指数函数的知识点讲解及其练习题实战

指数函数

知识要点：

1．根式的两条基本性质

n

(1)性质1：(a) n ＝a (n>1，n ∈N *，当n 为奇数时，a ∈R ； 当n 为偶数时，a ≥0) ．

n n

当n 为奇数时，a 表示a 的n 次方根，由n 次方根的定义，得(a ) n ＝a ；

n

当n 为偶数时，a 表示正数a 的正的n 次方根或0的n 次方根，由n 次方根的定义，得(a ) n ＝a .

若a

⎧a ，n 为奇数

(2)性质2：a ＝⎨(n >1，n ∈N *) ．

⎩|a |，n 为偶数

n

当n 为奇数时，∵a n ＝a n ， ∴a 是a n 的n 次方根，即a ＝a ；

⎧a ，a ≥0，

当n 为偶数时，(|a |)＝a ≥0， ∴|a |是a 的n 次方根，即|a |＝a ＝⎨

⎩－a ，a

2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数r ，s ，均有

(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )(指数相加律) ； (2)(a r ) s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R ) (指数相乘律) ； (3)(ab ) r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )(指数分配律)

要注意上述运算性质中，底数大于0的要求。 3．分数指数幂

n

n

n

n

*

a =a >0, m , n ∈N ) (1)

我们规定正数的分数指数幂的意义为：

m n

a

-

m n

=

1

m n

(a >0, m , n ∈N *)

a (2) 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：

(3) 0的正分数指数幂为0的负分数指数幂没有意义． 例题1 求值:

2

25-33-3

① 27 16= ③ () = ④ () =

495

2

3

-

43

练习1 用分数指数幂的形式表示下列各式(b >0) ：

b 2

b 3

1

(2n +1) 2⋅() 2n +1

2. 计算：的结果 n -248

习题练习：

1、下列运算结果中，正确的是（

A ．a 2⋅a 3=a 6

34

）

32

B ．(-a )=(-a ) C ．23

a -1=1

)

D ．-a 2

()

3

=-a 6

2

2、化简⎡-5⎤的结果为（

⎢⎥⎣⎦

） C ．-

D ．-5 ） D ．

x

x -1

A ．5 B ．

4、x =1+2b ，y =1+2-b ，那么y 等于（

A ．

x +1

x -1

-13

B ．

x -1

x

-2

C ．

3

x -1

x +1

⎛1⎫

5、计算：0. 027- -⎪+2564-3-1+

⎝7⎭ 6、2-(2k +1)-2-(2k -1)+2-2k =（

A ．2-2k

）

2-1=___________________。

)

B ．2-(2k -1) C ．-2-(2k +1)

D ．2

7、已知x +y =12, xy =9，且x

x -y x +y

12

121212

的值是_________________。

8、a =2, b =9, c =，试比较a , b , c 的大小。

9、(-2)

[

12-2

]

等于（

）

）

D ．

A ．2 B ．-2

C ．

2 2

D ．-

2 2

10、下列各式中成立的是（

7

1

3

⎛n ⎫43377

A ． ⎪=n m B ．-3=-3 C ．x +y =(x +y )4

⎝m ⎭

9=3

11、当2-x 有意义时，化简x 2-4x +4-x 2-6x +9的结果为（

A ．2x -5

B ．-2x -1

1

1

）

C ．-1

）

D ．5-2x

-1

12、已知a +=3。则a 2+a 2等于（

a

A ．2 B ．5 C ．-5 D ．±5

-x 3

13、化简的结果是（

x

A ．--x

B ．x

）

C ．-x

D ．-x

14、化简5-2+5+26=______________________。 15、计算下列各式：

⎛3⎫⎛1⎫（1） 2⎪+2-2⋅ 2⎪

⎝4⎭⎝4⎭

-1

2

-(0. 01)

0. 5

⎛ （2） a b

⎝

856-5

⎫⎪⎪⎭

-

12

⋅a 4÷b 3(a ≠0, b ≠0)

2．1指数函数及其性质

1．y ＝a x (a >0，a ≠1) 的图象

0

图象

a

>1

性定义域 (－∞，＋∞) 质 值域 (0，＋∞)

过定点 a >0且a ≠1，无论a 取何值恒过点(0,1) 各区间取值 当x >0时，00时，y >1

当x 1 当x

单调性 定义域上单调递减 定义域上单调递增

2．利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小

(1)比较同底数幂大小的方法：选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性作出结论． (2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”，或采用“作商法”． 例题1判断下列函数是否是指数函数

⎛1⎫y = ⎪x x x

y =e y =0. 2()y =-2⎝3⎭； （1）；（2）；（3）；（4）

x

如图是指数函数①y=a^x，②y=b^x，③y=c^x，④y=d^x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( ) A ．a（1）1. 7

注：在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点： (1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；

(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；

(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0) ，或用作差法，作商法来比较大小．

例3. 求下列函数的定义域与值域：

2. 5

, 1. 73； （2）0. 8-0. 1, 0. 8-0. 2； （3）1. 70. 3, 0. 93. 1. .

y 3 (1) ＝

2. 比较大小：

45

12-x

(2) ＝y 2x +2-1

(3) ＝y 3-3x -1

(1)、、、、的大小关系是：(2)0.6

-

13-2() 2

．

⎛1⎫ ⎪

3. 求函数y ＝⎝3⎭

家庭作业：

x 2-3x +2

的单调区间.

11111--⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛3216842

1+2⎪1+2⎪1+2⎪1+2⎪1+2⎪

⎭⎝⎭，结果是（ ） ⎭⎝⎭⎝⎭⎝1、化简⎝

A 、

1

-⎫1⎛32

1-2 ⎪2⎝⎭

-1

11

--⎛⎫⎛⎫132321-21-21 ⎪ ⎪-

232⎭ C 、1-2 D 、⎝⎭ B 、⎝

-1

等于（ ） 2

、84216

a a a a A 、 B 、 C 、 D 、

b -b b -b

3、若a >1, b

且a +a =, 则a -a 的值等于（ ）

A 、64、函数A 、

B 、±2 C 、-2 D 、2

x

44

f (x ) =(a 2-1)

在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）

a >1

B 、

a

C

、a

D

、1

f (x +1) =

5、下列函数式中，满足

1

f (x ) 2的是( )

11(x +1) x +

4 C 、2x D 、2-x A 、 2 B 、

x 2-x

f (x ) =(1+a ) a 6、下列是（ ）

A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、既奇且偶函数

y =

7、函数A 、

1

2x -1的值域是（ ）

(-∞,1) B 、(-∞,0) (0, +∞) C 、(-1, +∞) D 、(-∞, -1) (0, +∞)

x

0

A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

2⎫⎛

F (x ) = 1+x ⎪⋅f (x )(x ≠0)

⎝2-1⎭9、是偶函数，且f (x ) 不恒等于零，则f (x ) ( )

A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数

C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数

10、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为（ ）

n n

na (1-b %)a (1-nb %)a [1-(b %)]a (1-b %)A 、 B 、 C 、 D 、 x y

10=3,10=4，则10x -y = _____________。 11、若

⎛1⎫y = ⎪⎝3⎭12、函数

-2x 2-8x +1

(-3≤x ≤1)

的值域是_____________。

2x -1

f (5) =x -2，则f (125)=_____________。 13、若

2x

17、设0

2

-3x +2

>a 2x

2

+2x -3

。

x 2+2x +5

⎛1⎫y = ⎪⎝3⎭18、已知函数

，求其单调区间及值域。

a x -1f (x ) =x (a >1)

a +119、已知函数,

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求该函数的值域；

(3)证明f (x ) 是R 上的增函数。