圆的方程及应用
圆的方程及应用
教学目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据所给有关圆心和半径的具体条件,准
确写出圆的标准方程,并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径,通过圆的标准方程的推导,培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而
求出圆心坐标和圆的半径.
3.理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系,能根据图形
特点,写出曲线方程之间的关系;能根据代数方程,画出曲线与曲线之间的各种图形,有利于问题的简化,达到解题的目的.
4.努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题,要充分利用数
形结合的思想和方程的思想,由图形来探索解题的方法.
重点难点
1.圆的标准方程和一般方程的特点,根据具体题目条件,选用圆的一般方
程解决问题.
2.直线和圆的各种位置关系,重点掌握直线与圆相切的有关问题.
3.难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题.虽然解析
几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程,但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助,这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视.
教学过程
圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线,用坐标法,从圆的特征性质导出圆的方
程,再通过圆的方程来研究与圆有关的问题.由于圆的特殊性和其广泛的应用,所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题.
1.圆的方程的各种情况及其应用;
2.圆的切线方程;
3.有关圆的轨迹问题;
4.直线与圆结合的应用问题.
例题部分
例1 求圆心在直线4x+y=0上,且与直线x+y-1=0切于点P(3,-2) 的圆的
方程.
分析 由于已知条件涉及到圆的圆心和半径,所以设所求圆的方程为:
(x-a)2+(y-b)2=R2,根据题意,则有以下方程组成立
评述 这是一道典型的例题,它充分体现了点在曲线上,点的坐标满足曲
线方程的主导思想;圆的半径由点到切线的距离来描述,圆心由它所适合的方程
组来决定,本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法.前面已经提到了复习圆
这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理,如能考虑到这一点,本题
的解法则可能会更简单:如图1,设所求圆的圆心为C ,则PC 垂直于直线x+y-1=0,
例2 已知经过点A(0,1) 和点B(4,a) ,且与x 轴相切的圆只有一个,求
此时a 的值及相应的圆的方程.
分析 因为该圆与x 轴相切,故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径,所
以用圆的标准方程解本题.
解 因为所求圆与x 轴相切.所以可设所求圆的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2=y02.
因为A(0,1) ,B(4,a) 在圆上,所以
消去y0,得
(x0-4)2+a2=a(x02+1)
即
(1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0. ③
(2)当a ≠1时,若适合题意的圆只有一个,方程③必须有二等根,即有Δ
=b2-4ac=0.得64+4(a-1)(a2-a+16)=0,整理该方程有a[(a-1)2+16]=0,
评述 本题的特点是由数形结合的思想出发,画出草图,做出定量分析,
在此基础上建立与题意相适应的代数方程,并通过解方程组使问题得到解决.
例3 已知抛物线y2=2px(p>0) 的内接三角形的一个顶点在原点,三边上
的高线都通过焦点F ,求此三角形的外接圆方程.
分析 先求三角形另两个顶点A ,B 的坐标,再求过O ,A ,B 三点的圆的方
程.
解 如图(2)所示,设△OAB 为抛物线y2=2px的内接三角形,AD ,
因为OA ⊥BE ,所以KOA ²KBE=-1,即
例4 求过点P(2,4) 向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解 因为(2-1)2+(4+3)2=50>1,所以点P(2,4) 在圆(x-1)2+(y+3)2=1的
外部.
4=k(x-2).①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1,即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0,
其判别式Δ=56k-192.
的一条切线的方程.
因为圆心(1,-3) 到该直线的距离d=1,所以x=2是所求的另一条切线方程.
综合(1)、(2),所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0.
评述 在解决这类问题的时候,一定要注意两点,第一是先判断点P(2,
4) 与圆的位置关系,点P(2,4) 必须在圆上或圆外才有解,第二要考虑斜率k 不
存在的情况,以免漏解.这样考虑问题较细致,但计算量相应较大,如能利用平
面几何中圆的切线定义,根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点,则计算量
相应减少,解法简化.
由圆心为(1,-3) ,半径R=1,将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊
情况x=2,这样就可得两条切线方程.
例5 求经过点A(4,-1) ,且与已知圆C :(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点
B(1,2) 的圆的方程.
解 如图3,设所求的圆C ′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2.因为C ′既在弦
AB 的垂直平分线上,又在直线BC 上,AB 中垂线方程为3x-y-6=0,BC 所在直线
的方程为x+2y-5=0,所以圆心C ′的坐标应满足方程组
解 得a=3,b=1.
因为所求圆C ′过点A(4,-1) ,所以
(4-3)2+(-1-1)2=R2=5.
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
评述 确定一个圆的方程主要是两个数据:圆心和半径.本题解决的关键
是要确定圆心C ′的位置,C ′一确定,半径即为|C′A|.由已知条件得出C ′满
足的条件有两个,一是C ′在线段AB 的垂直平分线上;二是圆C 和C ′相外切,
C ′一定在直线CB 上,由此建立(a,b) 所满足的方程组,问题即可得解.
例6 已知与圆C :x2+y2-2x-2y+1=0,相切的直线l 交x 轴、y 轴分别于A ,
B 点,设O 为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b >2) .
(1)求证圆C 与直线l 相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB 中点的轨迹方程;
(3)求△AOB 面积的最小值.
解 (1)因为l 与圆心相切,且a >2,b >2,所以可设直线l 的方
评述 讲解本题的目的,是为了锻炼学生解决综合题的能力,其中第(1)
小题被反复应用多次,特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴.
例7 AB 为定圆的直径,C 为该圆上异于A ,B 的任一点,l 为过C 点的圆
的切线,过B 引BP ⊥l ,且交AC 的延长线于P ,求点P 的轨迹.
解法一 如图4所示,以圆心O 为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立坐标
系,则定圆方程为x2+y2=r2.
(因为C 是动点,点P 因点C 动而动,故可) 设P 点坐标为(x,y) ,C 点坐标
为(x1,y1) .(P点是直线AC ,BP 的交点,所以P 点受直线AP 和BP 的制约,因
此建立直线AP 与BP 的方程,来确定P 点与C 点坐标之间的关系式.
)
因为C 点不与点A ,B 重合,所以y1≠0,由过C 点的切线l 的方程为
x1x+y1y=r2,直线BP ⊥l ,所以y1x-x 1y-y1r=0①,点P 在直线AC
=r2,即(x-r)2+y2=4r2(y≠0) 即为所求P 点的轨迹方程,其轨迹要除去x 轴上的
两个点.
评述 本题特点是动点P 随着相关点C 的运动而运动,如果能用动点P 的
坐标(x,y) ,表示相关点C 的坐标(x1,y1) ,则按照相关点C 所满足的条件列出
方程,就能得动点P 的轨迹方程.这种方法通常称为相关点法,在解析几何中经
常用到,应给予足够的重视.
解法二 因为BP ⊥l ,OC ⊥l ,所以OC ∥BP .因此|BP|=2|OC|=2r.
这说明当点C 运动时,动点P 距定点B 的距离总等于常数2r .根据定义可
得到:P 点轨迹是以点B(r,0) 为圆心,以2r 为半径的圆.因为C 点不与A ,B
点重合,所以y ≠0,所以点P 的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0) .
例8 从直线x=-2上一动点P 向圆x2+y2=1引两条切线,求以两切点为端
点的弦AB 的中点M 的轨迹方程.
分析 如图5,本题解决的思路是如何建立起切点弦AB 所在直线的方程.如
图所示,OP ⊥AB ,由kOP ²kAB=-1,即可得出PO ,AB 交点M 的轨迹方程.
解 在直线x=-2上任取一点P(-2,y ′) ,过P 引圆的两条切线PA ,PB ,A ,
B 为两切点.设A ,B 点的坐标为(x1,y1) ,(x2,y2) ,AB
y2y=1.
因为P 点在两条切线上,所以
-2x1+y′y1=1,-2x2+y′y2=1.
根据上式知点A ,B 的坐标满足方程-2x+y′y=1.
即切点弦AB 所在直线的方程为2x-y ′y+1=0,点M 在直线AB 上,所以
因为PM ⊥AB ,所以kPM ²kAB=-1,因此
即方程2x2+2y2+x=0[除去(0,0)]是两直线交点M 的轨迹方程.
评述 切点弦AB 所在直线的方程是由认真分析动点P 所满足的两个方程得
到的,不同于一般直接求直线方程的方法,这种方法值得重视.
例9 一动圆过定点(c,0) 且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a>0,c >0) 相切,求
动圆圆心的轨迹方程.
解 设F2(c,0) ,F1(-c,0) ,即F2是已知定点,F1是已知定圆的圆心,
动圆圆心P(x,y) ,由于F2与定圆F1有三种位置关系,所以分三种情况讨论.
(1)F2在定圆F1的内部,即c <a 时动圆P 只能与定圆F1内切,所
(2)F2在定圆F1上,即c=a时动圆P 与定圆相切于定点F2,轨迹方程为直
线y=0除点F2,F1.
(3)F2在定圆F1外,即c >a 时,若动圆P 与定圆F1外切,则有
|PF1|-|PF2|=2a;若动圆P 与定圆F1内切,则有|PF2|-|PF1|=2a,所以应有
评述 本题关键是要搞清楚F2与定圆F1的三种位置关系,应用数形结合
的思想建立其轨迹方程.
例10 若实数x ,y 满足方程x2+y2-2x+4y=0,试求x-2y 的最大值和最小
值.
分析 如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为(x-1)2+(y+2)2=5,可知方程
式x-2y 的值,就可看作是直线x-2y=t与x 轴交点P(t,0) 的横坐标.由于
直线x-2y=t的斜率是定值,显然当直线x-2y=t与已知圆相切时,t 有最大值或
最小值,基于上述分析 ,采用以下解法一.
解法一 将已知方程整理为(x-1)2+(y+2)2=5,即知它表示圆心为O
所以x-2y 的最大值为10,最小值为0.
解法二 因为x 2+y2-2x+4y=0,所以
(x-1)2+(y+2)2=5.
当sin( -α)=1时,x-2y 的最大值为10;
当sin( -α)=-1时,x-2y 的最小值为0.
评述 本题的解法二是利用了圆的参数方程,将式子x-2y 转化为角α的函
数,然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2y 的最大值和最小值.
的截距.从数形结合的思想来研究,如图6所示,动点(x,y) 既在圆上又在直
线系上,因此这些平行线在y 轴上截距的最大值与最小值恰好是这族平行线中与
圆相切的切线的截距.利用圆心到切线距离等于半径,来确定b 的值.
所以x-2y 的最大值为10,最小值为0.
最小值.
解 问题即求圆(x-3)2+(y-3)2=6上的点与原点O 连线的斜率的最大值和
最小值,根据数形结合的思想,容易得到过原点的圆的两条切线的斜率即为所求.
设切线为y=kx代入圆的方程中有(1+k2)x2-6(1+k)x+12=0.因为直线
例12 已知圆M 的方程(x-3)2+(y-4)2=4和两点A(-1,0) ,B(1,0) .在
圆上求一点P ,使|AP|2+|BP|2取得最小值.
解 如图7所示,根据三角形的中线公式有
|AP|2+|BP|2=2|OP|2+2|OB|2=2|OP|2+2,所以当|OP|2取得最小值时,
|AP|2+|BP|2也取得最小值.根据平面几何知识知,线段OM 与圆的交点P
评述 本题解决的思路主要是根据平面几何中有关知识,代数计算问题比
较简单.因此在解决有关圆的问题时,应重视平面几何中的有关性质和定理,要
充分利用.
能力训练
1.A=C≠0,B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的
[ ]
A .充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C .充要条件 D.既不充分又非必要条件
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a 的取值范围是
[ ]
3.两圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有
[ ]
A .2条 B.3条
C .4条 D.以上都不是
条直线的方程是
[ ]
C .x=-3 D .x=-3或3x+4y+15=0
6.圆C1:x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为
[ ]
A .x2+y2+2x+6y+9=0 B.x2+y2-6x-2y+9=0
C .x2+y2-8x+15=0 D.x2+y2-8x-15=0
8.直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点,则a ,b ,c 应满足的关系是
[ ]
A .a2+b2≤c2 B.a2+b2<c2
C .a2+b2≥c2 D.a2+b2>c2
9.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于
[ ]
C .1 D.5
10.和x 轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为
[ ]
A .x2=2y+1 B.x2=1-2y C .x2=2|y|+1 D.x2=2y-1
11.圆心在抛物线y2=8-4x的顶点,且与其准线相切的圆的方程为______. 13.圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是______.
14.若m ∈R ,圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点,它们的坐标是______.
范围是______.
16.一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是______.
17.圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______. 18.斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______. 19.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O 作圆的任意弦,则这些弦的中点M 的轨迹方程是______.
20.动圆与x 轴相切,且被直线y=x所截得的弦长为定值2,则动圆圆心的轨迹方程为______.
答案提示
1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.(x-2)2+y2=1
13.3
15.(-∞,0) ∪(0,+∞) 16.x2+y2+4y-6=0 18.y=-x在圆内的部分 20.x2-2xy-y 2+2=0 设计说明
准备圆的复习课时,我考虑重点应突出两点.第一是数形结合思想方法的体现,如例9、例10、例11、例12.第二应重视平面几何中有关圆的定理的应用.如例1的另一解法,例4的另一解法,例9、例10的处理方法.在解决圆这一部分问题时,不急于先列代数方程,仔细审题,根据条件尽量画出满足或接近题设条件的图形加以分析,最终确定最简单的解法.
高二数学第七章知识总结
一、选择题(3′³8)
1. 直线ax+by+c=0通过第一、二、三象限,则( ) A.ab>0,bc0,bc0
2. 三条直线2x+3y=1,3x+2y=1,ax-y-1=0交于一点,则a 的取值是( ) A.a =3
B.a =6
C.a =-6
D.a =
3 2
3. 过点B(2,3) 且在两坐标轴上有相等截距的直线方程只能是( ) A.x+y-5=0 B.x+y+5=0
C.x+y-5=0或x+y+5=0 D.x+y-5=0或2x-2y =0 4. 直线x+2y-2=0的倾斜角为( ) A.arctan(-
1
) 2
C. π-arctan2
1 21
D. π+arctan
2
B. π-arctan
5. “A =3”“是直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的( )条件. A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分
6. 无论a,b 为何值,直线(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0都通过定点( ) A.(3,-2) B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(-3,-2)
7. 如果点(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,那么a 的取值范围是( ) A.(0,10)
B. ⎢,
⎡131⎤
⎥
⎣33⎦
C. [0,10] D.(-∞,0]∪[10,+∞)
8. 已知三条不同直线l 1:A1x+B1y+C1=0,l 2:A2x+B2y+C2=0,l 3:A3x+B3y+C3=0(其中A 3=A 1+A2,B 3=B 1+B2,C 3=C 1+C2) ,那么l 1,l 2,l 3的位置关系是( )
A. 两两平行 B. 两两相交且过同一点 C. 两两相交但不过同一点 D. 两两平行或交于同一点
二、填空题(4′³2)
1. 直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0互相垂直,则a 的值为 .
2. 平面上一个动点到两个坐标轴的距离相等,这个动点的轨迹方程是 .
三、解答题
1. 已知A(1,2) ,B(5,4) 和直线x-2y-2=0上一动点P ,且点P 使|PA |+|PB |最小,求点P 的坐标.(12′)
2. 已知△ABC 三边所在直线方程是AB :4x-3y+10=0;BC:y-2=0;CA:3x-4y-5=0. 求:(15′)
①∠B 的大小;
②∠BAC 内角平分线方程; ③AB 边上的高所在直线方程.
3. 如图,△ABC 中,DE ∥AB ,A(1,1) ,C(4,5) 且S △CDE =S 四边形ABED ,求D 点坐标.(12′
)
4.P 为直线l:Ax+By+c=0上一动点,M(a,b)为一定点,点Q 在直线MP 上,且MQ :QP =λ,求Q 点轨迹(λ≠-1,λ≠0).(15′)
5. 北京华掀公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型”洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力) 确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大. 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品有关数据如下表:
资金 单位产品所需资金 月资金供应量
(百元)
(百元)
电子琴 洗衣机
成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润 6 8
试问:怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少?(14′)
(AA级 提高级)
一、选择题(3′³12)
1. 若点P(a,b)在第三象限,则P 点到y 轴的距离是( ) A.-a B.-b C.a D.b
2. 三条直线x+y-2=0,3x-y-3=0,4x-ky+1=0相交于一点,则k 的值为( ) A.-8
B.
9 2
C.8 D.7
3. 结出下面四个命题
①设直线L 1和L 2的斜率分别是k 1,k 2,则L 1和L 2的夹角θ=arctan
k 2-k 1
1+k 2k 1
②直线x+2y-1=0的倾斜角是arctan(-
2); 2
③已知三点A(a+b,c).B(b+c,a),C(a+c,b),则A 、B 、C 三点共线 ④两平行直线A 1x+B1y+C1=0与A 2x+B2y+C2=0之间的距离是
C 1-C 2AB +B
21
21
,其中正确命题
的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4. 已知直线L 1和L 2的夹角平分线为y=x,如果L 1的方程是ax+by+c=0(ab>0) ,那么L 2
的方程是( )
A.bx+ay+c=0 B.ax-by+c=0 C.bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=0
5. 与直线2x-y+4=0的夹角为45°且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程是( ) A.x-2y+2=0 B.3x+y+6=0
C.x-3y+2=0或3x-y+6=0 D.x-3y+2=0或3x+y+6=0
6. 连结A(-4,1) 和B(2,5) 两点的直线与直线x+y-3=0交于E 点,则点B 分AE 的比是
( )
A.-
3 2
B.
3 2
C.-
5 2
D.-
5 3
7. 过点A(2,1) 的所有直线中,距离原点最远的直线方程是( ) A.x=2 B.x-2y+5=0 C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0
22
8. 如果把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,直向下平移2个单位,使圆x +y+2x-4y=0与它相切,则实数λ的值是( )
A.-13或13 B.13或-3 C.13或3 D.-13或-3
2222
9. 已知点(x0,y 0) 是圆x +y=r外一点,则直线x 0x+y0y=r与这个圆的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D.不能确定
10. 曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0的对称曲线的方程为( ) A.f(y+2,x)=0 B.f(x-2,y)=0 C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0
22
11. 与圆C :(x-1)+y=36同心圆,且面积等于圆C 的面积的一半的圆的方程是( )
2222
A.(x-1)+y=18 B.(x-1)+y=9
2222
C.(x-1)+y=6 D.(x-1)+y=3
12. 已知两个圆C 1:x+y=1和C 2:(x+5)+y=1,如果直线x-3y+m=0恰好在这两个圆之
2
2
2
2
间通过,则实数m 的取值范围是( )
A.(1,4) B.(2,3) C.(1,3)
二、填空题(4′³4)
D.(2,4)
⎧3x -2y -2>0⎪
13. 不等式组⎨x +4y +4>0的整数解为 .
⎪2x +y -6
14. 已知P(3,0) 是圆x +y-8x-2y+12=0内一点,则过P 点的最短弦所在直线的方程是 .
15. 已知(x-1)+(y+2)=4,则
2
2
2
2
2
2
y +4
的取值范围是 . x -5
16. 若实数x,y 满足x +y-2x+4y=0,求x-2y 的最大值是 .
三、解答题
17. 如果一个圆与圆x +y-2x=0外切,并与直线x+y=0相切于点M(3,-3) ,求这
2
2
个圆的方程.(8′)
18. 已知以C(2,0) 为圆心的圆C 和两条射线y=±x ,(x≥0) 都相切,设动直线L 与圆C 相切,并交两条射线于A 、B ,求线段AB 中点M 的轨迹方程.(10′)
2222
19. 求过已知圆x +y-4x+2y=0,x +y-2y-4=0的交点,且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.(10′)
20. 直线L 过点M(2,3) ,且被3x+4y-7=0与3x+4y+8=0截得的线段之长为32,求直线L 的方程.(10′)
21. 某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有
第七单元达纲检测(A级)
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 二、1.a =0或a =1 2.y=±x 三、1.P(0,
1) 2.∠B =π-arctan
4
;∠BAC 内角平分线方程是7x-7y+5=0;AB 边上3
的高所在直线方程是3x+4y-21=0 3.D(4-32,5-22). 4.Q点的轨迹是与直线l 平行的一直线. 5.当供应量为电子琴4架,洗衣机9台时该可获得最大利润,最大利润为96(百元).
AA 级
一、1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C 9.A 10.C 11.A 12.B
二、13.(2,1) ,(1,0) ,(2,0) ,(1,-1) ,(2,-1) ,(3,-1) 14.x+y-3=0 15.[-0] 16.10
17. 设所求圆的圆心是C(a,b),则过m ,c 的直线与x+y=0垂直
4,3
由①②可得,a=0,b=-43或a=4,b=0相应半径为6和2.
∴圆的方程为:x +(y+43) =36或(x-4)+y=4.
18. 设直线L 的方程为y=kx+b.A(x1,y 1),B(x2,y 2),M(x,y)由⎨A(
2222
⎧y =x
得
⎩y =kx +b
b b , ),(k≠0) 1-k 1-k
x 1+x 2kb ⎧x == ①2⎪⎧y =-x -b b ⎪21-k
由⎨得B(, ) ,∴⎨
1+k 1+k ⎩y =kx +b ⎪y =y 1+y 2=b ②
⎪21-k 2⎩y 2-x 2x
由①②得:k=,b= ③
y y
∵圆C 与y =±x 都相切 ∴圆C 的半径r=2. ∵AB :kx-y+b=0与圆C 相切, ∴
2k +b k 2+1
= 2, 即2k +4kb+b-=0 ④
2
2
2
2
2
2
2
2
将③代入④ (y-x )+4x(y-x )-2(y-x )=0
222222
∵y ≠x ,∴y -x +4x-2=0即(x-2)-y =2.(y≠0)
当L ⊥x 轴时,线段AB 的中点M(2±2,0) 也合上面的方程,其轨迹在∠AOB 内 19. 设过已知圆交点的圆系方程为:x +y-4x+2y+λ(x+y-2y-4)=0(λ≠-1) ,即(1+22
λ)x +(1+λ)y -4x+(2-2λ)y-4λ=0
圆心(
2
2
2
2
21-λ-) 又圆心在直线2x+4y=1上
1+λ1+λ
∴
1-44
=1,∴λ=
1+λ(1-λ) 3
2
2
所求圆的方程为:x +y-3x+y-1=0 20. 略 解:x-7y+19=0或7x+y-17=0
21. 设x,y 分别为甲、乙二种柜的日产量,可将此题归纳为如下线性规划模型f max =20x+24y
⎧6x +12y ≤120⎪x ≥0⎪其中⎨由图及下表
8x +4y ≤64⎪⎪⎩y ≥0
∴f max =272
答:该公司安排甲、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元.