展延伸：如果小伟掷两颗骰子。点数之和等于8的概率是多少？ 五、随堂练习

1、有一副扑克牌（不包括大王、小王），其中四种花色各有13张，把扑克牌洗匀后，随意抽取一张，求下列事件的概率：

（1）抽到红桃 （2）抽到A (3)抽到红桃K

2、某种福利彩票10元一张。每两万张一组：每组设一等奖2个，奖金10000元；二等奖10个，奖金1000元；三等奖50个，奖金500元。买一张这样10元的福彩，中奖率是多少？中一等奖的概率是多少？

教学反思

第二课时：概率的求法（实验法）

教学目标：

知识技能：通过“掷硬币”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。

过程和方法：历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。

情感和价值：在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。

重点：对随机事件发生的可能性大小的定性分析 难点：理解大量重复试验的必要性。 准备：一枚硬币 一个4等份的转盘

一、创设情境，引入课题

1、抛掷一枚硬币100次：正面向上的次数多还是反面向上的次数多？把正面向上记为事

件A ，把反面向上记为事件B, 那么那个事件的概率大

2、转动一个四等分的转盘200次（各等分依次标好1、2、3、4）停止后指针指向各数字

的频数是多少？它们的概率分别是多少

二、试验操作、收集数据

1、硬币实验（100次）

请两位学生上讲台，一人抛掷硬币，另一人宣布实验结果，其余同学收集数据

分析：

其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验. 让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P 141表25-3）. 表25-3

n

2、转盘实验 （200次） 教师演示，学生收集数据

三、分析数据

1、在随机事件中，做大量试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的估计值 2、实验次数越多，频率越接近概率。 四、练习反馈

1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？分别求出每种球摸中的概率？ 2、做好教材P134-P136

教学后记：

第三课时：概率的求法 （列举法）

教学目标

1.理解P （A ）= 2.应用P （A ）=

m n m n

(在一次试验中有n 种可能的结果，其中A 包含m 种) 的意义. 解决一些实际问题．

为解决利用实验方法求概率的繁琐，探究用特殊方法———列举法求概率的简便方法，

然后应用这种方法解决一些实际问题.

重点：一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A 包含其中的。种结果，那么事件A 发生的概率为P(A)= 解决实际间题．

难点：通过实验理解P(A)= 教学过程

m n

m n

，以及运用它

并应用它解决一些具体题目

一、复习引入

1. 概率是什么？ 2. 概率P 的取值范围是什么？

我们做大量的试脸求频率得概率。它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法，

二、探索新知

1、引例

试验1：如图，一个被分成8等份的圆盘，分别写上1、2、3、4、5、6、7、8。自由转动圆

盘，试问： (1) (2) (3) (4) (5)

可能出现的结果有几种？

指针指向1---8的每一个数字的概率是多少？ 指针指向的数字小于4的概率是多少？ 指针指向小于9的数字概率是多少？ 指针指向数字9的概率是多少?

试验2:掷一枚硬币两次。试问：

（1） 可能出现的结果有几种？每一种结果的概率是多少？ （2） 出现两个正面的概率是多少？ （3） 出现一正一反的概率又是多少？ （4） 出现先正后反的概率是多少？ （5） 至少有一次正面的概率是多少？ 点拨：

以上试验有两个共同的特点：

①一次试验中，可能出现的结果有限多个. ②一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 2、概念：

①等可能情况：如果某次试验中出现的每种结果的可能性都是均等的，那么我们称每种结果

为等可能情况。

②一般地，如果在一次试验中，结果共有n 种等可能情况，而事件A 包含其中的m 种结果，

那么事件A 发生的概率为P(A)=

③ 频数 ≈ 实验总数 × 概率 3、例题分析

例1. 小李手里有红桃1,2,3,4,5,6, 从中任抽取一张牌，

观察其牌上的数字．求下列事件的概率． (1)牌上的数字为3； (2)牌上的数字为奇数；

(3)牌上的数字为大于3且小于6.

例2:如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率

(1）指针指向绿色 (2）指针指向红色或黄色 (3)指针不指向红色．

m n

例题3：某班在新年晚会上做了一个游戏：袋中装有1个红球、3个黑球、11个白球，他们除颜色外，其他都一样。从袋中随意取出一个球，如果取出的是红球，获一等奖；如果是黑球，获二等奖，如果是白球，则没获奖。试求:获一等奖、二等奖的概率各是多少？

三、随堂练习

1、从分别标有1，2，3 ，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？

2、一个布袋中有三个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？摸出白球的概率是多少？

3、抛掷一颗骰子，出现奇数点的概率是多少？

4、甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张。

（1）若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜。

你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？

（2）若抽到的数字是3的倍数，则甲获胜；若抽到的数字是5的倍数，则乙获胜，

你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？

5、教材P140练习

教学反思

第四课时：概率的求法 （列表法）

教学目标：

1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。

2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的

所有可能结果。

3．体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。 重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。

难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。 教学过程：

一、提出问题：

1、同时掷两枚硬币，出现两个正面的概率是多少？出现一个正面，一个反面的概率是多少？ 2、掷两颗骰子，点数之和等于9的概率是多少？

二、解决问题：

1．同时掷两枚硬币

问题：同时掷两枚硬币，出现两个正面的概率是多少？出现一个正面，一个反面的概率是多少？

思考：掷两枚硬币产生的几种等可能情况？ 学生可能会错误的认为结果只有3种情形：

①两个都为正面， ②一个正面一个反面 ③两个都是反面这样 用列表的方法列出了所有等可能情况，如下：共有4种等可能情况

解：（略）

注意：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？

同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。 2、同时掷两颗骰子：

掷两颗骰子，点数之和等于9的概率是多少？ 解：列表如下

三、随堂练习：

1、有两个袋子：甲袋子中有红球3个，白球2个。乙袋子中有红球2个，白球1个。分别从两个袋子中各摸出一球，求： (1)摸出两个红球的概率 (2)摸出两个白球的概率 (3)摸出一红一白的概率

2、水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动．每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有

四张外形完全相同的卡片，

抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．

（1）请利用树状图（或列表）的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况； （2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？

第五课时：概率的求法 （树状法）

教学目标：

1、理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。

2、会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的

所有可能结果。

3、体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。 重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。

难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用树状法求出所有可能结果。

一、新课探究

1、树状法求概率 ⑴掷硬币

问题：同时掷两枚硬币，出现两个正面的概率是多少？ 解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下： 解法一：列表法

解法二：树状法

正

反 正 反

正

总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。

⑵摸球

不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），篮球1个。若从中任意摸出一个球，它是篮球的概率为.

41

（1）求袋中黄球的个数；

（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图的方法，求两次摸到不同颜色球的概率.

⑶现有三个自愿献血者，两人血型为O 型，一人血型为A 型. 若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O 型的概率. (要求：用列表或画树状图的方法解答) 解：列表：

树状图

所以两次所抽血型为O 型的概率为 4/9。

2、利用概率求频数

一批产品的合格率是0.98，那么任意抽样1200个产品，其中次品大约多少个？

三、随堂练习

1、同时掷两颗骰子，点数之和等于10的概率是多少？（用树状图求） 2、同时掷3枚硬币，出现3个正面的概率是多少？（用树状图求）

3、口袋里有4张卡片，上面分别写了数字1、2、3、4，先抽一张，不放回，再抽一张，“两

张卡片上的数字一奇一偶”的概率是多少？

4、把一枚正方体骰子连掷两次，“朝上的数字一奇一偶”的概率是多少？

5、在口袋装有两个白球，两个黑球（这四球的形状、大小、质量都相同），从中任取两球，

恰好颜色相同。这个事件发生的概率是多少，请你画出树状图。

6、从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红

球”的概率分别是多少？

7、某产品出现次品的概率0.05，任意抽取这种产品800件，那么大约有件是次品.

四、课后练习：

1、设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，设事件A 为“从这

3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P （A ）等于多少？ 2、掷两颗骰子1800次，两个骰子的点数和等于8大约有多少次？

3、在一张半径为2a 的圆形纸片上画一个半径为a 的同心圆，贴在木板上做投镖游戏。假设

镖投在圆形纸片上每个点的可能性都相等，求镖投在小圆内的概率？ 4、小华与小丽设计了 游戏

两种游戏：

的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面

上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜． 游戏

的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌

面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜． 请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由． 5、一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。 （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？

（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都

是白球的概率，并画出树状图

第六课时：概率（拓展）

互斥事件、相互独立事件、对立事件

学习目标：

1、理解互斥事件、相互独立事件、对立事件等概念；

2、掌握简单的互斥事件有一个发生的概率；掌握简单的相互独立事件同时发生的概率； 3、掌握对立事件的概率的求法

重点、难点：互斥事件与相互独立事件的概率的求法 教学过程： 一、新知探索： 1、互斥事件：

①定义：不可能同时发生的事件叫互斥事件

例如 ：掷一颗骰子一次出现1点的事件和出现6点的事件因为不可能同时发生，所以是互斥事件 ②定理：

例如：掷一颗骰子一次点数小于3的概率等于点数是1的概率与点数是2的概率之和

∴P=

推论：

例如：掷一颗骰子，出现奇数点的概率 = 1点的概率 + 3点的概率 + 5点的概率 2、对立事件：

①定义：在试验中，必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，某事件记为A ，它的对立事件

16

+

16

=

13

一般记为：A

例如：抛一枚硬币，出现正面向上的对立事件是出现反面向上 掷一颗骰子，出现6点的对立事件是出现的点数小于6点 ②定理：

2、相互独立事件：

①定义：事件A 的发生对事件B 发生的概率没有影响，同时事件B 的发生对事A 发生的概

也没有影响，这样的事件叫相互独立事件。

例如：同时抛两枚硬币，硬币A 出现正面的概率不受硬币B 的影响，同时硬币B 出现正面

的概率不受硬币A 的影响,

这两个事件就叫相互独立事件

②定理： 例如：同时抛两枚硬币，出现两个正面的概率等于每个硬币出现正面的概率之积

∴ P=⨯

21

12=14

推论：

例如：从装有5个红球和3个白球的袋子里依次摸出两个球都是红球的概率（分两种情况）

二、例题分析：

1、甲乙2人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.8 ，计算： （1）2人都击中目标的概率 （2）2人都不击中目标的概率 （3）其中恰有1人击中目标的概率 （4）至少有1人击中目标的概率

2、一个不透明的袋子中装有仅有颜色不同的白球5个，红球3个。

（1）从袋子中摸球两次，（摸第一次记住颜色后又放回袋子再摸第二次）摸出的两个球都是

红球的概率是多少？

（2）从袋子中摸球两次，（摸第一次后不放回袋子再摸第二次）摸出的两个球都是红球的概

率是多少？ 三、随堂练习

1、如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B ，转盘A 被均匀地分成4等份，每份分别标

上1，2，3，4四个数字；转盘B 被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，

（1）同时自由转动转盘A 与B ；转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），出现两个2的概率是多少？出现相同的两个数的概率是多少？

A

B

（2）甲、乙两人设计规则如下：用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜；你认为这样的规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，那么请你设计一个公平的规则，并说明理由．

2、一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．

41

（1）取出白球的概率是多少？

（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？

3、一个不透明袋子中装有仅有颜色不同的球10个，其中红球4个，白球3个，黑球3个。

如果摸球三次

（1）如果每摸一个球记住颜色后再把球放回袋子中再摸下一个，那么摸出三个红球的概率是

多少？

（2）如果每摸一个球后不把球放回袋子中再摸下一个球，那么摸出三个红球的概率是多少？ 四、课后练习 1、教材P142-----P144

2、不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．

21

(1)求袋中黄球的个数；

(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到．．．都是红球的概率；

(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1

个

球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？ ．．．．