高中对数函数公式
指数函数和对数函数
重点、难点：
1、指数函数： 定义：函数y =a
x
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
x
y =a ，y =log a x 在a >1及0
(a >0且a ≠1)叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y =a x 中的a 必须a >0且a ≠1。 因为若a
x
14
时，函数值
不存在。
a =0，y =0，当x ≤0，函数值不存在。
x
a =1时，y =1x 对一切x 虽有意义，函数值恒为
x
1，但y =1x 的反函数不存在， 因为要求函数
y =a
中的a >0且a ≠1。
x
⎛1⎫x x
1、对三个指数函数y =2，y = ⎪，y =10
⎝2⎭
的图象的认识。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
x x
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y =2和y =10相交于(0，1) ，
当x >0时，y =10x 的图象在y =2x 的图象的上方，当x 22及10
-2
-2
。
x
⎛1⎫
②y =2与y = ⎪的图象关于y 轴对称。
⎝2⎭
x
⎛1⎫
③通过y =2x ，y =10x ，y = ⎪三个函数图象，可以画出任意一个函数y =a x
⎝2⎭
x
x
x
（a >0且a ≠1）的示意图，如y =3x 的图象，一定位于y =2x 和y =10x 两个图象的中
⎛1⎫⎛1⎫
间，且过点(0，1) ，从而y = ⎪也由关于y 轴的对称性，可得y = ⎪的示意图，即
⎝3⎭⎝3⎭
通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果a b =N (a >0且a ≠1) ，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b =log a N 由于N =a b >0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： ⎛52⎫
求log 0. 32 ⎪
4⎝⎭
⎛52⎫
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log 0. 32 ⎪=x ，
⎝4⎭
（a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。）
再改写为指数式就比较好办。
⎛52⎫
解：设log 0. 32 ⎪=x
4⎝⎭
则0. 32
x
=
x
524
-12
⎛8⎫
即 ⎪⎝25⎭∴x =-
⎛8⎫= ⎪⎝25⎭
12
⎛52⎫1
即log 0. 32 ⎪=-
2⎝4⎭
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，（2）对数恒等式： 由a =N
b
因此必须因题而异。如求3x =5中的x ，化为对数式x =log 35即成。
(1)
b =log a N
log a N
(2)
将（2）代入（1）得a =N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对
数的底数相同。
3、对数函数：
定义：指数函数y =a x (a >0且a ≠1) 的反函数1、对三个对数函数y =log 2x ，y =log 1x ，
2
计算：
(3)
-log 12
3
3
-
12
log 12
解：原式=3
⎛1⎫
= ⎪⎝3⎭
log 1
3
2=2
。
（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①log a (M N )=log a M +log a N ②log a
M N
n
(M ，N
∈R
+
∈R
+
+
)
=log a M -log a N
(M ，N )
③log a (N ④log a
n
)=n log
1n
a
N
(N (N
∈R ∈R
) )
N =
log a N
+
y =log a x x ∈(0, +∞) 叫做对数函数。
y =lg x 的图象的认识。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y =log 2x 与y =lg x 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y =log 2x 的图象在y =lg x 的图象上方；而0
y =log 2x 的图象在y =lg x 的图象的下方，故有：log 21. 5>lg 1. 5；log 20. 1
（2）y =log 2x 的图象与y =log 1x 的图象关于x 轴对称。
2
（3）通过y =log 2x ，y =lg x ，y =log 1x 三个函数图象，可以作出任意一个对数
2
函数的示意图，如作y =log 3x 的图象，它一定位于y =log 2x 和y =lg x 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y =lg x 的上方，而位于y =log 2x 的下方，0
3
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式：
log a N
log b N =
log a b
L n N =log e N (其中e =2. 71828…) 称为N 的自然对数 L g N =log 10N 称为常数对数
由换底公式可得：
lg N lg N
L n N ===2. 303lg N
lg e 0. 4343由换底公式推出一些常用的结论： （1）log a b =（2）log a b
n
1log b a =m n m n
或log a b ·log b a =1
m
log a b
（3）log a n b =log a b （4）log a a
n
n
m
=
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属
于超越方程。