高等概率论证明的十八个小技巧
高等概率论证明的十八个小技巧
1．Good sets principle （好集原理）
例如为证明某一个sigma 代数F 具有某种性质，可首先设具有该性质的属于F 的集合组成的族为G ，然后证明G 为一个sigma 代数，从而F ＝G 。
2．sigma 可加性
要证明某一个集函数可列可加，先证明其为有限可加，然后证明其满足上连续或下连续，则可列可加成立。
同样的道理，证明F 为sigma 代数，只需要证明F 为代数且对上升序列极限封闭即可。
3．证明两个sigma 代数相等，总体思想通常是双包含，加以其他的技巧。
4．由代数G 生成sigma 代数F ，则F 中任一集合均可以由G 中的集合列任意逼近，这在证明一些性质由G 扩张到F 上时仍成立时会用到。
5．证明不等号成立，若直接证不容易时，可尝试在较大的一侧添加一个可以任意小的epsil on>0，得到一个不等式，完成证明后使epsilon 趋于0得原不等式。
类似的思想，也可以在较小的一侧乘以系数b ，b 在0、1之间，得到不等式，然后令b 趋于1，这个过程中应注意保证不等式与b 的选取无关。
6．Monotone class theorem （单调类定理）
设F 为域（也即代数），C 为单调族，若C 包含F ，则C 包含F 生成的sigma 代数。
利用此思想，证明问题时先构造一个符合要求的单调族（因单调极限封闭相对容易满足），然后去证明F 包含在这个单调族内。
单调族定理证明中的方法也值得学习，另单调族定理实质是说明由域生成的最小单调族与最小sigma 代数相同。
7．证明一个问题对sigma 有限测度成立，可证明该问题对有限测度成立，因对sigma 有限测度u ，可拆成有限u(n)加和。
8．对可列可加的情形，通常先证明有限的情形，再讨论无穷的情形，或者看作有限的逼近。
9．证明对Borel 可测函数成立，可在有意义的前提下证明对非负Borel 可测函数成立，更进一步只需要证对非负简单函数成立即可。
这个方法的另一套思路是：设H 为满足所要证明问题性质的非负Borel 可测函数组成的族，证明H 是一个单调系（monotone system ），再证明H 包含了所有的示性函数即可。这里的Borel 可推广到一般的可测含义。
10．单调收敛定理
单调上升的非负Borel 可测函数序列h n （x ）收敛到h （x ），则其序列积分收敛到极限的积分。
11．划分积分区间为可列小块，分别考虑。
12．Fatou 引理
引理内容不再叙述，很常用的引理。
13．控制收敛定理
同样是Very Important
14．要证明某个性质几乎总成立，可转化证明其对立面几乎总不成立，也即证明不具有此性质的集合测度为零。若不具有此性质的集合比较复杂，可看是否能利用1/n或者有理数将其拆成可列个集合之并，然后证明每个集合的测度为零，由可列可加性保证原比较复杂的集合测度为零。
15．证明性质对可测函数成立的经典步骤
证明对示性函数成立》》》》对非负简单函数成立》》》》对非负Borel 可测函数成立》》》对一般可测函数成立
若与积分有关，则有非负情形推广到任意情形时，需要先说明积分存在，也即说明正部、负部积分不同时为无穷。
16．对测度而言
按照 有限测度》》》sigma 有限测度》》》任意测度》》》符号测度 的顺序进行
17．构造符合性质的集合A
选取一列单调上升的集合序列An ，An 无穷趋向于A ，则A 为所有An 之并。
反向可取单调下降到A 的集合序列，则A 为所有集合之交。
18．证明E|X|---->0
去证明EX +---->0，EX ----->0。注意三者中知道两者，可推出第三者，这个轮换的思想常用。