第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解
§3-1线性连续定常齐次方程求解
一、齐次方程和状态转移矩阵的定义
1、齐次方程
状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况(即没有输入作用的状况),设系统的状态方程的齐次部分为:
线性定常连续系统:
(t ) =Ax (t ) x
=Ax x
初始条件:x t =0=x 0
2、状态转移矩阵的定义
=Ax 有两种常见解法:齐次状态方程x (1)幂级数法;(2)拉氏变换法。其解为
x (t ) =e At ⋅x (0) 。其中e At 称为状态转移矩阵(或矩阵指数函数、矩阵指数),记为:
φ(t ) =e At 。
A (t -t 0)
Φ(t -t ) =e 若初始条件为x (t 0) ,则状态转移矩阵记为: 0
对于线性时变系统,状态转移矩阵写为φ(t , t 0) ,它是时刻t ,t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。
(1)幂级数法——直接求解
=Ax 的解是t 的向量幂级数 设x
x (t ) =b 0+b 1t +b 2t 2+ +b k t k +
式中b 0,b 1,b 2, ,b k , 都是n 维向量,是待定系数。则当t =0时,
x t =0=x 0=b 0
(t ) 为了求其余各系数,将x (t ) 求导,并代入x
=Ax (t ) ,得:
(t ) =b 1+2b 2t +3b 3t 2+ +kb k t k -1+ x
=A (b 0+b 1t +b 2t 2+ +b k t k + )
3-1
上式对于所有的t 都成立,故而有:
⎧⎪b 1=Ab ⎪b 1012⎪2=⎪2Ab 1=2A b 0
⎨⎪b 113
3=3Ab 2=
3! A b 0
⎪
⎪⎪⎩
b =1! A K K k b 0且有:b 0=x 0
故以上系数完全确定,所以有:
x (t ) =b 0+b 1t +b 2t 2+ +b k t k +
=b 1A 2b 2k
0+Ab 0t +
2! + +1
0t k !
A k b 0t + =(I +At +1
2! A 2t 2+ +1k !
A k t k
+ ) x (0)
定义(矩阵指数或矩阵函数):
e At
=I +At +1221k k ∞1k k
2! A t + +k ! A t + =∑k !
A t
K =0At
则
x (t ) =e ⋅x (0) 。
(2)拉氏变换解法
将x
=Ax 两端取拉氏变换,有
sX (s ) -X (0) =AX (s ) (sI -A ) X (s ) =X (0)
X (s ) =(sI -A ) -1⋅X (0)
拉氏反变换,有
x (t ) =L -1[(sI -A ) -1
]⋅x (0)
3-2
则由微分方程解的唯一性可知:
φ(t ) =e =L [(sI -A ) ]
At -1-1
⎡01⎤ =⎢【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x ⎥x ,初始条件为x (0) ,试求状态转移矩阵
00⎣⎦
和状态方程的解。
解:(1)求状态转移矩阵 φ(t ) =e 此题中: A =⎢所以
At
=I +At +
1221
A t + +A k t k + 2! k !
⎡01⎤⎡00⎤23n
, A =A = =A =⎢⎥⎥⎣00⎦⎣00⎦
⎡10⎤⎡0t ⎤⎡1t ⎤
⎥+⎢00⎥=⎢01⎥ 01⎣⎦⎣⎦⎣⎦
φ(t ) =e At =I +At =⎢
(2)状态方程的解 x (t ) =e
At
⎡1t ⎤
⋅x (0) =⎢⋅x (0) ⎥
⎣01⎦
1⎤⎡0
【例3.1.2】 已知系统状态方程为x =⎢⎥x ,初始条件为x (0) ,试求状态方程的
-2-3⎣⎦
解。
解:
x (t ) =e ⋅x (0)
1⎤⎡s -1⎤⎡s 0⎤⎡0
-⎢=⎢⎥⎥⎥
⎣0s ⎦⎣-2-3⎦⎣2s +3⎦
11⎤-
s +1s +2⎥ -12⎥
⎥+
s +1s +2⎦
At
sI -A =⎢
1⎡2-⎡s +31⎤⎢s +1s +21-1
(sI -A ) ==⎢⎢⎥-2s (s +1)(s +2) ⎣⎦⎢-2+2
⎣s +1s +2
∴φ(t ) =e
At
⎡2e -t -e -2t
=L [(sI -A ) ]=⎢-t -2t
⎣-2e +2e
-1
-1e -t -e -2t ⎤
-t -2t ⎥-e +2e ⎦
3-3
故而
-2t x (t ) =e At ⋅x (0) =⎡⎢2e -t -e -2t
e -t -e ⎤
⎣
-2e -t +2e -2t
-e -t +2e -2t ⎥⎦
x (0) 二、状态转移矩阵e At 的性质
At
1 φ(t ) =e =I +At +2! A 2t 2+ +1k !
A k t k
+ (1)φ(0) =I
(2)
φ
(t ) =A φ(t ) =φ(t ) A φ
(0) =A (3)
φ(t 1±t 2) =φ(t 1) φ(±t 2) =φ(±t 2) φ(t 1)
证明:φ(t =e A (t 1±t 2) 1±t 2)
=e A (t 1) ⋅e A (±t 2) =φ(t 1) φ(±t 2) =φ(±t 2) φ(t 1)
(4)φ-1(t ) =φ(-t ) ,
φ-1
(-t ) =φ(t ) 证明:φ(0) =φ(t -t ) =φ(t ) φ(-t ) =I ⇒φ-1(t ) =φ(-t )
(5)
x (t ) =φ(t -t 0) x (t 0)
证明:
x (t ) =φ(t ) x (0)
x (t =φ(t -10)
0) x (0) ⇒x (0) =φ(t 0) ⋅x (t 0) ,代入上式 ∴
x (t ) =φ(t ) φ-1
(t 0) ⋅x (t 0) =φ(t -t 0) x (t 0) 证毕。
(6)
φ(t 2-t 0) =φ(t 2-t 1) φ(t 1-t 0)
证明:x (t 2) =φ(t 2-t 0) x (t 0) ………………………. …………………(1) x (t 1) =φ(t 1-t 0) x (t 0) ……………………………………………(2) x (t 2) =φ(t 2-t 1) x (t 1) =φ(t 2-t 1) φ(t 1-t 0) x (t 0) …………….(3) 比较(1)、(3)式,有φ(t 2-t 0) =φ(t 2-t 1) φ(t 1-t 0) 成立。证毕。
3-4
(7)
[φ(t ) ]
k
=φ(kt )
=[e At ]k =e kAt =e A (kt ) =φ(kt )
k
[]φ(t ) 证明:
(A +B ) t At Bt Bt At
e =e ⋅e =e ⋅e AB =BA (8)若,则
(A +B ) t
≠e At ⋅e Bt ≠e Bt ⋅e At 若AB ≠BA ,则e
(9)设φ(t ) 为为:
=Ax 的状态转移矩阵,引入非奇异变换x =P 后的状态转移矩阵x
=P -1e At P
-1
-1
(t )
=Ax 中,有 证明:将x =P 代入x
=P (t ) =e P e
P -1APt
APt
1-11
(P AP ) 2t 2+ +(P -1AP ) k t k + 2! k !
1-11-1-1-122k k
=P P +P APt +(P AP ) t + +(P AP ) t +
2! k ! 1221k k -1
=P (I +At +A t + +A t + ) P
2! k !
=I +P -1APt +
=P e P ∴(t ) =P e P 。证毕。
(10)两种常见的状态转移矩阵 ①设
-1At -1
At
A =diag [λ1, λ2, , λn ],即A 为对角阵,且具有互异元素。则
⎡e λ1t ⎤
0⎥⎢
⎥ φ(t ) =⎢
⎢⎥0⎢e λn t ⎥⎣⎦
②设A 为m ⨯m 约当阵
3-5
⎡λ⎢⎢ A =⎡λt ⎢e
1⎤⎢
⎢0λ ⎥⎥φ(t ) =⎢,则
te λt e λt 12λt t e 2! te λt 1⎤
t m -1e λt ⎥
(m -1)!
⎥
1
t m -2e λt ⎥
⎥ (m -2)!
⎢
⎢ 1⎥⎢
⎣
λ⎥⎦⎢m ⨯m
⎢ ⎢⎣
00
e λt
【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 2e -t -e -2t e
At
=⎡⎢e -t -e -2t ⎤
⎣-2e -t +2e -2t
-e -t +2e -2t ⎥⎦
试求φ-1(t ) 和A 。 解:(1)根据状态转移矩阵的性质4,可知
t 2t
e t -e 2t ⎤
φ-1
(t ) =φ(-t ) =⎡⎢2e -e ⎣-2e t +2e
2t
-e t +2e 2t ⎥⎦
(2)根据状态转移矩阵的性质2,可知
⎡-2e -t +2e -2t
-t A =φ(0) =⎢-e +2e -2t ⎤⎡0
⎣2e -t -4e
-2t e -t -4e -2t
⎥=⎦t =0⎢⎣-2
【例3.1.4】 已知
⎡⎢λ10⎤⎥ A =⎢
λ1
⎢⎢λ1⎥⎥ ⎣0
λ⎥⎦4⨯4
试求状态转移矩阵e At
。 解:根据状态转移矩阵的性质10,可知
⎡⎢e λt te λt 1t 2e λt 13λ⎢26
t e t ⎤⎥ φ(t ) =e
At
=⎢⎢0e λt te λt 12λt ⎥⎢⎢00e λt te 2t e ⎥ λt ⎥⎥
⎣
00
e λt ⎥⎦
【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
⎥⎥
⎥
⎥⎦1⎤-3⎥⎦
3-6
00⎤⎡1⎢⎥
sin t cos t 0⎢⎥⎢⎣0-cos t sin t ⎥⎦
解:利用性质(1)φ(0) =I
00⎤⎡1⎡100⎤
⎢⎥⎢001⎥≠I ,所以该矩阵不是状态转移矩阵。
sin t cos t = 0⎢⎢0-cos t sin t ⎥⎥⎢⎥⎣⎦t =0⎢⎣0-10⎥⎦
【例3.1.6】 已知系统状态方程为x
=Ax , 当x (0) =⎡⎢1⎤
⎡e -2t ⎤⎣-1⎥⎦时,x (t ) =⎢⎣-e -2t ⎥
⎦
当x (0) =⎡⎢2⎤
⎣-1⎥⎦
时,x (t ) =⎡⎢2e -t ⎤⎣-e -t ⎥⎦
试求系统矩阵A 和状态转移矩阵e At
。
解:由性质(2)可知:A =φ
(0) 由已知,有
t ) =e At ⋅x (0) ⇒⎡⎢e -2t
x (2e -t ⎤2⎤⎣-e
-2t
-e -t ⎥=e At ⎡⎦⎢1⎣-1-1⎥ ⎦
t
-1
∴e
At
=⎡⎢e -22e -t ⎤
⎡⎡⎢e -2t
=2e -t ⎤⎡-1-2⎤
⎣-e -2t -e -t ⎥⎢1
2⎤⎦⎣-1-1⎥⎦
⎣-e
-2t -e -t ⎥⎦⎢⎣11⎥⎦
=⎡⎢2e -t -e -2t
2e -t -2e -2t ⎤
⎣
-e -t +e -2t
-e -t +2e -2t ⎥⎦
-2t 2t ∴A =φ
(t ) =⎡⎢-2e -t +2e -2e -t +4e -⎤2⎤t =0
⎣e -t
-2e -2t
e -t -4e -2t ⎥=⎡⎦⎢0
t =0⎣
-1-3⎥ ⎦
§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解
线性定常非齐次状态方程:
x
=Ax +Bu ,求x (t ) 。 1、直接积分法
3-7
x
=Ax +Bu 左乘e -At ,有 e -At (x
-Ax ) =e -At ⋅Bu 由于d (e -At
⋅x ) =e -At dt
(x
-Ax ) 所以d dt
(e -At ⋅x ) =e -At
⋅Bu ,两端同时积分,有
e
-At
x (t ) -x (0) =⎰t
e -A τ0
⋅Bu (τ) d τ
x (t ) =e At
x (0) t
A (t -τ)
∴+⎰
e ⋅Bu (τ) d τ
t
=φ(t ) x (0) +⎰0
φ(t -τ) ⋅Bu (τ) d τ
注意:若取t 0作为初始时刻,积分可得: e
-At
x (t ) -e
-At 0
x (t t
τ0) =⎰t e -A ⋅Bu (τ) d τ
t
x (t ) =e A (t -t 0)
x (t (t -τ) 0) +⎰t e A ⋅Bu (τ) d τ
2、拉氏变换法
x
=Ax +Bu ,两边同时取拉氏变换(当t =0时刻的状态为x (0) ) sx (s ) -x (0) =Ax (s ) +Bu (s ) (sI -A ) x (s ) =x (0) +Bu (s ) 则 x (s )
=(sI -A ) -1x (0) +(sI -A ) -1Bu (s )
x (t ) =L -1
[(sI -A ) -1
]x (0) +L -1
[(sI -A ) -1
Bu (s )] 由拉氏变换卷积定理: L -1
[F 1(s ). F t
2(s )]=
⎰
f 1(t -τ). f 2(τ) d τ
在此(sI -A ) -1
视为F 1(s ) ,Bu (s ) 视为F 2(s ) 。则
x (t ) =e At
x (0) +⎰t
A (t -τ)
e
⋅Bu (τ) d τ
3-8
(与直接求解结果相同!)
【例3.2.1】 已知系统状态方程为x
=⎢⎡01⎤x ⎣-2-3⎥⎦+⎡⎢0⎤
u ⎣1⎥
⎦
,输入u (t ) =1(t ) , 初始条件为x (0) =⎢⎡x 1(0) ⎤
⎣x ⎥,试求解此非齐次状态方程。2(0) ⎦
解:由已知有 x (t )
=e At
x (0) +⎰t
e A (t -τ) ⋅Bu (τ) d τ
(1)先求e At
,由前面例题(例3.1.2)可知 t e
At
=⎡⎢2e -t -e -2t
e --e -2t ⎤
⎣-2e -t +2e -2t -e -t +2e -2t ⎥ ⎦
(2)求
⎰
t
τ) 0
e A (t -⋅Bu (τ) d τ
(t -τ) (t -τ)
⎰
t
e
A (t -τ)
(τ) d τ=⎰t ⎡2e --e -2(t -τ)
-e -2(t -τ) ⎤0
⋅Bu e -0⎢
⎣
-2e -(t -τ) +2e -2(t -τ) -e -(t -τ) +2e -2(t -τ) ⎥⋅⎡⎦⎢0⎤
⎣1⎥⎦
d τ2(t -τ) =
⎰
t
⎡⎢e -(t -τ) -e -⎤
⎣-e -(t -τ) +2e -2(t -τ) ⎥d τ ⎦
(t -τ) =-
⎰
t
⎡⎢e --e -2(t -τ) ⎤
d (t -τ) ⎣-e -(t -τ) +2e -2(t -τ) ⎥ ⎦
⎡-(t -τ) 1-2(t -τ1-2t ⎤ =-⎢-e +e ) ⎤t ⎢⎥⎡1-t
=⎢2-e +e ⎥ ⎣e -(t -τ) -e 2-2(t -τ) ⎥2⎦0⎢⎣e -t -e -2t ⎥⎦
故而
x (t ) =⎡⎢2e -t -e -2t
e -t -e -2t ⎤⎡x 11(0) ⎤⎡-t -2-e -t +2e -2t ⎥⋅⎢-e -t
+1e -2t ⎤⎥ ⎣-2e +2e
t
⎦⎢⎣x ⎥+222(0) ⎦⎢⎣e -t -e -2t
⎥⎦
1特别说明:若x (0) =⎡-2t ⎤⎢x 1(0) ⎤⎡0⎤⎡1-e -t +e ⎣x ⎥=⎢⎥,则x (t ) =⎢22⎥
2(0) ⎦⎣0⎦⎢⎣e -t -e -2t ⎥⎦
其状态轨迹图可以MABLAB 绘出:
%Example 3.2.1 matlab program: grid;
xlabel(' 时间轴' );
ylabel('x 代表x1,----*代表x2' );
3-9
t=0:0.1:10;
x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x' ,t,x2, '*')
end
§3-3 状态转移矩阵e At 的计算
1、直接幂级数法
e
At
=I +At +1A 2t 2+ +1A k t k ∞
+ =∑1
A k t k 2! k !
K =0k !
2、拉氏变换法
e At =L -1[(sI -A ) -1]
3、利用性质,采用对角化的方法
【例3.3.1】 已知系统状态方程为x
=⎢⎡01⎤x ⎣-2-3⎥
⎦
,试利用对角化的方法求e At
。
3-10
解:det(λI -A ) =(λ+1)(λ+2) =0,解出特征值λ1=-1,λ2=-2。 选用变换阵P ,使P -1
AP 对角化。由于A 为友矩阵,故P 可选为: P =⎢⎡11⎤⎡⎣λ1λ⎥⎦=⎢11⎤⎣
⎦, P -1
=⎡⎢21⎤2-1-2⎥⎣-1-1⎥⎦ 根据e P -1APt
=P -1e At
P 可推出:e
At
=Pe
P -1APt
P -1
⎡而e
P -1
APt
=e
⎢-10⎤
⎣0-2⎥⎦
t =⎡⎢e -t 0⎤⎣0e -2t ⎥ ⎦
2t
-t -2t ∴e At
=Pe
P -1APt
P -1=⎡⎢2e -t -e -e -e ⎤
⎣
-2e -t +2e -2t
-e -t +2e -2t ⎥ ⎦
4、利用Caylay-Hamilton 定理计算(待定系数法)
(1)Caylay-Hamilton 定理
设n 阶矩阵A 的特征多项式为:
f (λ) =
λI -A =λn +a n -1n -1λ+ +a 1λ+a 0
则A 满足其特征方程,即
f (A ) =A n +a -1n -1A n + +a 1A +a 0I =0 (2)推论1
矩阵A 的k (k ≥n )次幂,可表示为A 的(n -1) 阶多项式
A k
=
m ,k ≥n
m ∑n -1
a
m
A =0
【例如】 已知A =⎢
⎡12⎤⎣01⎥⎦
,求A 100
=? 解:A 的特征多项式为:
f (λ) =λI -=λ2-2λ+1
根据Caylay-Hamilton 定理,有
f (A ) =A 2
-2A +I =0, ∴A 2
=2A -I
故A 3
=AA 2
=A (2A -I ) =2A 2
-A =2(2A -I ) -A =3A -2I A 4
=AA 3
=A (3A -2I ) =3A 2
-2A =3(2A -I ) -2A =4A -3I
依次归纳,有:
A k =kA -(k -1) I 所以有:A 100=100A -99I =⎢⎡100200⎤⎣0100⎥⎦-⎡⎢990⎤⎡1200⎤
⎣099⎥⎦=⎢⎣01⎥⎦
(3)推论2
状态转移矩e At
可表示为A 的(n -1) 阶多项式 e
At =∑n -1
a m (t ) A m
m =0
式中,a 0(t ), a 1(t ), , a n -1(t ) 均为幂函数。
【例3.3.2】 已知系统状态方程为x
=⎢⎡0
1⎤x ⎣-2-3⎥
⎦
, 试利用Caylay-Hamilton 定理求e At
。
解:(1)求系统矩阵A 的特征值
d e t λ(
I -A ) =0 ⇒(λ+1)(λ+2) =0, 解出λ1=-1,λ2=-2 (2)一般情况下,对于n 个互异的特征值λ1,λ2, ,λn ,写出如下方程组:⎧a 2n -1λ0+a 1λ1+a 2λ1+ +a n -1λ1=e 1t ⎪⎪⎨
a λ2n -1
λt 0+a 12+a 2λ2+ +a n -1λ2=e 2
⎪
⎪⎩a 2n -1λ0+a 1λn +a 2λn + +a n -1λn =e
n t 并解出a 0,a 1, ,a n 即可。对于本例:
⎧⎨a 0+a 1λ1=e λ1t ⎧a 0-a 1=e -t
a ⇒⎩λ0+a 1λ2=e
2t ⎨ ⎩a -2t
0-2a 1=e 解出a -t
0=2e -e -2t ,a -t -2t 1=e -e
(3)对于系统具有n 个互异的特征值λ1,λ2, ,λn 的情况,按下式计算e At
: e
At
=a 0I +a 1A +a 2A 2+ +a -1n -1A n
对于本例有: e
At
⎡2e -t -e -2t
=a 0I +a 1A =⎢-t -2t
⎣-2e +2e e -t -e -2t ⎤
-t -2t ⎥-e +2e ⎦
§3-4 离散系统状态方程的解
一、由差分方程建立动态方程
线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立,也可以利用线性连续动态方程的
离散化得到。
SISO 线性定常离散系统的差分方程一般形式为:
y (k +n ) +a n -1y (k +n -1) + +a 1y (k +1) +a 0y (k ) =b n u (k +n ) +b n -1u (k +n -1) + +b 1u (k +1) +b 0u (k )
式中,k 表示kT 时刻;T 为采样周期;y(k)、u (k)分别为kT 时刻的输出量和输入量;a i 、b i
1,2, ,n , 且a n =1)为表征系统特征的常数。 (i =0,
考虑初始条件为零时的Z 变换关系有:
Z [y (k )]=y (z ) , Z [y (k +n )]=z n y (z ) 对上边式子两边取Z 变换,并整理为:
y (z ) b n z n +b n -1z n -1+ +b 1z +b 0
G (z ) ==n
n -1
u (z ) z +a n -1z + +a 1z +a 0
=b n +
βn -1z n -1+ +β1z +β0
z +a n -1z
N (z )
D (z )
n
n -1
+ +a 1z +a 0
=b n +
按连续系统的方法,对N (z ) /D (z ) 做串联分解,最后可得到离散系统状态空间表达式的一种形式:
⎡x 1(k +1) ⎤⎡0⎢x (k +1) ⎥⎢0⎢2⎥⎢
⎥=⎢ ⎢
⎢⎥⎢x (k +1) n -1⎢⎥⎢0⎢⎣x n (k +1) ⎥⎦⎢⎣-a 0
10
0-a 1
01 0-a 2
0⎤⎡x 1(k ) ⎤⎡0⎤
⎢x (k ) ⎥⎢0⎥ 0⎥⎥⎢2⎥⎢⎥
⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u (k )
⎥⎢⎥⎢⎥
1⎥⎢x n -1(k ) ⎥⎢0⎥ -a n -1⎥⎣1⎥⎦⎦⎢⎣x n (k ) ⎥⎦⎢
y (k ) =[β0β1β2 βn -1]x (k ) +b n u (k )
简记为: ⎨⎧x (k +1) =Gx (k ) +hu (k )
⎩y (k ) =cx (k ) +du (k )
MIMO 线性定常离散系统的动态方程为: ⎨
⎧x
(k +1) =Gx (k ) +Hu (k )
⎩y (k ) =Cx (k ) +Du (k )
离散系统的一般结构图
【例3.4.1】设某线性离散系统的差分方程为:
y (k +2) +y (k +1) +0. 16y (k ) =u (k +1) +2u (k ) 试写出系统的状态空间表达式。 解:离散系统的状态空间表达式为: ⎨
⎧x (k +1) =Gx (k ) +hu (k )
⎩y (k ) =cx (k ) +du (k )
其中:G =⎡01⎤⎣⎢-0. 16-1⎥⎦, h =⎡⎢0⎤⎣1⎥⎦
, c =[21], d =0
二、线性定常连续系统动态方程的离散化
线性定常非齐次状态方程x
=Ax +Bu 在x (t 0) 及u (t ) 作用下的解为: x (t ) =e
A (t -t 0)
x (t t
A (t -τ) 0) +⎰t e ⋅Bu (τ) d τ
t
或x (t ) =φ(t -t 0) x (t 0) +
⎰
t φ(t -τ) ⋅Bu (τ) d τ
令t 0=kT ,则x (t 0) =x (kT ) =x (k )
t =(k +1) T ,则x (t ) =x [(k +1) T ]=x (k +1) u (k ) =u (k +1) =常数,于是 x (k +1) =φ[(k +1) T -kT ]x (k ) +⎰
(k +1) T
kT
φ[(k +1) T -τ]⋅Bd τ⋅u (k )
=φ(T ) x (k ) +⎰
(k +1) T
kT
φ[(k +1) T -τ]⋅Bd τ⋅u (k )
记H (T ) =
⎰
(k +1) T
kT
φ[(k +1) T -τ]⋅Bd τ
令(k +1) T -τ=τ',则代换后有 H (T ) =
⎰
T
φ(τ') Bd τ'=⎰T
φ(τ) Bd τ
故离散化状态方程为:x (k +1) =G (T ) x (k ) +H (T ) u (k ) 输出方程为:y (k ) =Cx (k ) +Du (k )
【例3.4.2】试写出连续时间系统
x =⎡⎢01⎤⎡0⎤⎣0-2⎥⎦x +⎢⎣1⎥⎦
u
采样周期为T 的离散化状态方程。 解:先求e At
-1
φ
(t ) =e At
=L -1[(sI -A ) -1]=L -1⎡⎢s -1⎤⎣0s +2⎥⎦
⎡1⎢-1s =L ⎢⎢0⎢⎣1⎤
⎡
s (s +2) ⎥=⎢1
⎥1⎥⎢
⎣0⎥s +2⎦
1⎤
(1-e -2t ) ⎥
2
⎥e -2t ⎦
⎡
11⎤(1-e -2T ) G (T ) =φ(T ) =φ(t ) t =T
=⎢⎢2
⎥
⎣
0e -2T
⎥ ⎦
(T ) =⎰T
T
⎡
1φ(τ) Bd τ⎢1(1-e -2τ⎤H 0
=⎰
⎢2) ⎥⎡0⎤d τ=T ⎡⎢1(1-e -2τ) ⎤⎥d τ ⎣
0e -2τ⎥⎢⎦⎣1⎥⎦⎰0⎢2⎣e -2τ⎥⎦
⎡1
τ+1-2τ⎤⎡1T -1+1e -2T ⎤ =⎢⎢24e ⎥⎢44⎥⎢⎣-1-2τ⎥=⎢211 -2T ⎥
2e ⎥⎦0⎢⎣2-2e
⎥⎦
所以:
x (k +1) =G (T ) x (k ) +H (T ) u (k )
⎡⎢x k +1) ⎤⎢11⎡111-2T ⎤1(⎡(1-e -2T ) ⎤⎥⎡x 1(k ) ⎤T -+e ⎥⎣x ⎥=2+⎢⎢244⎥u (k ) 2(k +1) ⎦⎢⎣0e -2T ⎥⎢⎦
⎣x ⎥2(k ) ⎦⎢11⎣2-2e -2T ⎥⎦
例3.4.2连续系统离散化MATLAB 程序:
%Example3.4.2 : Continuous to discrete system
A=sym('[0,1;0,-2]') B=sym('[0;1]') T='T'
[G,H]=c2d(A,B,T)
%example3.4.2的另一种MATLAB 程序: syms s t T;
A=sym('[0,1;0,-2]'); B=sym('[0;1]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) G=subs(lap,'T')
H=int(symmul(lap,B),0,T)
三、离散系统状态方程的解
两种解法:递推法和Z 变换法。
递 推 法:又称迭代法,对于定常和时变系统都适用。 Z 变换法:只适用于定常系统。
1、递推法
x (k +1) =G (T ) x (k ) +H (T ) u (k ) 依次令k =0, 1, 2, ,从而有
k =0 x (1) =G (T ) x (0) +H (T ) u (0) k =1 x (2) =G (T ) x (1) +H (T ) u (1)
=G 2(T ) x (0) +G (T ) H (T ) u (0) +H (T ) u (1)
k =2 x (3) =G (T ) x (2) +H (T ) u (2)
=G 3(T ) x (0) +G 2(T ) H (T ) u (0) +G (T ) H (T ) u (1) +H (T ) u (2) ………… 依此类推。
递推公式为:
x (k ) =G k
(T ) x (0) +
∑k -1
G
k -1-i
(T ) H (T ) u (i )
i =0
其中G k
(T ) 称为线性定常离散系统的状态转移矩阵,记为φ(k ) 。 G k
(T ) =φ(kT ) =φ(k )
(φ(k ) 满足:φ(k +1) =G φ(k ) ; φ(0) =I )
【例3.4.3】已知某离散系统的状态方程是: x (k +1) =G (T ) x (k ) +H (T ) u (k ) G =⎢
⎡01⎤⎣-0. 16-1⎥⎦,H =⎡⎢1⎤⎣1⎥⎦,初始状态x (0) =⎡⎢1⎤⎣-1⎥⎦
,u (k ) =1, 试用递推法求解x (k ) 。
解:x (1) =G (T ) x (0) +H (T ) u (0) =⎢
⎡0
1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡0⎤⎣-0. 16-1⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦+⎢⎣1⎥⎦=⎢⎣1. 84⎥
⎦
x (2) =G (T ) x (1) +H (T ) u (1) =⎢
⎡0
1⎤⎡0⎤⎡1⎤⎡⎣-0. 16-1⎥⎦⎢⎣1. 84⎥⎦+⎢⎣1⎥⎦=⎢2. 84⎤⎣-0. 84⎥
⎦
x (3) =G (T ) x (2) +H (T ) u (2) =⎡⎢0
1⎤⎡2. 84⎤⎡1⎤⎡0. 16⎤⎣-0. 16-1⎥⎦⎢⎣-0. 84⎥⎦+⎢⎣1⎥⎦=⎢⎣1. 386⎥⎦
显然,用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式,而是一个解序列。
采用MATLAB 语言,求解例3.4.3:
%Example 3.4.3 G=[0,1;-0.16,-1]; H=[1;1]; U=1;
X1=[1;-1]; hold on; for k=1:400 X1=G*X1+H*U plot(X1(1),X1(2),'*'); end
2、Z 变换法
设定常离散系统的状态方程是: x (k +1) =Gx (k ) +Hu (k ) 两边取Z 变换:
zx (z ) -zx (0) =Gx (z ) +Hu (z ) ,整理有 (zI -G ) x (z ) =zx (0) +Hu (z ) ∴x (z ) =(zI -G ) -1
zx (0) +(zI -G ) -1
Hu (z ) 两边取Z 反变换:
x (k ) =Z -1
[(zI -G ) -1
zx (0)]+Z -1
[(zI -G ) -1
Hu (z )]
【例3.4.4】已知某离散系统的状态方程是: x (k +1) =G (T ) x (k ) +H (T ) u (k ) G =⎢
⎡01⎤⎣-0. 16-1⎥⎦,H =⎡⎢1⎤⎣1⎥⎦,初始状态x (0) =⎡⎢1⎤⎣-1⎥
⎦
,u (k ) =1, 试用Z 变换法求解x (k ) 。 解:
-1
⎡
1⎤
(zI -G )
-1
=⎡=⎢z +1⎢z -1⎤⎢
(z +0. 2)(z +0. 8) (z +0. 2)(z +0. 8) ⎥
⎣0. 16z +1⎥⎦
⎢-0. 16z ⎥
⎢⎣(z +0. 2)(z +0. 8) (z +0. 2)(z +0. 8) ⎥
⎥⎦
⎡⎢+
- =⎢⎢z +02
z z +0. +-⎤z +. ⎥⎢-+. 8-⎢8⎥⎥
⎣z +0. 2
+z +0. 8z +0. 2+z +0. 8⎥⎥⎦
而 x (z ) =(zI -G ) -1[zx (0) +Hu (z )] u (z ) =
z
z -1
z 2⎤ zx (0) +Hu (z ) =⎢z ⎤⎡⎣-z ⎥⎦+⎢z ⎤⎡
⎡⎢z -1⎥⎢⎢z ⎥=⎢-z z 2-+1⎥
2z ⎥ ⎣z -1⎥⎦⎢
⎢⎣z -1⎥⎥⎦
⎡⎢(z 2+2) z
⎤∴x (z ) =⎢(z +0. 2)(z +0. 8)(z -1) ⎥⎢(-z 2
+1. 84z ) z ⎥ ⎢⎥⎣(z +0. 2)(z +0. 8)(z -1) ⎥⎦
⎡ =⎢-17⎢6(z z +0. 2) +229(z 25z ⎤z +0. 8) +18(z -) ⎥⎢3. 4⎣6(z z +0. 2
) -17. 6z 7z 1 9(z +0. 8) +18(z -1) ⎥⎥
⎦对x (z ) 取z 反变换,有
⎡ x (k ) =⎢-172225⎤⎢6(-0. 2) k +9(-0. 8) k
+18⎥⎢3. 4k 17. 6 k 7⎥⎣6
(-0. 2) +9(-0. 8) +18⎥
⎦