计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra 算法详细讲解 １ 最短路径算法
在日常生活中，我们如果需要常常往返A 地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A 地区到B 地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：
（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法
有：Dijkstra 算法、A*算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法、Johnson 算法。 本文主要研究Dijkstra 算法的单源算法。
２ Dijkstra 算法 2.1 Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra 算法思想
Dijkstra 算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V 分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S 表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S 中，直到全部顶点都加入到S 中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S 中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点v 到U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S 中的顶点的距离就是从v 到此顶点的最短路径长度，U 中的顶点的距离，是从v 到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3 Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S 只包含源点，即S ＝，v 的距离为0。U 包含除v 外的其他顶点，U 中顶点u 距离为边上的权（若v 与u 有边）或 ）（若u 不是v 的出边邻接点）。
（2）从U 中选取一个距离v 最小的顶点k ，把k ，加入S 中（该选定的距离就是v 到k 的最短路径长度）。
（3）以k 为新考虑的中间点，修改U 中各顶点的距离；若从源点v 到顶点u （u U ）的距离（经过顶点k ）比原来距离（不经过顶点k ）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k 的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S 中。 2.4 Dijkstra 算法举例说明
如下图，设A 为源点，求A 到其他各顶点（B 、C 、D 、E 、F ）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
图一：Dijkstra 无向图
算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】错误!