三角函数值域求法教案

几种常见的三角函数的值域求法

授课教师：xxx 授课班级：高一xx 班 授课时间：2014.12.22

一、教学目标

1、了解正弦函数，余弦函数，正切函数的图象和性质，熟练掌握三角函数值域求法。

2、通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想；通过对几种常见题型的总结，培养学生归纳总结的意识，养成良好的学习习惯。

二、重点难点

通过三角变换、代数变换求三角函数的值域。

三、典例互动探究

（1）配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的值域问题来处理。 例1 函数y =-sin 2x -3cos x +3的最小值为（ ）。

A ．2 B ．0 C ．-1 D ．6 4

[分析]本题可通过公式sin 2x =1-cos 2x 将函数表达式化为y =cos 2x -3cos x +2，因含有cos x 的二次式，可换元，令cos x =t ，则

⎛3⎫1-1≤t ≤1, y =t 2-3t +2, 配方，得y = t -⎪-, -1≤t ≤1, ∴当t=1时, 即⎝2⎭4

cos x =1时，y min =0, 选B 。 2

练习1求函数y =cos 2x +sin x +1（x ∈R ）的值域。

解：y =1-sin 2x x +1=-(sinx ∴sin x =211+

411y max =；sin x =-

1，y min =1

411∴函数的值域为[1]。 4

（2） 利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数值域的最基本方法。

sin x -1的值域。 2-sin x

a sin x +b [分析] 此为y =型的三角函数求值域问题，分子、分母的三角函数c sin x -d

同名、同角，这类三角函数一般先分离参数，再利用三角函数的有界性去解。或 例2求函数y =者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 sin x -2+11=-1+解法一：y = 2-sin x 2-sin x

11-1≤sin x ≤1⇒1≤2-sin x ≤3⇒≤≤132-sin x 22∴y ∈[-,0],则此函数的值域是[-,0]。33

sin x -1解法二：由y =变形为(y +1)sin x =2y +1，y ≠-1，2-sin x

则有sin x =2y +12y +1，sin x ≤1∴≤1 y +1y +1

22≤y ≤0，则此函数的值域是[-, 0]。 33∴(2y +1) 2≤(y +1) 2⇒-

2cos x +1的值域。 2cos x -1

211, -1≤cos x

∴-3≤2cos x -1

221∴∈(-∞, -][2,+∞）⇒y ≥3或y ≤ 2cos x -133

1则此函数的值域为(-∞, ][3,+∞） 3

1y +1y +1解法二：原函数变形为cos x =, cos x ≤1, ∴≤1, ∴y ≥3或y ≤. 32y -12y -11y +11=无解 当cos x =时，方程22(y -1) 2

1则此函数的值域为(-∞, ][3,+∞） 3

练习2求函数y =

（3）利用函数在区间内的单调性

例3 已知x ∈(0, π)，求函数y =sin x +

[分析] 此题为sin x +

性来求解。

2解：设sin x =t , (0

2已证y =t +在(0,1]上为减函数，当t=1时，y min =3，无最大值， t 2的值域。 sin x a 型三角函数求值域问题，可以转化为由函数单调sin x

∴函数的值域为[3,+∞) 。

练习3已知x ∈

(0,π) ，求函数y =

解：

0

的最大值。 +3sin x sin x 11当sin x =+3sin x ）y =min

max sin x 2=（4）分类讨论法

含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。

ππ例4已知函数f (x ) =2a sin(2x +) +b （a ≠0）的定义域是[0,]，值域是[-2,1]，26

求a , b 的值。 π解：令sin(2x +)=t 6πππ7ππ1x ∈[0,]∴2x +∈[, ],sin(2x +) ∈[-,1] 266662

1∴f (t ) =2at +b , t ∈[-,1] 2

⎧f (t ) max =2a +b =1⎧a =1当a >0时，

⇒⎨⎨b =-1f (t ) =-a +b =-2⎩⎩min ⎧f (t ) max =-a +b =1⎧a =-1当a

⎧a =1⎧a =-1

综上，⎨ 或⎨b =-1b =0⎩⎩

例5求函数f (x ) =cos 2x -2a sin x -a （a 为常数）的最大值g (a ) ；并求出当g (a ) =3时，对应的a 的值。 4

解：由题可知：f (x ) =1-sin 2x -2a sin x -a

令t =sin x , 则t ∈[-1,1] 得f (t ) =1-t 2-2at -a =-(t +a ) 2+a 2-a +1

(1)-a 1时，f (t ) max =f (-1) =a

(2)-1≤-a ≤1即-1≤a ≤1时，f (t ) max =f (-a ) =a 2-a +1

(3)-a >1即a

⎧a , a >1⎪∴g (a ) =⎨a 2-a +1, -1≤a ≤1

⎪-3a , a

下面计算a 的值：

331①a =

311③-3a =，得a =-，舍去. ∴a = 442

π53练习4是否存在实数a ，使得函数f (x ) =sin 2x +a cos x +a -在闭区间[0,]上282

的最大值是1？若存在，求出对应的a 的值；若不存在，试说明理由。 5351解：f (x ) =1-cos 2x +a cos x +a -=-cos 2x +a cos x +a - 8282

令t =cos x , 则t ∈[0,1]

51a 2a 251 f (t ) =-t +at +a -=-(t -) ++a -8224822

a 1即a >2时，f (t ) max =f (1)=a -28213320 由a -=1, 解得a =(舍) 8213

四、知识要点总结

求三角函数的值域问题可以通过适当的三角变换或代数换元，化为基本型的三角函数或代数函数，再利用三角函数的有界性或常用的求函数值域的方法去处理。

常见类型如下：

（1）y =a sin 2x +b sin x +c （或y =a cos 2x +b cos x +c ）型，可令t =sin x

|1≤，化归为闭区间上二次函数的值域问题。 （或t =cos x ），|t

（2）y =a sin x +b a cos x +b y =）型，解出sin x （或cos x ）利用|sin x |≤1c sin x +d c cos x +d

（或|cos x |≤1）去解；或用分离常数的方法去解决。

a a y =cos x +）型，可利用单调性求值域。 sin x cos x

（4）在解含参数的三角函数值域问题中，需对参数进行讨论。 （3）y =sin x +

五、课堂小结

归纳本节课中涉及到的基本方法和函数，加深学生的记忆。

六、作业

1、完成例题后面的练习题。

2、预习课本60-64页。