6.5最三角方程(1)教案
6.5 最简三角方程(1)教案
教学目的:
1、掌握最简三角方程的求解方法,理解三角方程解集的等价性。
2、 体会由特殊到一般的推理方法,会数形结合处理问题。
3、培养学生的创新思维能力。
教学重点:最简三角方程的解集;
教学难点:三角方程解集的等价性。
教学过程:
(一)、引入
问题1:已知角求三角函数值其答案是唯一的。反之,已知三角函数值求角其答案如何?
问题2:已知下列三角函数值,求角;
(1)已知sin x =2⎡ππ⎤且x ∈⎢-, ⎥,求x 5⎣22⎦
解:因为在⎢-⎡ππ⎤, ⎥上正弦函数是单调递增的,且符合条件的角只有一个 ⎣22⎦
2 5 所以,x =arcsin
(2)已知sin x =2, 且x ∈[0, 2π] 5
2解:因为sin x =>0,所以x 5
2 所以,x =arcsin 或x =π-arcsin 52问题3:如果sin x =, x ∈R ,那么x =? 5
(二)、新课
一、三角方程的定义
1.含有未知的三角函数的方程,叫做三角方程。如上列各方程均是三角方程。把满足三角方程的所有x 的集合,叫做三角方程的解集。
2.最简三角方程:在三角方程中, 形如sin x =a ,cos x =a ,tan x =a 的方程,叫做最简三角方程。
二、最简三角方程的解集
例1.(1)求方程sin x =1的解集。 2
解法一:先求它在一个周期内的解,再由它的周期,写出通解。 因为sin x =1π5π在[0,2π]内有两个解x 1=, x 2=, 266
所以方程sin x =1π5π⎧⎫的解集为 ⎨x |x =2k π+或x =2k π+, k ∈Z ⎬ 266⎩⎭
解法二:从单位圆上可以看出正弦值为1的角的终边位于 2
第一、二象限,且关于y 轴对称,满足条件的一个锐角为π, 6
所以,方程sin x =1π5π⎧⎫的解集为⎨x |x =2k π+或x =2k π+, k ∈Z ⎬。 266⎩⎭
小结:列出这个方程的解为: , π
6, π-π
6, 2π+π
6,3π-π
6, 4π+π
6,5π-π
6,
所以这个三角方程的解集可以写成⎨x |x =k π+(-1) k (2)求方程sin x =⎧⎩π⎫, k ∈Z ⎬。 6⎭2的解集。 5
解:⎨x |x =k π+(-1) k arcsin , k ∈Z ⎬。
变式2:求方程sin x =-⎧⎩25⎫⎭2的解集。 5
解:⎨x |x =k π+(-1) k arcsin -⎪, k ∈Z ⎬。 ⎧
⎩⎛2⎫⎝5⎭⎫⎭
(3)求方程sin x =1和方程sin x =-1的解集
解:⎨x |x =2k π+⎧⎩ππ3π⎫⎧⎫⎧⎫, k ∈Z ⎬,⎨x |x =2k π-, k ∈Z ⎬或⎨x |x =2k π+, k ∈Z ⎬ 222⎭⎩⎭⎩⎭
小结:方程sin x =a 的解集
k (1)当|a |
(2)当|a |=1时,解集为{x |x =2k π+arcsin a , k ∈Z };
(3)当|a |>1时,解集为φ
。
例2.(1)求方程cos x =-1 2
1的角的终边位于第二、三象2
2π限,且关于x 轴对称,满足条件的一个角为,所以方程 3解:单位圆上可以看出正弦值为-
12π⎧⎫cos x =-的解集为⎨x |x =2k π±, k ∈Z ⎬。 23⎩⎭
(2)求方程cos x =2的解集。 5
解:⎨x |x =2k π±arccos , k ∈Z ⎬。
(3)求方程cos x =-⎧⎩25⎫⎭2的解集。 5
解:⎨x |x =2k π±arccos -⎪, k ∈Z ⎬。 ⎧
⎩⎛2⎫⎝5⎭⎫⎭
(4)求方程cos x =1和方程cos x =-1的解集;
解:{x |x =2k π, k ∈Z },{x |x =2k π+π, k ∈Z }
小结:方程cos x =a 的解集
(1)当|a |
(2)当|a |=1时,解集为{x |x =2k π+arccos a , k ∈Z };
(3)当|a |>1时,解集为φ。
例3
.求方程tan x =解:在(- ππ, ) 内只有-是方程的解,
226π
所以方程tan x =
⎧⎫⎪⎪k ∈Z ⎬。 ⎨x |x =k π-⎪⎪⎩⎭
小结:方程tan x =a 的解集为{x |x =k π+arctan a , k ∈Z }。
(三)、课堂练习:
1、求适合下列条件的x ,x ∈[0,2π]:
(1)sin x =11;(2)cos x =-;(3)tan x =-1; 22
2、求下列方程的解集:
(1)sin x =-;(2
)cos x =1
3;(3
)tan x =
(四)、拓展探究:
1、若sin x =sin
2、已知sin x +cos x =π7,x ∈R ,则x (x =k π+(-1) k π7) π6k π-) ,求(x =k π+(-1) 234
(五)、小结:
(1)解三角方程时 1、、如果函数值是正值,则先求出对应的锐角x ; 如
果函数值是负值,则先求出与其绝对值对应的锐角x ,3、由诱导公式,求出符合条件的其它象限的角,求这些角的并集,由此得出解集公式。
(2)应用解集公式时,要注意公式的准确性;
(六)、作业
练习册:习题6.5A 组 1,2
课外作业
一、填空题
1、已知cos x =-, x ∈(0,π) ,则角x 的值为
2、已知tan x =2x ∈R ,则角x 的值为
3、若方程sin x =2m -1有解,则实数m 的取值范围是;
4、方程2sin 12⎛π⎫-x ⎪=1的解集是
; ⎝2⎭
5、方程sin x -cos x =
6*、方程sin x +cos 2x =1的解集为;
7*、方程sin x -cos x =1的解集为;
二、选择题
1、方程21-cos x =1,则方程的解集是( ) sin x
π⎧⎫⎧ππ⎫A 、⎨-, ⎬ B 、⎨x |x =2k π+, k ∈R ⎬ 2⎩⎭⎩44⎭
C 、 ⎨x |x =2k π-⎧
⎩ππ⎫⎧⎫, k ∈R ⎬ D 、⎨x |x =2k π±, k ∈R ⎬ 22⎭⎩⎭
2、若tan x =a , x ∈ ⎛π⎫, π⎪,则有( ) ⎝2⎭
-arctan a 22
C 、x =π+arctan a D 、π-arctana
3、在[-
π, π]上,适合tan x =x 是( ) A 、x =π+arctan a B 、x =π
A 、π
6和-5π2ππ2πππ5π和 C 、和- D 、-和 B 、- 6333366
4*、方程lg x =sin x 的根的个数是( )
A 、0个 B 、1个 C 、 2个 D 、3个
三、解答题
1、若x =
2、求方程sin 2x =sin x 在区间(-2π,2π) 内的解;
3、解方程cos 2x ⋅sec x +sec x +1=0
4*、已知函数f (x ) =
的取值范围。
四、双基铺垫
1、求方程2cos x =a +
π3是方程2cos(x +α) =1的根,其中α∈(0,2π) ,求α; 11cos 2x +sin x +a -,当方程f (t ) =0有实数解时,求实数a 221,(a ≠0) 的解集; a
2、求方程cos x -sin x =221在区间(-2π,2π) 上所有解的和; 2
课外作业的答案
一、填空题:12πππ⎧⎫⎧⎫ 2、⎨x |x =k π+, k ∈Z ⎬ 3、[0,1] 4、⎨x |x =2k π±, k ∈Z ⎬ 3123⎩⎭⎩⎭5、⎨x |x =2k π+⎧
⎩3π⎫, k ∈Z ⎬ 6、{x |x =k π, k ∈Z } 4⎭
7、⎨x |x =k π+(-1) k ⋅⎧
⎩π4+π⎫, k ∈Z ⎬ 4⎭
二、选择题:B C B D
三、解答题:
1、α=4ππ5πππ5π 2、x =k π或x =2k π±, k ∈Z {-,-π,-,0,,π,} 333333
3、⎨x |x =2k π±
4、[-, 2]
四、双基铺垫: ⎧⎩2π⎫, k ∈Z ⎬ 3⎭14
1、当a =1时,x ∈{x |x =2k π, k ∈Z }
当a =-1时,x ∈{x |x =2k π+π, k ∈Z }
2、所有解的和为0