电路答案第12章
答案12.1
解:分别对节点①和右边回路列KCL 与KVL 方程:
i C =q
C =-i R -i L u L =ψ
=u =q /C
C 将各元件方程代入上式得非线性状态方程:
q
=-f 1(ψ) -f 2(q /C ) ψ =q /C
方程中不明显含有时间变量t ,因此是自治的。
答案12.2
解:分别对节点①、②列KCL 方程: 节点①:
i 1=q
1=i S -(u 1-u 2) /R 3 节点②:
i 2=q
2=(u 1-u 2) /R 3-u 2/R 4 将
u 1=f 1(q 1), u 2=f 2(q 2) 代入上述方程,整理得状态方程:
⎧⎨
q
1=-f 1(q 1) /R 3+f 2(q 2) /R 3+i S ⎩q
2=f 1(q 1) /R 3-f 2(q 2)(R 3+R 4) /(R 3R 4) 答案12.3
解:分别对节点①列KCL 方程和图示回路列KVL 方程得:
⎧⎨
q
1=i 2-u 3/R 3 (1)⎩ψ 2
=u S -u 3 (2)u 3为非状态变量,须消去。由节点①的KCL 方程得:
-i 2+i 3+i 4=-i u 3u 3-2+
R +u 1
=0 3R 4
解得
u 3=(u 1+R 4i 2) R 3/(R 3+R 4) =[f 1(q 1) +R 4f 2(ψ2)]R 3/(R 3+R 4) 将
u 1=f 1(q 1) 、i 2=f 2(ψ2) 及u 3代入式(1)、(2)整理得:
⎧⎨
q
1=-f 1(q 1) /(R 3+R 4) +f 2(ψ2) R 3/(R 3+R 4) ⎩ψ 2
=-f 1(q 1) R 3/(R 3+R 4) -f 2(ψ2) R 3R 4/(R 3+R 4) +u S 答案12.4
解:由KVL 列出电路的微分方程:
u d ψ
L =d t
=-Ri +u S =-R α() +βsin (ωt ) 前向欧拉法迭代公式:
ψk +1=ψk +h [-R α(k ) +βsin (ωt k )]
后向欧拉法迭代公式:
ψk +1=ψk +h [-R α(k +1) +βsin (ωt k +1)]
梯形法迭代公式:
ψk +1=ψk +0. 5h [-R α(k ) +βsin (ωt k ) -R α(k +1) +βsin (ωt k +1)]
答案12.5
解:由图(a)得:
i R =C
d u C d t =C d
d t (U C d u R S -u R ) =-d t
(1) 由式(1)可知,当i d u R
R >0时,
d t
d t
>0,u R 单调增加。由此画出动态路径如图(b)所示。
u R (0+) =U S -u C (0+) =3V
响应的初始点对应P 。根据动态轨迹,分段计算如下。
(1) AB段直线方程为: u R =-i R +4。由此得AB 段线性等效电路,如图(c)。
+
u -
U S
U S
(c)
(d)
由一阶电路的三要素公式得:
u R p =4V ,τ=-1s
u R =u R p +[u t /τR (0+) -u R p (0+)]e -=(4-e t ) V (0
1时,动态点运动到A 点,即4-e =2,求得t 1=ln 2≈0. 693s 。(2) OA 段. t >t 1时,u R 将位于OA 段,对应直线方程u R =i R 。线性等效电路如图(d)。由图(d)求得:
u )
R =2e
-(t -t 1 V (t >t 1)
答案12.6
解:t >0时,由图(a)得
d u
R d t =-1
C
i R ,i R >0 u R 只能下降。画出动态路径如图(b)所示。响应的起始位置可以是A 或B 点。
(1) 设起始位置是A 点,响应的动态轨迹可以是
A-O 或A-C-D-O ,其中C-D 过程对应电流跳变。
(1.1) 设动态轨迹为A-O 。非线性电阻在此段等效成2Ω 的线性电阻,响应电压为:
u C (t ) =2e -0.5t V (t >0) (1) (1.2) 设动态路径为A-C-D-O 。
(c) AC段等效电路
(d) BC段等效电路
AC 段的等效电路如图(c)所示。由图(c)求得:
u C (0+) =2V ,u C p (t ) =3V ,τ=-1s 由三要素公式得:
u C =(3-e t ) V (0
t >t 时,动态轨迹位于DO 段,非线性电阻变成线性2Ω电阻,响
应为
u ) C (t ) =e -0.5(t -t 1 V (t >t ) (3) (2) 设起始位置为B 点,则设动态路径为B-C-D-O 。
位于BC 段时,线性等效电路如图(d)所示。由图(d)求得
u C p (t ) =-1V ,τ=1s
u C (t ) =-1+3e -t V (0
设t 1'时刻到达C 点,即-1+3e -t 1=
1 解得 t 1'=ln 1. 5≈0. 405s 。 CD 段对应电流跳变,瞬间完成。
t >t 1'后动态轨迹进入DO 段,非线性电阻变成2Ω线性电阻。响应为
u t C (t ) =e -0.5(t -1' ) V (t >t ' ) (5)
上述式(1)、(2)与(3)、(4)与(5)是本题的三组解答。 答案12.7
解:0≤t ≤t 时,工作于OA
段,对应线性电感:L =
ψ
i
。
初始值ψ(0) =0,特解ψE
L +p (t ) =L 1⨯,时间常数τ=1R R
由三要素法,电路的零状态响应为:
ψ(t ) =ψE
R p (t ) +[ψ(0+) -ψ-
R L t 1
p (0+)]e
=
L 1(1-e -
L t 1
R
) (1)
设t 点,即ψE
-R
t 1时刻到达A 1=L 1(1-e L 11
R
) ,解得
t 1L 1E /R L L 1i ∞
1=
L R ln L E /R -ψ=1ln
(2) 11R L 1i ∞-ψ1
当t >t 时, ψ=L i +ψ,其中电感
L =
ψ∞-ψ
i ∞-i
。
对应上式的时间常数与强制分量分别是
τ=
L
R
,ψp (t ) =ψ(∞) =ψ∞ 故当t >t 时的响应为
t -t 1
ψ(t ) =ψ∞+(ψ1-ψτ∞) e
-
2
答案12.8
解:由图(a)电路得:
u (06
-) =3+6
⨯4. 5V =3V
当t >0时,将除非线性电容以外的电路用戴维南电路等效,如图(c)所示。其中
等效电阻
R i =(3//6) //2=1Ω 开路电压
U OC =1. 5V 。
(1)0≤t ≤t 1
1时,电路工作在AB 段内,u =q +1=C q +1,对应的线2
性等效电路如图(d)所示。
+1. 5u
u -
(c)
(d)
(e)
图 12.8
u (0+) =u (0-) =3V ,τ=RC =1s ,u p (t ) =1. 5V
电路响应
u (t ) =u -t
p (t ) +[u (0+) -u /τ
p (0+)]e
-t =(1.5+1.5e )V (0≤t ≤t 1)
随着时间的延续,电压u 单调减小,设t 1时刻电压u 下降至A 点,即
1.5+1.5e -t 1=2
解得
t 1≈1. 10s 。
(2) t >t 时,工作在AO 段,q =0. 5u ,此时电容等效为0. 5F 的线性电容,如图(e)所示。由图(e )得时间常数及强制分量分别为:
τ' =RC =0. 5s ,u p (t ) =u (∞) =U O C =1. 5V 电路响应:
u (t ) =u p (t ) -[u (t 1) -u p (t 1)]e -(t -t 1)/τ' =[1. 5+0. 5e -2(t -t 1) ]V
答案12.9
解:应用小信号分析法。
u 'S
=10V 单独作用时,电路的直流解为: I u 'S
0=
R
=0. 01A 。 (1) 动态电感
L d =
d ψ
d i i =I =6I 0=0. 06H 。
小信号线性等效电路如图(b)所示。
∆i (0+) =0,∆i (∞) =10-3A ,τ=L d /R =6⨯10-5s 根据三要素法求得:
∆i =∆i (∞)(1-e
-
R L t d
) =10-3
(1-e
-1
⨯1056
t ) ε(t ) A (2)
式(1)与式(2)相加得本题解答:
i (t ) =I -3
-1
0+∆i (t ) =[0. 01+10(1-e
6
⨯105t ) ε(t )]A
答案12.10
解:用小信号分析法求解。 (1)直流工作点
U R 2
0=
R +R ⨯12V =4V
12
(2)动态电容
C d q d =d u
|u =U 0
=4⨯10-6F
(3)小信号电路如图(a )所示,利用三要素公式求∆u 。
∆u (0+) =0, ∆u p =1/3V
τ=RC 12⨯6
d =
12+6
⨯103⨯4⨯10-6=0. 016s ∆u =∆u t /τ1
p +[∆u (0+) -∆u p (0+)]e -=3
(1-e -62. 5t ) ε(t ) V
电路完全解答为
u =U +∆u =4+1
03
(1-e -62. 5t ) ε(t ) V
答案12.11
解:用小信号分析法求解。
(1) 计算直流工作点。直流电流源单独作用时,电容视为开路,如图(b)所示。
列KVL 方程得:
10(I 0-I S ) +0. 5U 0+U 0=0 (1) 其中I 0=10-3
U 20
,代入式(1)得:
U 20+150U 0-1000=0 解得:
U ⎧6.39V
0=⎨
⎩-156. 39V (舍去) (2) 动态电导
G d i
d =
d u
|u =U 0
=2⨯10-3⨯6. 39=1. 278⨯10-2S (2) 用复频域分析法计算阶跃响应。复频域电路模型如图(c)所示。+0. 1/∆U (s ) -
(c)
对图(c)列节点电压方程得:
(sC +G +1
d 10
) ∆U (s ) =[0. 1/s -0. 5∆U (s )]/10
解得
∆U (s ) =
1000
A 1A 2s (s +1. 63⨯104) =s +
s +1. 63⨯104
其中
A 1=-A 2=0. 0614
∆u (t ) =0. 0614(1-e -1. 63⨯104
t ) ε(t ) V (3)
式(2)与(3)相加得: u =[6. 39+0. 0614(1-e -1. 63⨯104
t ) ε(t )]V
答案12.12
解:用小信号分析法求解。
(1) 计算直流工作点。在i S 的直流分量作用时,电感视为短路,电
容视为开路,如图(b)。
I I 2
R d
(b)
(c)
图题12.12
1⨯(I L -2) +U R =0
将U =I 2
R R 代入上式得
I 2
L 0+I L -2=0
解得:
I =⎧⎨
1A
L 0
(1) ⎩-2A (舍去)
I R =I L =1A , U C =U R =1V =[0. 0333+0. 0969e -7t cos (8. 246t +249. 88 )]ε(t)A
(2)
式(1)与(2)相加得:
(2) 小信号等效电路为二阶动态电路,可用复频域分析法计算阶跃响
应。复频域电路模型如图(c)所示。 图中动态参数分别为
d u R d =R =2Ω
d i R i R =I R 0
d q C d ==0. 125F
u =U d u C C C 0
,
d ψ
L d ==0. 1H
d i L i L =I L 0
,
i L (t ) =1A +[0. 0333+0. 0969e -7t cos (8. 246t +249. 88 )]ε(t)A
答案12.13
解: 电路状态变量为ψL 、u C 。分别列写KCL 和KVL 方程,经简单整理便得状态方程:
1α3⎧d u C
=(-i ) =-ψL L ⎪⎪d t C C
(1) ⎨
d ψ⎪L =u
C ⎪⎩d t
对图(c)列节点电压方程得:
110.1⎧
(1+) U (s ) -U (s ) =n1n2⎪⎪0.1s 0.1s s
⎨
1⎪-1U (s ) +(1+0.125s +) U n2(s ) =0n1
⎪0.1s 2⎩0.1s
解得:
80. 1s 2+0. 4s +8
U (s ) =U n1(s ) =3, , n2
s 3+14s 2+120s s +14s 2+120s
画状态轨迹方法一 将式(1)等号两端分别相除得
3
d u C a ψL
=-
d ψL Cu C
*
A 1A 2A 21s +4
∆I L (s ) =[U n1(s ) -U n2(s )]==++*
sL d s (s 2+14s +120) s s -p 2s -p
2
其中
利用分离变量法求解上述方程,主要步骤如下。
3
(Cu C ) d u C =(-αψL ) d ψL
112244C [u C -u C (0+)]=-α[ψL -ψL (0+)] 24
p 2=α+j β=-7+j 8. 426, A =1/30≈0. 0333,
24242Cu C +αψL =2Cu C (0+) +αψL (0+)
A 2=A 2∠θ≈0. 04845∠249. 88
反变换得:
-αt
基于上式即可画出电路的状态轨迹,如图(b)所示。根据
d ψL
=u C 可d t
知,当u C >0,ψL 增大;当u C
∆i L (t ) =[A 1+2A 2e
cos(βt +θ)]ε(t )
向右运动;在下半平面,动态轨迹向左运动。动态轨迹方向如图(b)所示。
答案12.14
解: 在直流工作点处,电容处于开路。所以,电路的工作点是非线性电阻的特性曲线与直线i =5A 的3个交点,即A 、B 、C 。
方法一: 根据工作点附近动态轨迹的方向。 由KCL 方程C d u d t
=I S -i 知 当i
S =5d t
>0, u 随时间t 增加而增加;当i >I S =5A 时,d u
d t
方法二:根据工作点处小信号等效电路的极点位置。 由图(b)可见,在A 、C 两个工作点处,动态电阻为正值,即R d =d u /d i >0,对应的小信号等效电路不存在位于复平面右半平面的极点,因此,工作点是稳定的。而工作点B 处的动态电阻为负值,对应的小信号等效电路存在位于复平面右半平面的极点,因此是不稳定的。
答案12.15
解 方法一: 根据工作点附近动态轨迹的方向来判断。
由KCL 方程C d u U d t =U S -u
R -i 知,当i
时,即动态点位于斜线下方,d u
>0, u 随时间t 增加而增加;当i >U S -u d t
R 时,即动态点位于斜
线上方,
d u
d t
方法二:根据工作点处小信号等效电路的极点位置来判断。由图(b)可见
在P1、P3两个工作点处,动态电阻为正值,即R d =d u /d i >0,对应的小信号等效电路不存在位于复平面右半平面的极点,因此,工作点是稳定的。而工作点P2处的动态电阻R d 为负值,由工作点处的斜率可知
R d
RR d
R +R
电路存在位于复平面右半平面的极点,因而是不稳定的。
答案12.16
解:由i =-C
du dt 得,当i >0,
du
dt
d t
>0,电压u 只能上升,即在下半平面,动态点向右运动。动态轨迹如图(b)所示。
当动态点由初始位置P 0到达P 1时,由于动态轨迹方向均指向该点,不可能按P 1-P 4运动,所以跳变到P 2点。从P 2点,沿路径P 2-P 3运动到达P 3点。在P 3点,动态轨迹方向也是均指向该点,不可能按P 3-P 1运动,所以跳变到P 4点,由P 4再到P 1点如此循环,循环振荡路径为
P 1
-P 2-P 3-P 4。