常用旋转体体积的简捷求法 (2)

第２８卷第９期

２００７年９月湖南科技学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＶｂｌ．２８ＮＯ．９

常用旋转体体积的简捷求法

刘新文

（湖南工业科技职工大学，湖南衡阳４２１００８）

摘要：本文弄‘用定积分系统研究求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套关于常用旋转体体积的简捷求法。

关键词：旋转体；体积；求法

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１８７３—２２１９（２００７）０９－０００９—０３

旋转体体积的求法是高等数学教学中的重点和难点，但令人遗憾的是，笔者在长期的数学教学过程中发现：不少教材只简单地列出了圆柱、圆锥、圆台和球体这些最常见的旋转体的体积公式，鲜有提及诸如椭球体、球缺、圆筒和抛物旋转体等稍为复杂的旋转体的体积公式，也没有系统地给出这些旋转体体积的一般求法，更不必说揭示它们之间的规律性。为了弥补高等数学教材在这方面的缺陷，充分满足广大学生强烈的求知欲望，帮助他们更好地学习高等数学，笔者在概括出旋转体统一定义的基础上，系统提出求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套常用旋转体体积的简捷求法。

１概念

旋转体就是由一个平面图形绕着一条与它同在一个平面内、且不通过该平面图形内部的定直线旋转一周所形成的封闭的几何体。这条定直线就叫做旋转体的轴，即旋转轴。常用的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、圆筒、椭球、球、球缺、球台、抛物旋转体等。

圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而形成的封闭的几何体。其他旋转体与此相似。

２定理

定理１．由连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ），直线ｘ－－ａ，ｘ＝ｂ（ａ＜ｂ）及ｘ轴所围成的曲边梯形绕ｘ轴旋转一周而形成的旋转体的体积为：Ｋ＝万Ｉ［，（工）】２ｄｘ

定理２．由连续曲线工＝钗ｙ），直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）及Ｙ轴所围成的曲边梯形绕Ｙ轴旋转一周而形成的旋转体的体积公式为：Ｖｙ＝石广【缈（ｙ）］２ｄｙ

定理３・由平面图形。匀鱼９，０ｓｙＳｆ（ｘ）绕ｙ轴旋转一周所形成的旋转体的体积公式为：ｕ＝２万广ｘｆ（ｘ）ｄｘ

定理４・由平面图形０９＜ｙｇ，ｏ＜ｘｓ烈），）绕ｘ轴旋转一周所形成的旋转体的体积公式为：ｙ，＝２万ｆｄ夕伊（），）咖

３常用旋转体的体积

下面我们利用上述定理来求常用的旋转体的体积。

【例１】计算由矩形Ｏｇ臼，０茎ｙ９绕ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积。

解：由定理１知，由矩形Ｏ（ｘ９，０＜ｙ９绕ｘ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为

ｑ＝ｌ、乃【，（ｘ）】２ｄｘ＝【，ｒｏｂ２ｄｘ＝翮易２

由定理２知，由矩形０＜ｘ９，０＜ｙ９绕Ｙ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为：

收稿日期：２００７－－０３－－２１

作者简介：刘新文（１９７０－－），湖南祁东人，湖南工学院讲师，研究方向为高等数学与数理统计。万方数据　９

ｘ２ｄ

Ｖｙ＝ｒ刀【妒（）＇）】２ｄｙ＝ｆ万０２＋＝万口２６

ｆ例２１计算由矩形ａ＜ｘ９，ｃ＜ｙｇ绕Ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的圆筒的体积。

解：由定理３知，由矩形ａｓｘ９，ｃ＜ｙｇ绕Ｘ轴旋转一周而形成的圆筒的体积为：

Ｋ：２万广Ｋ＝２万ｌ＝Ｉ一ａ）ｄｙ＝一，、２一ｃ２）２一ｃ２）

由定理４知，由矩形ａ＜ｘ９，ｃ＜ｙ列绕Ｙ轴旋转一周而形成的圆筒的体积为：

ｖ，：Ｋ＝ｌ广ｘｆ（ｘ）ｄｘ：２ｘ＝２ｘｌｆ，ｘ（ｄ一一ｃ）ｄｘ＝ｃ）ｄｘ＝ｘ（ｂ２一２一一ｉａ２一ｃ）

【例３】计算由直线ｙ＝ｋｘ（ｘ＝三ｙ）、真线ｘ＝０即Ｙ轴（直线ｙ＝Ｏ即ｘ轴）及直线ｘ＝ｂ（直线ｙ－－－ｄ）所围成的直角三角形绕ｘ

ｋ

轴（Ｙ轴）旋转一周构成的圆锥体的体积。

解：由定理１知，由直线ｙ＝ｋｘ、直线ｘ＝０及直线ｘ＝ｂ所围成的直角三角形绕ｘ轴旋转一周构成的圆锥体的体积为：

Ｖｘ＝／ｒｒ［ｆ（硼２出＝万ｒ（研出＝圭躺３＝等

若令ｈ＝ｂ，仁ｋｂ，则为通常意义上的高为ｈ，底面圆半径为ｒ的圆锥体的体积公式：Ｖ＝三一ｈ

由定理２知，由直线ｘ＝÷Ｙ、直线ｙ＝Ｏ及ｙ－－ｄ所围成的直角三角形绕ｙ＝轴旋转一周构成的圆锥体的体积为：ｖ＝万ｒ【认）Ｉ）】２毋＝石ｒ（》）２咖＝ｊ１石（寺２ｄ

若令ｈ＝ｄ，仁孚，则是常见的高为ｈ，底面圆半径为ｒ的圆锥体的体积公式为：Ｖ＝去一ｈ

【例４】设圆台的上、下底面圆的半径分别是ｒ１、ｒ２，面积为ｓｌ、Ｓ２，高为ｈ，求该圆台的体积Ｖ（其中‘２ｊ１２＝ｏ）。

解：以下底面圆的圆心０２为原点０，以两底面圆心Ｏ１０２所在的直线为Ｙ轴ｉＥ；ａ扁Ｊ，过原心０在下底面圆０２内做Ｘ轴交圆０２于Ａ点，建立直角坐标系。过上底面圆的圆心ＯＩ做直线ＯｌＢ交圆Ｏ于Ｂ点，连接线段ＡＢ，易知ｏｌ、０２、Ａ、Ｂ四点的坐标分别为Ｏｌ（ｏ，ｈ）、０２（ｏ，ｏ）、Ａ（ｆ２，ｏ）、Ｂ（ｎ，ｈ），线段ＡＢ所在的直线方程为ｙ＝—堡一（ｘ．ｘ２），即ｘ＝！Ｌ≥ｙ＋，ｉ一您ｈｒ２。该圆台可以看作是直角梯形ＯｊＯ：ＡＢ绕Ｙ轴旋转一周而成的旋转体，那么由定理２知，该圆台的体积为：

ｙ＝石ｒ［缈（ｙ）】２匆＝万ｒ（ｉ≯），＋吃）２咖＝万ｒ【（ｉ≯）２ｙ２＿｝－—２（—ｒｔ－广ｒ２）ｒ２），＋孑】由＝研三华肌与孝肌相＝ｊ１砒２％哟，ｚ

ｙ．Ｉ因Ｙ，ｓ该圆台上、下底面圆的面积分别为Ｓ．＝万，；２，Ｓ，＝厅芬，所以该圆的体积也可表示为：ｙ：丢万（，ｉ：＋１吒＋４＞ｈ：ｌ（ｘｒｔ：＋√；彳夏孺）｜ｌｌ：ｉ１（＿＋√而）．Ｉｌ５Ｊ３

若令ｒｌ＝ｒ２－－－－－１＂，则该圆台的体积公式变为圆柱的体积公式Ｖ－－ｏｈ

若令ｒｌ：０，ｒ２＝ｒ，则圆台的体积公式变为圆锥的体积公式Ｖ＝１３兀Ｔ２ｈ

【例５】计算由椭圆丢＋冬＝１所围成的图形绕Ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的旋转椭球体的体积。

ａ。扫。

解：（１）这个椭球体如果看作是由半个椭圆ｙ＝旦√７。了及Ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的几何体，那么由定理１可求得该椭球体的体积为：

ｙ＝万￡【，（枷２出＝万￡（鱼ａ也Ｆ了）２出＝万笔ａ（以２石一三３工３）ｌ：。＝吾肋易２‘ｎｐｄ‘ｊ

（２）这个椭球体如果看作是由半个椭圆ｘ＝旦√６ｂ’ｚ—ｙ：及Ｙ轴所围成的平面图形绕Ｙ轴旋转而成的几何体，那么由定理２

知可求得该椭球体的体积为：Ｖ＝对幺吣）ｒｄｙ＿虬ｂ（詈厢）＇ｄｙ＝，ｃ蔷（ｂ２ｙ－｛ｙ３）Ｉｂ＿。＝詈躺若令ａ＝ｂ＝ｒ，则该旋转椭球体就变成半径为ｒ的球体，其体积为：Ｖ＝詈万ｒ３

万　方数据

【例６】设半径为Ｒ的球被距球心分别为ａ，ｂ（ｏ＜ａ＜ｂ）的两平行平面所截，求由所截得的球带与上、下底面围成的球台的体积。

解：（１）若两平行截面位于球心异侧，由定理２易知球台的体积为：

Ｖ＝万￡【烈ｙ）】２ｄｙ＝石＊ａ（Ｒ２＿ｙ２）ｄｙ＝石（以＋ｂ）Ｒ２－百１万（ａ３＋易３）

（２）若两平行截面位于球心同侧，由定理２易知球台的体积为：

Ｋ＝万ｒ【认ｙ）】２ａｙ＝万Ｊ：，（Ｒ２＿ｙ２）ｄｙ＝石（易一日）Ｒ２－３万（ｂ３－ａ３）

若令ａ＝Ｒ．Ｈ，ｂ：Ｒ，则得到一个半径为Ｒ的球被一个平面所截、截得高为Ｈ的球缺的体积公式为：ｙ＝朋２（尺一三Ⅳ）

【例７】计算由抛物线ｙ２＝２Ｐｘ（眶ｘｓｈ）绕Ｘ轴旋转一周所得到的抛物旋转体的体积（其中Ｐ＞Ｏ，ｈ＞０）

解：由定理１易知该抛物旋转体的体积为：

ｙ＝ｒ砸ｍ）】２ｄｘ＝ｒｘ（２Ｐｘ）ｄｘ＝ｘＰｈ２

注：抛物ｙ２＝．２Ｐｘ（．ｈ＜ｘ如）绕Ｘ轴、ｘ２＝２Ｐｙ（－ｈＳ

体的体积都是：Ｖ：ｘＰｈ２ｙｓ０）绕Ｙ轴、ｘ２＝－２Ｐｙ（－ｈｓｙ１０）绕Ｙ轴旋转一周所得到的抛物旋转

参考文献：

【ｌ】刘巍．高等数学ＩＭ］．北京：北京理工大学出版社，２００６。

【２】陈纪修．数学分析【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００４．

【３】同济大学数学教研室．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９６．

（责任编校：何俊华）

Ｔｈｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｄｉｒｅｃｔｆｉｎｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｎｔｈｅｃｕｂａｔｕｒｅｏｆ

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常用旋转体体积的简捷求法

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被引用次数：刘新文， LIU Xin-wen湖南工业科技职工大学,湖南,衡阳,421008湖南科技学院学报JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND ENGINEERING2007，28(9)0次

参考文献(3条)

1. 同济大学数学教研室 高等数学 1996

2. 陈纪修 数学分析 2004

3. 刘巍 高等数学 2006

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