国庆节假期作业

鲁山一高老校区国庆节数学假期作业

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设复数z的共轭复数为z，若z1i（i为虚数单位）则

A.3i 2．如图给出的是计算1

（ ）

A．i2011 C．i1005

B.2i

z

z2的值为 z

C.i D.i

111

的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

352011

B．i2011 D．i1005

yx

3．设变量x，y满足：x3y4,则z=|x-3y|的最大值为

x2

（ ）

A．8

B．3 C．

13 4

D．

92

4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S39,S636, 则a7a8a9（ ）

A. 63 B. 45 C. 36

5．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为

2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边

D. 27

A长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积 为（ ）

正（主）视图

A．22 B．4 C． D．23 6. 下列命题中是假命题的是

A.mR，使f(x)(m1)x

m24m3

是幂函数

B. R，函数f(x)sin(x)都不是偶函数 C.,R，使cos()coscos D. a0，函数f(x)lnxlnxa有零点

2

x2y222

7．已知双曲线221(a0,b0)的渐近线均和圆C:xy6x50相切，且双

ab

曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

7225165445

3x

8. （文）已知函数f(x)x(xR)，则

31

f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)（ ）

A．0

B．1

C．

9 2

D．

2 9

（理） 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色的一种，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 ( )

A．55 B．54 C．46 D．45 9．已知

ABC

ACABC，则ABC的周长等于（ ） 3

B

． C

．2 D

A

．310．如果函数f(x)cos(2x)的图象关于点(

4

,0)成中心对称，且，则函数322

yf(x)为

3

A．奇函数且在(0,C．偶函数且在(0,





4

)上单调递增 )上单调递减

B．偶函数且在(0,D．奇函数且在(0,



2

)上单调递增 )上单调递减

3，3



2



4

11．在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是

若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A．86

B．6

C．24

D．6

log(x1),x[0,1)1

212．定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)，则关于x的函数1|x3|,x[1,)

F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为（ ）

A．21 B．12 C．21 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

a

a

a

a

2x2,x0

13．（文）已知函数f(x)，则f[f(10)]的值为 。

lg(x),x0

（理）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为

2

，则该学生在3

面试时得分的期望值为 分．

1

14. 若平面向量α，满足|α|＝1，||≤1，且以向量α，为邻边的平行四边形的面积为 2，则

α与的夹角θ的取值范围是________

2

15．已知F是抛物线C：y4x的焦点，过F

C于A，

B两点．设

,若FAFB，则λ的值为．

16. 已知集合A{a1,a2,a3,,an}，记和aiaj(1ijn)中所有不同值的个数为M(A)．如

当A{1,2,3,4}时，由123，134，14235，246，347，得

M(A)5．对于集合B{b1,b2,b3,,bn}，若实数b1,b2,b3,,bn成等差数列，则

M(B)= ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（小题满分12分）己知函数f(x)2sin(2x（1）求函数f(x)的最小正周期。

（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，f()1、b=1、

，求a的值． 18．（本小题满分12分）如右图所示，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．

（1）求PA与底面ABCD所成角的大小； （2）求证：PA⊥平面CDM； （3）（文）求三棱锥B-ACP的体积。

（理）求二面角D—MC—B的余弦值．



6

)2sin2x.

B2

19．（本小题满分12分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到

频率分布表如下表所示。

（1）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；

（2）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？ （3）（文）在（2）的前提下，在样本中，从成绩在[175,185)的6名学生中任选2人接受“王教授”的面试，求至少有1人成绩在[180,185)的概率。

（理）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为，求的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知直线x＋y＝1与椭圆C：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0，且a≠b）相交于A、B两点， ｜AB

｜＝

，点M为线段AB的中点，且直线OM的斜率为4． 5

（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于P、Q两点，PQ的中垂线与两坐标轴围成

9

的三角形面积为，求实数k的取值范围.

40

21. 设函数f(x)(1x)22ln(1x)

（1）若关于x的不等式f(x)m0在[0,e1]有实数解，求实数m的取值范围； （2）设g(x)f(x)x21，若关于x的方程g(x)p至少有一个解，求p 的最小值.

111

（3）证明不等式：ln(n1)1 (nN*)

23n

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲

如图，ABC为直角三角形，ABC90，以AB为直径的圆交AC于点E，点D是BC边的中点，连OD交圆O于点M.

⑴ 求证：O,B,D,E四点共圆；

⑵ 求证：2DE2DMACDMAB.

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程



3

x1t5在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数）.若以坐标原点O为极点，

4

y1t

5



x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为2sin().

4

(1) 求曲线C的直角坐标方程;

(2) 求直线l被曲线C所截得的弦长.

24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数f(x)|x1||x2| ⑴ 画出函数yf(x)的图象；

⑵ 若不等式|ab||ab||a|f(x)(a0,a,bR)恒成立，求实数x的范围.

鲁山一高老校区国庆节假期作业（数学）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1.D 2.A 3.A 4. B 5.D 6.B

7. C 8. （文）C（理）A 9.A 10.D 11.D 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11π5π13. （文） （理）15 14. 66 15.  16. 2n3

32三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)

(1)

f(x)2sin(2x)2sin2x

6



2(sin2xcos



cos2xsin)(1

cos2x)66



1cos2x

11

2xcos2x)cos2x2x1cos(2x)1，

223

所以函数f(x)的最小正周期为. ……6分 （2）由f()1，得cos(B

)11,即cos(B)0.

334

又因为0B，所以B.所以B，即B. ……8分

333326

因为b1,c又0C当C

B

2



bc

，得sinC. ……9分 

2sinBsinC

52

故C或. ……10分 633



322当C时，A，又B，从而ab1. ……11分

366

故a的值为1或2. ……12分

18. (本小题满分12分)

解法一：（1）取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC．

又∵平面PDC底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA 是PA在底面上的射影．∴PAO就是PA与底面所成角．

∵ADC600，由已知PCD和

ACD是全等的正三角形，从而求得

时，A



，从而a2；

OAOPPAO450．∴PA与底面ABCD所成角的大小为450……4分

（2）取AP的中点N，连接MN，

由（1）知，在菱形ABCD中，由于ADC600，则AOCD，又POCD， 则CD平面APO,即CDPA,又在PAB中，中位线MN//

11

AB,CO//AB，则22

MN//CO，则四边形OCMN为平行四边形，所以MC//ON，在APO中，AOPO，

则ONAP，故APMC,而MCICDC，

则PA平面CDM ……8分 （3）（文）VB-ACP= VP-ABC=

1

3

s△ABC.A0=1

PB

（理）由（2）知MC平面PAB，则NMB为二面角DMCB的平面角， 在RtPAB

中，易得PA

cosPBA

AB

,cosNMBcos(PBA)

PB55. ……12分5

故，所求二面角的余弦值为

解法二：(1)同解法一. ……4分 (2)由底面ABCD为菱形且ADC600，DC2,DO

1有OADC． 建立空间直角坐标系如图，则A,

P,D(0,1,0),B2,0),C(0,1,0)．由M为

． 22

uuuruuuuruur

,DC(0,2,0)∴DM2,PA，

PB中点，∴M

uuruuuuruuruuur∴PAgDM200 PAgDC0∴PADM，PADC． ∴PA平面DMC．

……8分

ruuuruur

0).令平面BMC的法向量n(x,y，z)， (3) CM,CB，

ruuurruur

CM0，从而xz0； ……①, ngCB0y0． ……② 则ng

r

． 由①、②，取x1，则yz1． ∴可取n(

uur

，

由(2)知平面CDM

的法向量可取PAruur

ruurngPA∴cosngPA．所求二面角的余弦值为.…12分

55

|n||PA|

19. (本小题满分12分)

（1）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率为0.3，

即①处的数字为0.3； 总的频数为100，因此第4组的频数为20，即频率

②处数字为20 -----2分

频率分布直方图如下：

------4分 （2）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，因此第

30

3组抽取的人数为：12=6人，第4组抽取的人

60

20

数为：12=4人，第5组抽取的人数为：

60

10

12=2人. ……7分 60

公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同

的. ………………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分） （3）（文）样本中，成绩在[175,180)中有4人记为a、b、c、d，

成绩在[180,185)中有2人记为e、f. 记至少有1人成绩在[180,185)为事件A, 基本事件 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d), (e,a) (e,b) (e,c) (e,d)（f,a）（f,b）（f,c）

（f,d）（e, f）共15个，其中事件A包含的基本事件有9个，所以

P(A)=

93

= 155

1

C8314C82C428

P(1)3（理）的可能取值为0、1、2、3. P(0)3

C1255 C1255

123

C8C412C41

P(2)3 P(3)3

C1255C1255

的分布列为：

1428121

1231 ……12分 55555555

20． 解：（1）由xy1得y1x，代入ax2by21，得abx22bxb10． E0

xAxB

2bb1

． ,xAxB

ab

∵AB……………① 5b1

4…………………………………………②……………………4分 又kOM4，则

bab

由①②解得a4,b1．

所以椭圆C的方程是4xy1．…………………………………………………………6分 （2）设直线l的方程为ykxm．ykxm代入4xy1并化简得

2

2

2

2

4kx

2

2

2kmxm210．

2

2

∵直线l交椭圆C于P、Q两点，∴0．即4km44k

2

2



2

(m

2

1)0．

化简得4m4k0……………③………………………………………………………7分

2km

． 4k2

4mkm,线段PQ中点坐标为． 224k4k4m1km

线段PQ的中垂线方程为y． x224kk4k

3m3km

令y0，得x．令，的． yx0

4k24k2

13km3m9km2

则PQ中垂线与两坐标轴围成三角形的面积为． 222224k4k24kxPxQ

依题意知

9km224k2

2

2



9

．……………………………………………………………9分 40

2

可变形为m

4k2

20k2

将④代入③，得k5k40． 解得1k4．

……………④

故实数k的取值范围是(1,4)．……………………………………………12分

21. 解：（1）依题意得f(x)maxm,x?[0,e1] f(x)2(1x)22xx2，而函数f(x)的定义域为(1,) 1xx1

∴f(x)在(1,0)上为减函数，在(0,)上为增函数，

则f(x)在[0,e1]上为增函数f(x)maxf(e1)e22

即实数m的取值范围为me22 ----4分

（2）g(x)f(x)x212x2ln(1x)2[xln(1x)]

则g(x)2(112x显然，函数g(x)在(1,0)上为减函数，在(0,)上为)1x1x

增函数则函数g(x)的最小值为g(0)0

所以，要使方程g(x)p至少有一个解，则p0，即p的最小值为0 ----8分

（3）由（2）可知： g(x)2[xln(1x)]0在(1,)上恒成立

所以 ln1(x)x，当且仅当x=0时等号成立 令x1

n11n11则x(0,1) 代入上面不等式得：ln(1)即ln 即 (nN*)，，nnnn

1111…，ln(n1)lnn所以，ln3ln2，ln4ln3，ln(n1)lnn ln2ln11，n23n

111 将以上n个等式相加即可得到：ln(n1)1 23n

22. 解：（1）连接BE，则BEEC ----------------1分 又D是BC的中点，所以DEBD ----------------3分

又OEOB,ODOD，所以ODEODB，所以OBDOED90

故D,E,O,B四点共圆. -------------5分(2) 延长DO交圆于点H，DE2DMDHDM(DOOH)DMDODMOH

------------8分

11DE2DM(AC)DM(AB)，即2DE2DMACDMAB--------10 22

23. 解：(1) 由4

2两边同乘以得：cossin -------------3分

11122∴xyxy0 即 (x)2(y)2 -----------5分 222

2（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t21t200 ------------6分

21 t1t2,t1t24 ------------8分 5

41 ------------10分 |MN|t1t2(t1t2)24t1t25

2sin()得：cossin

2x3 (x2)24．解：(1)f(x)1 (1x2)

32x (x1)

(2) 由ababaf(x) 得---------5分

|ab||ab|f(x) |a||ab||ab||abab|又因为--------8分 2 则有2f(x)|a||a| 15解不等式2xx2， 得x--------10分 22