巧用等底等高的关系求图形的面积
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巧用等底等高的关系求图形的面积
孟桂民
一、知识基础
在我们以前的学习中,我们掌握了许多基本图形的面积计算方法,请同学们观察,下图中哪些图形的面积相等?为什么?
已知l 1//l 2(单位:厘米)
从图中我们看出S ∆ABC =S ∆ABD =S ∆ABE
S 平行四边形H G FI =S 平行四边形FG JK
因为△ABC 和△ABD 及△ABE 等底等高所以它们的面积相等,同理平行四边形HGFI 和平行四边形FGJK 等底等高所以它们的面积也相等。
而平行四边形FGHI 和三角形ABC 等底等底,所以平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
从这个练习我们得到:如果两个或几个三角形底相等,高也相等,那么这几个三角形的面积也相等。
下面还有一组图形请同学们观察,下面几个三角形面积之间有什么关系?为什么?(单位:厘米)
从观察我们看出①图1的三角形面积和图2的三角形面积相等,因为这两个三角形等底
等高所以它们的面积相等。
②图3的三角形面积是图1的三角形面积的2倍,因为图3的三角形和图1的三角形高相等,图3三角形的底是图1三角形底的2倍,根据三角形面积计算公式得到:图3的三角形面积是图1三角形面积的2倍。
③图4的三角形面积也是图1三角形面积的2倍,因为两个三角形的底相等,图4三角形的高是图1三角形高的2倍,所以根据三角形面积的计算公式得到,图4的三角形面积是图1三角形面积的2倍,从这个练习我们又发现:
如果两个三角形的底(或高)的长度相等,那么这两个三角形高(或底)的比就是这两个三角形面积的比。
用上面这些关系我们可以解答一些较复杂的求图面积的题。
二、方法例谈
学校有一块三角形的植物园地,生动小组同学想把这块地等分成4份,以便种植四种不同的花籽进行实验,怎么分呢?于是他们请数学小组同学帮助,下面是数学小组同学们提出的一些分配方案,请你们帮助分析一下,他们的分配方案都正确吗?
①把底边BC 等边四份,再分别和A 点连接成四个三角形,
这种分配方案你认为正确吗?这种分配方案正确,因为把底边BC 等分四份,这时四个三角形故底相等,又都以A 点为顶点,所以它们的高也相等。
因为底等高等,所以这四个三角形的面积相等。
②已知D 是BC 的中点,F 是AB 的中点E 是AC 的中点
请你们自己分析一下,这种分配方案正确吗?
通过分析我们得到:这种分配方案正确,因为D 是BC 的中点,所以S ∆ABD =S ∆ADC 又
∵F 是AB 的中点∴S ∆AFD =S ∆BFD E 是AC 的中点∴S ∆ADE =S ∆D EC
∴S ∆AFD =S ∆BFD =S ∆AD E =S ∆D EC 所以分配方案正确
③已知D 是BC 的中点,F 是AB 的中点,E 是AC 的中点,你认为这种分配方案正确吗?为什么?
这种方案正确,因为EF 分别为AC 、AB 的中点,所FE 一定//BC并且FE 的长度等于BC 长度的一半,而D 是BC 的中点,所以BD=DC=FE
又∵FE//BC且F 、E 为两边的中点,所以四个三角形的高相等。
因为四个三角形的底相等,高也相等,所以它们的面积相等,下面还有一些分配方案,你认为它们都正确吗?
④D 为BC 的中点;E 为AD 的中点
⑤D 为BC 的中点; E 为DC 的中点; F 为AD 的中点
BD=
1
BC 41
EC=BC
4
F 是AD 的中点
通过分析我们知道:这三种分配方案都正确,你还能想出其它的分配方案吗?请你也试着分一分吧!
刚才我们运用三角形等底等高的关系,解决了生活中的实际问题,运用这种关系,我们还可解决许多生活中的问题
三、题解变析,解决问题
例1根据实际需要,生动小组同学把三角形植物园地划分成甲、乙两部分,你能根据它们的关系,说出乙的面积是甲面积的几倍?请看图(单位:米)
从图中我们很难发现解题思路,但如何我们连接DC 就可以把乙分解成两个三角形,这样再解答就比较简单了。
所以解题时先连接DC 因为EC=9 AE=3 ∴EC 长度是AE 长度的3倍
又因为三角形AED 和三角形EDC 都以D 点为顶点,所以它们的高相等
所以S ∆EDC =3S ADE
又∵D 是AB 的中点,C 为三角形BCD 和三角形ACD 的顶点,所以这两个三角形等底等高,面积相等。
∴S ∆BDC =S ∆ADC =S ∆ADE +S ∆DEC =4S ∆ADE
∴乙的面积=S ∆ED C +S ∆BD C =7S ∆AD E
∴乙的面积是甲面积的7倍。 从上面例题我们看出:在奇妙的几何世界里,几何图形多种多样,变化万千,许多问题,只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路,需要添加一些辅助线,如例1中添加了DC 这条线段,这样就在图形与图形之中,架起“桥梁”,使我们才能发现图形之间的关系,进而正确解题。
例2(见图)一个平行四边形的一边长15厘米,这条边上高为6厘米,用一条线段将此平行四边形分成了两部分,它们的面积相差18平方厘米,那么其中梯形的上底是多少厘米?
解答这个题时,如果我们直接求梯形的上底我们很难解决问题,因为原图形是一个平行四边形,那么我们不妨利用等底等高的关系来解题,所以可以添加一条辅助线过平行四边形的顶点A 做EC 的平行线,交BC 为F 点,∴AE=FC ED=BF
所以S ∆ABF =S ∆EDC (三角形底等高等面积相等)
而原分成的两部分相差18平方厘米,即平行四边形AFCE 的面积是18平方厘米,高是6厘米,所以AE 的长度就等于18÷6=3(厘米)
从而得出梯形的上底是3厘米。
师:利用等底等高的关系,我们不仅可以解决三角形面积的问题,我们还可以解决其它图形的面积问题。
例3公园里有一个长方形花坛,把这个花坛分成了四部分,现已知三部分的面积,你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗?
从图中我们看出第一部分面积是6平方米,第二部分面积是18平方米,而这两部分长相等,所以面积的比就是宽的比是18:6=3:1
而第三部分面积是24平方米,它和第四部分的长也相等,宽的比也是3:1所以面积比也是3:1,
即第四部分的面积是第三部分面积的三倍, 所以用24×3=72(平方米)
答:第四部分的面积是72平方米。 (出示)
四、智能拓展
下图是长方形实验田,现将这块实验田分成了甲、乙、丙、丁四部分,已知甲的面积是40平方米,乙的面积是60平方米,请你求出丙的面积是多少平方米?
要求丙的面积,我们可以先求出丁的面积,然后用丁+乙的面积减去甲的面积,就是丙的面积。
连接FB ∵甲和乙的面积比是40:60=2:3
∴S ∆FBE 和丁的面积比也是2:3
⎛S ∆FBE =S ∆FDB -甲
又∵S ∆FBE =S 乙=60平方米 而S ∆FDB =S ∆FDC
S =S -甲∆FDC ⎝乙
所以等量减等量差相等,即S ∆FBE =S 乙 ∴丁的面积=60÷2×3=90(平方米)
∴丙的面积=90+60-40=110(平方米) 答:丙的面积是110平方米。
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