2013湖北宜昌中考数学

2013年宜昌市中考试题

数 学

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题．（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置

填涂符合要求的选项前面的字母代号，本大题共15小题，每小题3分，计45分） 1． （2013湖北宜昌，1，3分）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67 500吨，这个数据用科学记数法表示为（ ）．

A．6.75×104吨 B．67.5×103吨

C．0. 675×105吨 D．6. 75×10—4吨

【答案】A 图1

2． （2013湖北宜昌，2，3分）合作交流是学习数学的重要方式之一．某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是： 8，7，7，8，9，7．这组数据的众数是（ ）．

A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A

3． （2013湖北宜昌，3，3分）四边形的内角和的度数为（ ）．

A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C

4． （2013湖北宜昌，4，3分）某几何体的三种视图如图2所示，则该几何体是（ ）．

A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥

图2

【答案】C

5． （2013湖北宜昌，5，3分）下列式子中，一定成立的是（ ）．

A．a．a＝a2 B．3a +2a2 ＝5a3 C．a3÷a2 ＝1 D．(ab)2＝ab2 【答案】A

6． （2013湖北宜昌，6，3分）若式子x1在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）． A．x＝l B．x≥l C．x ＞1 D．x ＜1 【答案】B

7． （2013湖北宜昌，7，3分）如图3，在矩形ABCD中，AB ＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ）．

A．8 B．6 C．4 D．2

图3

【答案】C

8． （2013湖北宜昌，8，3分）如图4，已知AB∥CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠BEC＝100°，则∠D的度数是（ ）． A. 100° B. 80° C. 60° D. 50°

图4 【答案】D

9． （2013湖北宜昌，9，3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）．

A．1,2,6 B．2,2,4 C． 1,2,3 D． 2,3,4 【答案】D

10． （2013湖北宜昌，10，3分）2012 -2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%．下列说法错误的是（ ）． ．． A．科比罚球投篮2次，一定全部命中 B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中 C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小 【答案】A

11． （2013湖北宜昌，11，3分）如图5，点B在反比例函数y=

2

（x >0）的图象上，横x

坐标为l，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．

4

图5 【答案】B

12． （2013湖北宜昌，12，3分）地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年，目前的四分之一到一半物种将会灭绝或濒临灭绝．2012年底，长江江豚数量仅剩约1 000头，其数量年平均下降的百分率在13% - 15%范围内，由此预测，2013年底剩下江豚的数量可能为( ）头．

A．970 B．860 C．750 D．720

图6 【答案】B

13． （2013湖北宜昌，13，3分）实数a，b在数轴上的位置如图7所示，以下说法正确的是（ ）

图7

A．a＋b＝0 B．b＜a C．ab＞0 D．｜b｜＜｜a｜ 【答案】D

14． （2013湖北宜昌，14，3分）如图8，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误的是（ ）． ⌒ ⌒

A．AD= BD B．AF＝BF C．OF＝CF D．∠DBC =90°

图8 【答案】C

15． （2013湖北宜昌，15，3分）如图9，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7 )，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）． ．．．

A．(6,0) B．(6,3) C．(6,5) D．(4,2)

图9 【答案】B

二、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1

16． （2013湖北宜昌，16，6分）计算：（一20）×（一）+9 +2 000．

2

【答案】解：原式＝10＋3＋2000＝2013

17． （2013湖北宜昌，17，6分））化简：(a - b)2 +a(2b -a).

【答案】解：原式＝a2 – 2ab＋b2 +2 a b –a2＝b2

18． （2013湖北宜昌，18，7分）如图9，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF. (1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由； (2)连接EF，若AE =8厘米，∠A= 60°，求线段EF的长．

图9

【答案】解：如图,

(1)∵AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF为菱形. (2)连结EF. ∵AE=AF，ZA=60°，∴△EAF为等边三角形．∴EF=AE=8厘米．

19． （2013湖北宜昌，19，7分）读书决定一个人的修养和品位．在―文明湖北·美丽宜昌‖读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外阅读情况，绘制了平均每人每天课外阅读时间统计图如图10．

(l)补全扇形统计图中横线上缺失的数据；(2)被调查学生中，每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，求被调查的学生总人数．

(3)请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间．

图10

【答案】解：(1)1一(10%+30%+55%)=5%

(2)20÷10%= 200（人）． (3) 60×l0%+ 40×30%+ 20×55%=6+12+11=29（分） ∴估计该校学生平均每人每天的课外阅读时间为29分钟.

20． （2013湖北宜昌，20，8分） A，B两地相距l 100米，甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇，设甲、乙两人相距y米，甲行进的时间为t分钟，y与t之间的函数关系如图11所示．请你结合图象探究：

(1)甲的行进速度为每分钟__________米，m =____分钟； (2)求直线PQ对应的函数表达式；

(3)求乙的行进速度．

图11

1100-980

=60（米/分），m=2+7=9（分）． 2

(2)设PQ所在直线的解析式为y=kt+b． 【答案】解：(1)甲的行进速度=

b1100k60

∵P(0，1100)，Q(2，980)在直线PQ上， ∴ ,解得

2kb980b1100

∴直线PQ的函数关系式为y= - 60t+ll00

(3)设乙的速度为x米/分．由题意得60 ×9+7x =1100． 解得，x= 80（米／分），∴乙的行进速度为80米／分. 21． （2013湖北宜昌，21，8分）如图l，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB =AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF= 90°，AE =AF，连结FE，FC，BE，BF.

(l)求证：BE= BF;

(2)如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE千点K．

①求证：△AGC∽△KGB； ②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出．．．．AB：BF的值．

【答案】解：(1)证明（如图1）： ∵AO⊥BC且AB=AC，∴∠OAC=∠OAB=45°. ∴∠EAB=∠EAF-∠BAF= 45°，∴∠EAB=∠BAF.

∵AE=AF，且AB=AB，∴△EAB≌△FAB.∴BE=BF. (2)①证明：（如图2）

∵∠BAC=90°,∠EAF= 90°，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90° ∴EAB=∠FAC. ∵AE=AF，且AB=AC，∴△AEB≌△AFC． ∴∠EBA=∠FCA.又∵∠KGB=∠AGC， ∴△GKB∽△GAC. ②∵△GKB∽△GAC，∴∠GKB=∠GAC=90°． ∴∠EBF

：2

． Ⅱ当∠FEB=90°时，AB：BF=5：2．

I当∠EFB=90°时，AB：BF=

22

． （2013湖北宜昌，22，10分）【背景资料】一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保.经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤／时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘l公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时.

【问题解决】

(1)-个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？

(2)-个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；

(3)在(2)的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇用的人数是张家21

的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人手工采摘．两

33家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14 400 元，王家这次采摘棉

花的总重量是多少？ 【答案】解：(1) 35÷3.5×8=80（公斤）

(2) 7.5x8xlO.a=900． 解得，a=1.5（元）． 4

(3)解法一： 设张家雇工有x人，则王家雇工有2x人，其中机器采摘的x人，手工

32

采摘的有x人，设两家雇工工作的天数为y天

3

∵张家付给雇工工资总额为14 400元， ∴8×10×1.5 ·x·y =14 400…, ∴xy =120 42 ∴王家采摘棉花总量=8×x y+8×x y，

33

42

当xy=120时，原式=8× ×120+8××120= 51 200（公斤）．

33

∴王家这次采摘的棉花总量是5 1 200公斤.

4

解法二：设张家雇工有x人，则王家雇工有2x人，其中机器采摘的 x人，手工采摘

32

的有x人，设王家这次采摘的棉花总量为m公斤．

3 由题意得，

14400



8101.5x

m

24

810x835x

33

解得，m=51200（公斤），∴王家这次采搞的棉花总量是5 1 200公斤．

23． （2013湖北宜昌，23，11分）半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l 相切于点F，DC在l上． (1)过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点， ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是____； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长； (2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至 ．．．．边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

【答案】解：(1)①30°． ②如图1

∵直线l与⊙O相切于F，∴∠OFD= 90°. ∵正方形ADCB中，∠ADC= 90'，．∴OF//AD. ∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形．

∵∠OFD= 90°，∴平行四边形OFDA为矩形． ∴DA ⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB.

∴O，A，D三点在同一直线上．

方法一： ∵E，A，D三点在同一直线上，∴EA⊥OB. ∵∠OEB=90°，∴∠OEB=∠EAO. 又∵∠EOB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE.

OAOE

．∴OE2= OA·OB．∴OA（2+OA）=4， OEOB

解得，OA=﹣，∵OA＞0，∴OA=﹣1

∴

OAOE

 OE2

OE2OE2

在Rt△EOB中，cos∠EOB= ，∴，∴解得，OA=﹣1. OB2OA2OA2

方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA=

方法三：∵OE⊥EB, EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2= OA·OB，∴OA（2+OA）=4． ∵OA＞0，∴OA=﹣1。

n22n（cm2） 36090

S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON 最大.

(2) 如图2，设∠MON= n°，S扇形MON

过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，NM=2NK， 在Rt△ONK中，sin∠NOK=

NKNK

 ON2

∴∠NOK随NK的增大而增大, ∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当

MN最小时∠MON最小。

①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大（cm2） ② 当MN=DC=2时，MN最小.

∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°. S扇形MON最小

22

（cm2）S扇形MON

33

24． （2013湖北宜昌，24，12分）如图l，平面直角坐标系中，等腰直角三角板的直角边BC．．．．在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为(t，0)，直角边AC =4，经过O，C两点作抛物线y1=ax（x -t）

（a为常数，a>0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx(k为常数，k>0)．

(l)填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A(，____)，k=___.

1

(2)随着三角板的滑动，当a=时：

4

1

①请你验证：抛物线y1=ax（x -t）的顶点在函数y=- x2的图象上；

4

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4时，｜y2 –y1｜的值随x的增大而减小；当x≥t +4时，｜y2 –y1｜的值随x的增大而增大．求a与t的关系式及t的取值范围．

【答案】

4

解：(1)(t，4)；k= ．

t

tt11

(2)①当a= 时，y= x(x-t)，其顶点坐标为（，-）

44216tt11t

对于y= - x2，当x=时，y=一-()2= -，

442216

111

∴当a= 时，y= x(x-t)的顶点在y= - x2．

444 ②如图1．过E作EK⊥x轴于K

∵AC⊥x轴，∴EK∥AC. ∵E为AB的中点，∴K为BC的中点． ∴EK为△ACB的中位线． ∴EK=

2

2

11

AC＝２，CK=CB＝２，∴E（t+2，2）． 22

1

∴E(m，2)在y= x(x-t)图象上．

41

（t+2）（t+2-2）=2． 解得t=2． 4 (3)如图2

444yx

xax(xt)xt或x0 解得，t

tatyax(xt)

∴D点横坐标为 ∴当x

4

t at

44

t时，｜y2 –y1｜= 0,由题意得，t+4=t,则at1 atat

方法一： y2一y1==ax2(t

444xax(xt)= ax2atxx=ax2(at)x ttt



4t2t2)x()2a()2 at2at2at

2

t2t2

=ax()a()2

2at2at

．．．当x

t2t2时｜y2 –y1｜最大（求顶点横坐标，由二次函数性质直接得x时｜2at2at

y2 –y1｜最大也可）

4

t时y2 –y1｜最小为0 at

t244

t时，｜y2 –y1｜的值随x的增大而减小；当x≥t时，｜y2 –y1｜的∴当≤x≤

2atatat

又∵当x值随x的增大而增大． 由题意得，t≥∵at=l，∴t≥4

方法二：设平行于直线OD且与y1=ax（x -t）有唯—公共点的直线的解析式为y3=

t2

 2at

4

x+m t

44yxm

xmax(xt)有两个相等的实数根． ,t

tyax(xt)

∴ax(at)xm0的△=0， ∴x1x2

2

4t

t2 2at

t2t2 ∴当xl｜y2 –y1｜最大， 2at2at

∴直线y3与y1的唯一公共点P的横坐标为又∵当x

4

t时y2 –y1｜最小为0 att244

t时，｜y2 –y1｜的值随x的增大而减小；当x≥t时，｜y2 –y1｜．∴当≤x≤

2atatat

的值随x的增大而增大． 由题意得，t≥

t2

 2at

以下同方法一．

11